學測單選題有5個選項，隨機猜答，可以預期全體答對率約為20%，但是94年單選題第5題的答對率低於20%，簡單地說，讓全體考生隨機猜答的答對率都還比較高。當年的題目如下：

5. 某校高一第一次段考數學成績不太理想，多數同學成績偏低；考慮到可能是同學們適應不良所致，數學老師決定將每人的原始成績取平方根後再乘以10作為正式紀錄的成績。今隨機抽選100位同學，發現調整後的成績其平均為65分，標準差為15分；試問這100位同學未調整前的成績之平均M介於哪兩個連續正整數之間？(第7頁附有標準差公式)

(1)40\( \le \)M＜41   (2) 41\( \le \)M＜42   (3) 42\( \le \)M＜43   (4) 43\( \le \)M＜44   (5) 44\( \le \)M＜45

當年五個選項的答案百分比如下：

註：

1. 高分組考生(前33%)，低分組考生(後33%)。
2. 小數點四捨五入。
3. 正確答案註記*。

正確答案為(5)，有超過一半的考生選擇(3)，應該是底下的誤解：

\(10\sqrt M  = 65 \Rightarrow M = 42.25\)

　　學測多選題也有5個選項，至少有1個選項正確，所以有31種可能的答案。如果隨機猜答且考慮全對的情形，則可以預期全體答對率約為\(\frac{1}{{13}} \approx 3.2\% \)。歷史上也有一題多選題低於3.2%，就是98年多選題題第9題，全對率只有1%；另外當年度的多選題第10題的全對率也只有4%而已。換句話說，讓全體考生隨機猜答第9題的全對率都還比實際的全對率高，隨機猜答第10題的全對率和實際的全對率在伯仲之間。當年的題目第9題與第10題如下：

9. 某廠商委託民調機構在甲、乙兩地調查聽過某項產品的居民佔當地居民之百分比(以下簡稱為「知名度」)。結果如下：在\(95\% \)信心水準之下，該產品在甲、乙兩地的知名度之信賴區間分別為 [ 0.50 , 0.58 ]、[ 0.08 , 0.16 ]。試問下列哪些選項是正確的？

(1) 甲地本次的參訪者中，\(54\% \)的人聽過該產品

(2) 此次民調在乙地的參訪人數少於在甲地的參訪人數

(3) 此次調查結果可解讀為：甲地全體居民中有一半以上的人聽過該產品的機率大於\(95\% \)

(4) 若在乙地以同樣方式進行多次民調，所得知名度有\(95\% \)的機會落在區間[ 0.08 , 0.16 ]

(5) 經密集廣告宣傳後，在乙地再次進行民調，並增加參訪人數達原人數的四倍，則在\(95\% \)信心水準之下該產品的知名度之信賴區間寬度會減半(即0.04)

10. 設\(a,b,c\)為實數，下列有關線性方程組\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 2y + az = 1}\\{3x + 4y + bz = – 1}\\{2x + 10y + 7z = c}\end{array}} \right.\)的敘述哪些是正確的？

(1) 若此線性方程組有解，則必定恰有一組解

(2) 若此線性方程組有解，則\(11a – 3b \ne 7\)

(3) 若此線性方程組有解，則\(c = 14\)

(4) 若此線性方程組無解，則\(11a – 3b = 7\)

(5) 若此線性方程組無解，則\(c \ne 14\)

當年兩題五個選項的答案百分比如下：

第9題

第10題

註：

1. 高分組考生(前33%)，低分組考生(後33%)。
2. 小數點四捨五入。
3. 正確答案註記*。

　　第9題考核的是「信賴區間」，95課綱首次納入教材，98年第一次在大考中出現，當初全國辦了非常多場次的研習，研討如何教授「信賴區間」，但是從數據顯示，考生對於此主題的理解與本題有相當大的距離，所以出現了史上最低全對率1%，史上唯一一題負鑑別度－1%，其中選項(2)是正確的，但是高分組選答比率低於低分組，而選項(4)是錯誤的，但是高分組選答比率卻高於低分組；從這樣的數據來看，也許可以推測高分組的學生對於「信賴區間」有著迷思概念。

　　第10題一般常見的解析是直接解三個方程式，或是利用高斯消去法，最後再討論有解或無解的情況。其中選項(2)是錯誤的，但是高分組選答比率卻高於低分組，也許就是造成本題全對率低的原因，推測有這麼多高分組的同學選答選項(2)，可能是只考慮了無限多組解的情況。

　　最後，非常令人意外的是，不論單選或多選題，皆不倒扣，但是仍有相當多的同學未作答，該題直接零分，真的非常可惜！

題目

有n位數學家圍著一張圓桌，分別坐在依順時針方向標示著1, 2, 3, …, n的座位上。在休息後，他們再度圍著圓桌而坐，每個座位坐一人，這些數學家發現有一個正整數a使得
(1)對於每個k，每位數學家在休息前原先坐在座號k的人，在休息後坐在座號ka(其中座號\(i + n\)的座號視為i)；
(2)在休息後任何兩位數學家之間的數學家的人數，不論按順時針方向數、或逆時針方向數，都與休息前兩人之間的數學家的人數都不同。
試求在\(1 < n < 1000\)中總共有多少個滿足條件的n。

解：

對於任意正整數n，令\(a = 1,2,3,…,(n – 1)\)(其餘大於n的數只要餘數同a的重坐後順序是跟a一樣的)

而無論n為何，\((a,n) = 1\)，否則座位會重複

設任意兩數學家原本的座號為x,y，

訂此兩人間的人數為\(|x – y|\)(順時針方向)

\(|x – y| = 1,2,3,…,(n – 1)\)

而重坐後的兩人間的人數則為\(a|x – y| – mn\)(其中m為使\(0 < a|x – y| – mn < n\)的最大整數)

依照題意可知

重坐後需滿足

(1) \(a|x – y| – mn \ne |x – y|\)\( \Rightarrow (a – 1)|x – y| \ne mn\)

(2) \(a|x – y| – mn \ne n – |x – y|\)\( \Rightarrow (a + 1)|x – y| \ne mn\)(逆時針方向)

若n為偶數，則∵\((a,n) = 1\)，∴a必為奇數

故\((a – 1)\)必為偶數，令\((a – 1) = 2t\)

設n=2k，則k必為1,2,…,(n-1)其中一個數

故當\(|x – y| = k\)時，\((a – 1)|x – y| = 2kt = tn\)不符合(1)之條件，

故所有偶數皆不合

若n為奇數，則\(a = 2\)時，

\((a – 1)|x – y|\)

\( = |x – y| = 1,2,3,…,(n – 1)\)

此時無論m為何，\((a – 1)|x – y| \ne mn\)

即所有奇數皆滿足(1)

若3|n，令n=3p，同理p必為1,2,…,(n-1)其中一個數

∵\((a,n) = 1\)，∴\((a – 1)\)與\((a + 1)\)必有一個為3的倍數，設為3q

當\(|x – y| = p\)時，\(3q|x – y| = 3pq = qn\)又與(1)(2)其中之一不合

故n必不為3的倍數

其餘的奇數只要不是3的倍數，在\(a = 2\)時皆可以滿足(1)(2)的條件

1<n<1000中為奇數且不為3的倍數者共有499-167=332個

\(\frac{{ – b \pm \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

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