新大滿貫複習講義特色

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一、根據108課綱的因應策略

108課綱的變革與教學現場遇到的問題 新大滿貫複習講義
● 教學與複習的時數減少 ●   增加要點的註解

1.         學生可以自行研讀或課後複習，增強對概念要點的理解。

2.         可以減少學生抄寫筆記的時間。

例如：

A版p.6

B版p.157

A版p.35

108課綱的變革與教學現場遇到的問題 新大滿貫複習講義
  • 素養題、混合題。
  • 增加題組型的範例。
  • 每單元安排混合題（從時事、科普、科技與其他學科取材）。
  • 在範例與習題中增加長敘述問題，例如：p.101，p.105。

例如：

A版p.136（陳建仁副總統曾經在臉書上說明概念）

A版p.289（陳建仁副總統曾經在臉書說明此概念）

108課綱的變革與教學現場遇到的問題 新大滿貫複習講義
  • 高二課程分A、B版。
  • 根據課綱分A、B版編撰。
  • 相同主題的單元，根據題目的難易度選題，因此會有部分內容相同。
  1. 部分內容相同的優點：同時教授AB版的老師，備課會比較容易。
  2. 有些複習講義，第1~2冊的部分是同一本，內容難度較難同時兼顧AB版的學生。

 

二、新大滿貫複習講義的架構

延續原穩拿複習講義的架構，並根據新課綱調整內容，並更換許多題目。

穩拿複習講義 新大滿貫複習講義
1. 重點整理：

除了條列式重點整理外，使用了許多表格整理、對照重點。

 延續原來設計的風格，並在右側增加註解，提供許多實例或說明。
註解與表格範例：A版p.35
2. 是非題：

著重觀念少計算。（許多課本及講義跟進）

 延續原來設計的風格，並依新課綱及近年大考試題更換及重新設計部分新的是非題。
3. 基礎題：

著重基本觀念、基本解題方法。（許多講義根本沒有放）

 延續原來設計的風格，並依新課綱及近年大考試題更換及重新設計部分新的基礎題。
4. 活用題：

著重應用、整合觀念、題目新穎。

 延續原來設計的風格，並依新課綱及近年大考試題更換及重新設計部分新的活用題，並加入題組，可延伸至混合題。例如：p.34範例6。
5. 混合題：

從時事、科普、科技與其他學科取材

長敘述，可培養學生閱讀理解能力

 延續原來設計的風格，簡化部分原穩拿複習講義中較難的題目，並新創許多題目。

測驗卷每一回也編撰一題混合題。
6. 習題：

依難度分級，老師學生容易選用。

題目新穎（素養題、長敘述問題）。

部分題目提供多種解法以及老師叮嚀，針對學生容易錯誤的部分或是針對題目的

 

 延續原來設計的風格，並依新課綱及近年大考試題更換及重新設計部分新的習題。
7. 大考題：

選擇近年難度中等且具有代表性的學測考題。

 依A版與B版分別選擇適合之學測與指考題。

A版：中

B版：中偏易

三、Q&A

  1. Q：穩拿複習講義有許多創新、優良的題目放在習題中，為什麼不放到範例呢？
    A：當初的設定是為了能讓老師快速地講授，因此範例選用的題目比較偏向重要、常見的代表性問題。新大滿貫複習講義採用老師們的建議，將部分創新、優良的題目移至範例，另外也重新設計了一些新題作為範例與習題。
  2. Q：穩拿複習講義沒有一些傳統的重要考題，例如：四心問題？
    A：因為這些考題較難，而且解題方法具有技巧，作者請教許多老師的意見認為應該不是學測、指考會出現的題目，近年來模擬考也很少見，所以沒有選用。新大滿貫複習講義延續此編撰理念，希望安排較多新創、靈活的題目。
  3. Q：穩拿複習講義的基礎題與活用題的難度落差較大？
    A：基礎題的安排是為了讓同學「快速」複習「基本」觀念、公式、題型與解題方法，除此之外，因為近年來學生程度的落差很大，有些學生連這麼簡單的基礎題都不會，因此我們希望學生至少要先具有該單元的基本能力。。如果學校複習時數不足，這樣安排的好處是可以讓學生「自行複習」這些基礎的部分，老師則專心講授觀念、是非題與活用題，將各個觀念與解題方法統整。如果複習時數充足，老師也可以帶著學生一題一題複習，將基礎扎穩。這樣的安排可以讓不同需求的師生使用。新大滿貫複習講義延續此編撰理念，但將較困難的活用題分拆整幾個小題的題組，透過小題的引導，讓學生可以解決一個較困難的題目，如此安排可以降低題目難度的落差感，也符合混合題與分科測驗的非選擇題題組形式。
    例如：A版156範例3，原本穩拿講義直接問第(2)小題，現在增加第(1)小題，引導學生先完成第(1)小題，再解決第(2)小題。這也就是混合題的結構（學測的混合題一般來說會是一個有情境脈絡的長敘述問題）。
  4. Q：穩拿複習講義的要點敘述方式較口語化？
    A：當初這樣撰寫是希望透過比較口語化的描述，讓學生比較容易理解內容。但許多老師表示，大部分數學問題的描述方式依然是數學形式化的方式，學生仍然需要理解數學形式化方式的敘述，因此新大滿貫的重點整理重新修改成較數學形式化的敘述，而註解的內容則採用較口語化的說明，希望學生能透過口語化的說明理解較數學形式化的要點。
  5. Q：作者架設的網站「心裡有數」是什麼形式的網站？
    A：當初架設這個網站原本是提供一個平台讓喜歡數學的網友在線上討論數學，目前也提供穩拿複習講義的基礎題類題以及其他補充內容（例如：四心問題），也真的有老師會下載題目使用。未來也提供新大滿貫複習講義的基礎題類題及其他補充內容。
  6. Q：新大滿貫複習講義沒有題本？
    A：題本的優點是學生繳交作業時，仍有講義可以上課；缺點是有些學生會丟三落四，可能會弄不見。全部集中在一本的優點是，老師收回來檢查作業時，還可以檢查範例與類題的書寫情況（如果是兩本，就要兩本都收回來才能看到）。請教過幾位老師，各有喜好。但是新大滿貫的習題數量是足夠的：

 

 

 

 

 

學測史上最難的數學題

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　　學測單選題有5個選項，隨機猜答，可以預期全體答對率約為20%，但是94年單選題第5題的答對率低於20%，簡單地說，讓全體考生隨機猜答的答對率都還比較高。當年的題目如下：

  1. 某校高一第一次段考數學成績不太理想，多數同學成績偏低；考慮到可能是同學們適應不良所致，數學老師決定將每人的原始成績取平方根後再乘以10作為正式紀錄的成績。今隨機抽選100位同學，發現調整後的成績其平均為65分，標準差為15分；試問這100位同學未調整前的成績之平均M介於哪兩個連續正整數之間？(第7頁附有標準差公式)

(1)40\( \le \)M＜41   (2) 41\( \le \)M＜42   (3) 42\( \le \)M＜43   (4) 43\( \le \)M＜44   (5) 44\( \le \)M＜45

當年五個選項的答案百分比如下：

未作答 選項(1) 選項(2) 選項(3) 選項(4) *選項(5)
全體考生 1 6 18 57 11 8
高分組 1 2 9 72 5 10
低分組 1 10 24 43 15 7

註：

  1. 高分組考生(前33%)，低分組考生(後33%)。
  2. 小數點四捨五入。
  3. 正確答案註記*。

 

正確答案為(5)，有超過一半的考生選擇(3)，應該是底下的誤解：

\(10\sqrt M  = 65 \Rightarrow M = 42.25\)

 

　　學測多選題也有5個選項，至少有1個選項正確，所以有31種可能的答案。如果隨機猜答且考慮全對的情形，則可以預期全體答對率約為\(\frac{1}{{13}} \approx 3.2\% \)。歷史上也有一題多選題低於3.2%，就是98年多選題題第9題，全對率只有1%；另外當年度的多選題第10題的全對率也只有4%而已。換句話說，讓全體考生隨機猜答第9題的全對率都還比實際的全對率高，隨機猜答第10題的全對率和實際的全對率在伯仲之間。當年的題目第9題與第10題如下：

  1. 某廠商委託民調機構在甲、乙兩地調查聽過某項產品的居民佔當地居民之百分比(以下簡稱為「知名度」)。結果如下：在\(95\% \)信心水準之下，該產品在甲、乙兩地的知名度之信賴區間分別為 [ 0.50 , 0.58 ]、[ 0.08 , 0.16 ]。試問下列哪些選項是正確的？

(1) 甲地本次的參訪者中，\(54\% \)的人聽過該產品

(2) 此次民調在乙地的參訪人數少於在甲地的參訪人數

(3) 此次調查結果可解讀為：甲地全體居民中有一半以上的人聽過該產品的機率大於\(95\% \)

(4) 若在乙地以同樣方式進行多次民調，所得知名度有\(95\% \)的機會落在區間[ 0.08 , 0.16 ]

(5) 經密集廣告宣傳後，在乙地再次進行民調，並增加參訪人數達原人數的四倍，則在\(95\% \)信心水準之下該產品的知名度之信賴區間寬度會減半(即0.04)

 

  1. 設\(a,b,c\)為實數，下列有關線性方程組\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 2y + az = 1}\\{3x + 4y + bz = – 1}\\{2x + 10y + 7z = c}\end{array}} \right.\)的敘述哪些是正確的？

(1) 若此線性方程組有解，則必定恰有一組解

(2) 若此線性方程組有解，則\(11a – 3b \ne 7\)

(3) 若此線性方程組有解，則\(c = 14\)

(4) 若此線性方程組無解，則\(11a – 3b = 7\)

(5) 若此線性方程組無解，則\(c \ne 14\)

 

當年兩題五個選項的答案百分比如下：

第9題

未作答 *選項(1) *選項(2) 選項(3) 選項(4) 選項(5)
全體考生 0 67 38 57 75 41
高分組 0 80 34 55 85 48
低分組 0 51 45 59 63 38

 

第10題

未作答 選項(1) 選項(2) 選項(3) *選項(4) *選項(5)
全體考生 2 56 60 55 58 46
高分組 2 49 66 47 69 50
低分組 1 58 54 59 48 31

註：

  1. 高分組考生(前33%)，低分組考生(後33%)。
  2. 小數點四捨五入。
  3. 正確答案註記*。

　　第9題考核的是「信賴區間」，95課綱首次納入教材，98年第一次在大考中出現，當初全國辦了非常多場次的研習，研討如何教授「信賴區間」，但是從數據顯示，考生對於此主題的理解與本題有相當大的距離，所以出現了史上最低全對率1%，史上唯一一題負鑑別度－1%，其中選項(2)是正確的，但是高分組選答比率低於低分組，而選項(4)是錯誤的，但是高分組選答比率卻高於低分組；從這樣的數據來看，也許可以推測高分組的學生對於「信賴區間」有著迷思概念。

　　第10題一般常見的解析是直接解三個方程式，或是利用高斯消去法，最後再討論有解或無解的情況。其中選項(2)是錯誤的，但是高分組選答比率卻高於低分組，也許就是造成本題全對率低的原因，推測有這麼多高分組的同學選答選項(2)，可能是只考慮了無限多組解的情況。

　　最後，非常令人意外的是，不論單選或多選題，皆不倒扣，但是仍有相當多的同學未作答，該題直接零分，真的非常可惜！

AIME 2012 第14題

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題目

有n位數學家圍著一張圓桌，分別坐在依順時針方向標示著1, 2, 3, …, n的座位上。在休息後，他們再度圍著圓桌而坐，每個座位坐一人，這些數學家發現有一個正整數a使得
(1)對於每個k，每位數學家在休息前原先坐在座號k的人，在休息後坐在座號ka(其中座號\(i + n\)的座號視為i)；
(2)在休息後任何兩位數學家之間的數學家的人數，不論按順時針方向數、或逆時針方向數，都與休息前兩人之間的數學家的人數都不同。
試求在\(1 < n < 1000\)中總共有多少個滿足條件的n。

 

 

 

 

 

 

 

 

解：

對於任意正整數n，令\(a = 1,2,3,…,(n – 1)\)(其餘大於n的數只要餘數同a的重坐後順序是跟a一樣的)

而無論n為何，\((a,n) = 1\)，否則座位會重複

設任意兩數學家原本的座號為x,y，

訂此兩人間的人數為\(|x – y|\)(順時針方向)

\(|x – y| = 1,2,3,…,(n – 1)\)

而重坐後的兩人間的人數則為\(a|x – y| – mn\)(其中m為使\(0 < a|x – y| – mn < n\)的最大整數)

依照題意可知

重坐後需滿足

(1) \(a|x – y| – mn \ne |x – y|\)\( \Rightarrow (a – 1)|x – y| \ne mn\)

(2) \(a|x – y| – mn \ne n – |x – y|\)\( \Rightarrow (a + 1)|x – y| \ne mn\)(逆時針方向)

 

 

若n為偶數，則∵\((a,n) = 1\)，∴a必為奇數

故\((a – 1)\)必為偶數，令\((a – 1) = 2t\)

設n=2k，則k必為1,2,…,(n-1)其中一個數

故當\(|x – y| = k\)時，\((a – 1)|x – y| = 2kt = tn\)不符合(1)之條件，

故所有偶數皆不合

 

若n為奇數，則\(a = 2\)時，

\((a – 1)|x – y|\)

\( = |x – y| = 1,2,3,…,(n – 1)\)

此時無論m為何，\((a – 1)|x – y| \ne mn\)

即所有奇數皆滿足(1)

 

若3|n，令n=3p，同理p必為1,2,…,(n-1)其中一個數

∵\((a,n) = 1\)，∴\((a – 1)\)與\((a + 1)\)必有一個為3的倍數，設為3q

當\(|x – y| = p\)時，\(3q|x – y| = 3pq = qn\)又與(1)(2)其中之一不合

故n必不為3的倍數

 

其餘的奇數只要不是3的倍數，在\(a = 2\)時皆可以滿足(1)(2)的條件

 

1<n<1000中為奇數且不為3的倍數者共有499-167=332個

 

關於心裡有數

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　　心裡有數這個網站從2006年就架設，當時我們兩位站長才剛退伍。

　　最初我們有點野心，想建立一個數學網站，有討論區等等豐富的功能，隨著人生進程，忙碌於各種雜事，漸漸無力管理與發表文章，但是我們依然保存了這個網站。

　　後來我們兩位站長合力寫了一本學測的複習講義：高中穩拿數學複習講義(翰林出版社)

　　自此我們將一些複習講義中的補充資料，如基礎題類題、學測指考題目整理等等放到這個網站上，為心裡有數這個網站找到了新出路。

　　最早我們用了xoops架設網站，之後又改成joomla，但是這些擁有豐富功能與套件的CMS，已經不太適合我們現在的狀況了。隨著108新課綱的實行，我們也編輯了新的複習講義，最後我們決定回歸簡單，以部落格的方式重新架設心裡有數。

　　未來心裡有數這個網站主要還是以「新大滿貫數學複習講義」的A版和B版這兩本書的補充資料為主，以後我們兩位站長有別的著作也會這此分享補充資料。站長們若有空撰寫一些文章或試題分析也會分享在這邊。我們也在facebook上成立一個「心裡有數」粉絲頁，有新文章會同步分享到粉絲頁，對我們的建議或是想討論的部份可以移到粉絲頁上來進行。

　　最後希望在我們有生之年不會看到這個網站消失，謝謝大家。