每月彙整: 2021 年 3 月

學測史上最難的數學題

 

  學測單選題有5個選項,隨機猜答,可以預期全體答對率約為20%,但是94年單選題第5題的答對率低於20%,簡單地說,讓全體考生隨機猜答的答對率都還比較高。當年的題目如下:

  1. 某校高一第一次段考數學成績不太理想,多數同學成績偏低;考慮到可能是同學們適應不良所致,數學老師決定將每人的原始成績取平方根後再乘以10作為正式紀錄的成績。今隨機抽選100位同學,發現調整後的成績其平均為65分,標準差為15分;試問這100位同學未調整前的成績之平均M介於哪兩個連續正整數之間?(第7頁附有標準差公式)

(1)40\( \le \)M<41   (2) 41\( \le \)M<42   (3) 42\( \le \)M<43   (4) 43\( \le \)M<44   (5) 44\( \le \)M<45

當年五個選項的答案百分比如下:

未作答 選項(1) 選項(2) 選項(3) 選項(4) *選項(5)
全體考生 1 6 18 57 11 8
高分組 1 2 9 72 5 10
低分組 1 10 24 43 15 7

註:

  1. 高分組考生(前33%),低分組考生(後33%)。
  2. 小數點四捨五入。
  3. 正確答案註記*。

 

正確答案為(5),有超過一半的考生選擇(3),應該是底下的誤解:

\(10\sqrt M  = 65 \Rightarrow M = 42.25\)

 

  學測多選題也有5個選項,至少有1個選項正確,所以有31種可能的答案。如果隨機猜答且考慮全對的情形,則可以預期全體答對率約為\(\frac{1}{{13}} \approx 3.2\% \)。歷史上也有一題多選題低於3.2%,就是98年多選題題第9題,全對率只有1%;另外當年度的多選題第10題的全對率也只有4%而已。換句話說,讓全體考生隨機猜答第9題的全對率都還比實際的全對率高,隨機猜答第10題的全對率和實際的全對率在伯仲之間。當年的題目第9題與第10題如下:

  1. 某廠商委託民調機構在甲、乙兩地調查聽過某項產品的居民佔當地居民之百分比(以下簡稱為「知名度」)。結果如下:在\(95\% \)信心水準之下,該產品在甲、乙兩地的知名度之信賴區間分別為 [ 0.50 , 0.58 ]、[ 0.08 , 0.16 ]。試問下列哪些選項是正確的?

(1) 甲地本次的參訪者中,\(54\% \)的人聽過該產品

(2) 此次民調在乙地的參訪人數少於在甲地的參訪人數

(3) 此次調查結果可解讀為:甲地全體居民中有一半以上的人聽過該產品的機率大於\(95\% \)

(4) 若在乙地以同樣方式進行多次民調,所得知名度有\(95\% \)的機會落在區間[ 0.08 , 0.16 ]

(5) 經密集廣告宣傳後,在乙地再次進行民調,並增加參訪人數達原人數的四倍,則在\(95\% \)信心水準之下該產品的知名度之信賴區間寬度會減半(即0.04)

 

  1. 設\(a,b,c\)為實數,下列有關線性方程組\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 2y + az = 1}\\{3x + 4y + bz = – 1}\\{2x + 10y + 7z = c}\end{array}} \right.\)的敘述哪些是正確的?

(1) 若此線性方程組有解,則必定恰有一組解

(2) 若此線性方程組有解,則\(11a – 3b \ne 7\)

(3) 若此線性方程組有解,則\(c = 14\)

(4) 若此線性方程組無解,則\(11a – 3b = 7\)

(5) 若此線性方程組無解,則\(c \ne 14\)

 

當年兩題五個選項的答案百分比如下:

第9題

未作答 *選項(1) *選項(2) 選項(3) 選項(4) 選項(5)
全體考生 0 67 38 57 75 41
高分組 0 80 34 55 85 48
低分組 0 51 45 59 63 38

 

第10題

未作答 選項(1) 選項(2) 選項(3) *選項(4) *選項(5)
全體考生 2 56 60 55 58 46
高分組 2 49 66 47 69 50
低分組 1 58 54 59 48 31

註:

  1. 高分組考生(前33%),低分組考生(後33%)。
  2. 小數點四捨五入。
  3. 正確答案註記*。

  第9題考核的是「信賴區間」,95課綱首次納入教材,98年第一次在大考中出現,當初全國辦了非常多場次的研習,研討如何教授「信賴區間」,但是從數據顯示,考生對於此主題的理解與本題有相當大的距離,所以出現了史上最低全對率1%,史上唯一一題負鑑別度-1%,其中選項(2)是正確的,但是高分組選答比率低於低分組,而選項(4)是錯誤的,但是高分組選答比率卻高於低分組;從這樣的數據來看,也許可以推測高分組的學生對於「信賴區間」有著迷思概念。

  第10題一般常見的解析是直接解三個方程式,或是利用高斯消去法,最後再討論有解或無解的情況。其中選項(2)是錯誤的,但是高分組選答比率卻高於低分組,也許就是造成本題全對率低的原因,推測有這麼多高分組的同學選答選項(2),可能是只考慮了無限多組解的情況。

  最後,非常令人意外的是,不論單選或多選題,皆不倒扣,但是仍有相當多的同學未作答,該題直接零分,真的非常可惜!