每月彙整: 2021 年 5 月

空間中三平面共線

在坐標空間中,已知三平面\({E_1}:{a_1}x + {b_1}y + {c_1}z = {d_1}\),\({E_2}:{a_2}x + {b_2}y + {c_2}z = {d_2}\),\({E_3}:{a_3}x + {b_3}y + {c_3}z = {d_3}\)共線,則\[\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1}}&{{b_1}}&{{c_1}}\\{{a_2}}&{{b_2}}&{{c_2}}\\{{a_3}}&{{b_3}}&{{c_3}}\end{array}\,} \right| = 0\],反之不成立。

 

上述敘述並非什麼罕見的性質,國編本、88課綱、99課綱都有,但採用三階克拉瑪公式證明此性質;108課綱不再提三階克拉瑪公式,轉而強調三重積與三階行列式的關係,此處採用此方式證明上述性質,證明如下:

 

設平面\({E_1}\),\({E_2}\),\({E_3}\)的法向量分別為\(\mathop {{n_1}}\limits^ \rightharpoonup   = ({a_1},{b_1},{c_1})\),\(\mathop {{n_2}}\limits^ \rightharpoonup   = ({a_2},{b_2},{c_2})\),\(\mathop {{n_3}}\limits^ \rightharpoonup   = ({a_3},{b_3},{c_3})\),並設\({E_1}\),\({E_2}\),\({E_3}\)之交線為\(L\)且\(L\)之方向向量為\(\mathop v\limits^ \rightharpoonup  \)

因為\({E_1}\)與\({E_2}\)之交線為\(L\)且\(L\)之方向向量為\(\mathop v\limits^ \rightharpoonup  \),所以\(\mathop v\limits^ \rightharpoonup   \bot \mathop {{n_1}}\limits^ \rightharpoonup  \)且\(\mathop v\limits^ \rightharpoonup   \bot \mathop {{n_2}}\limits^ \rightharpoonup  \)

\( \Rightarrow \)\(\mathop v\limits^ \rightharpoonup  //\left( {\mathop {{n_1}}\limits^ \rightharpoonup   \times \mathop {{n_2}}\limits^ \rightharpoonup  } \right)\)

設\(\mathop v\limits^ \rightharpoonup   = k\left( {\mathop {{n_1}}\limits^ \rightharpoonup   \times \mathop {{n_2}}\limits^ \rightharpoonup  } \right)\),其中\(k \ne 0\)

又\(L\)在\({E_3}\)上,所以\(\mathop v\limits^ \rightharpoonup   \bot \mathop {{n_3}}\limits^ \rightharpoonup  \)

\( \Rightarrow \)\(\mathop v\limits^ \rightharpoonup   \cdot \mathop {{n_3}}\limits^ \rightharpoonup   = 0\)

\( \Rightarrow \)\(k\left( {\mathop {{n_1}}\limits^ \rightharpoonup   \times \mathop {{n_2}}\limits^ \rightharpoonup  } \right) \cdot \mathop {{n_3}}\limits^ \rightharpoonup   = 0\)

\( \Rightarrow \)\(\left( {\mathop {{n_1}}\limits^ \rightharpoonup   \times \mathop {{n_2}}\limits^ \rightharpoonup  } \right) \cdot \mathop {{n_3}}\limits^ \rightharpoonup   = 0\)

因此\[\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1}}&{{b_1}}&{{c_1}}\\{{a_2}}&{{b_2}}&{{c_2}}\\{{a_3}}&{{b_3}}&{{c_3}}\end{array}\,} \right| = 0\]

 

反之不成立,例如:\({E_1}:x + y + z = 1\),\({E_2}:x + y + z = 2\),\({E_3}:x + y + z = 3\)。顯然,\({E_1}\),\({E_2}\),\({E_3}\)為平行的三個平面,所以不會共線,但\[\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{array}\,} \right| = 0\]。

過三次多項式函數的反曲點作切線

106年指考數甲第7題題目如下:

設實係數三次多項式\(f(x)\)的首項係數為正。已知\(y = f(x)\)的圖形和直線\(y = g(x)\)在\(x = 1\)相切,且兩圖形只有一個交點。試選出正確的選項。 
(1) \(f(1) = g(1)\) 
(2) \(f'(1) = g'(1)\) 
(3) \(f^”(1) = 0\) 
(4) 存在實數\(a \ne 1\)使得\(f'(a) = g'(a)\)  
(5) 存在實數\(a \ne 1\)使得\(f^”(a) = g^”(a)\)

答案是(1)(2)(3),答對率(得分率)為32%,全對率為13%。

  其中答案(3)正確,表示\((\,1\;,\;f(1)\,)\)為\(y = f(x)\)圖形的反曲點,而本題的實係數三次多項式\(f(x)\)除了限制首相係數為正之外,並沒有其他的條件,所以不禁令人猜想:

設\(f(x)\)為實係數三次多項式,以\(y = f(x)\)圖形上一點\(P\)為切點作切線\(L\)。若\(y = f(x)\)的圖形與直線\(L\)的圖形只有一個交點,則點\(P\)為\(y = f(x)\)圖形的反曲點,反之亦成立。

  108課綱在10年級的部分安排了三次函數的圖形特徵,有三個重要性質:

  1. 實係數三次多項式\(y = g(x) = a{x^3} + px\)圖形的對稱中心為點\((\,0\;,\;0\,)\)。
  2. 任意實係數三次多項式\(f(x) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\)必可表示成\(f(x) = a{(x – h)^3} + p(x – h) + k\),其中\((\,h\;,\;k\,) = \,\left( { – \frac{b}{{3a}}\;,\;f\left( { – \frac{b}{{3a}}} \right)} \right)\,\),且點\((\,h\;,\;k\,)\)為\(y = f(x)\)圖形的對稱中心。
  3. 實係數三次多項式\(y = g(x) = a{x^3} + px\)的圖形水平方向平移\(h\)單位,鉛直方向平移\(k\)單位可得\(y = f(x) = a{(x – h)^3} + p(x – h) + k\)的圖形。

  上述三次多項式函數圖形的對稱中心即為反曲點,但10年級時並未提及此名詞。
另外,由性質3可知,\(y = g(x) = a{x^3} + px\)的圖形平移可得\(y = f(x) = a{(x – h)^3} + p(x – h) + k\)的圖形,因此只要是圖形平移時不會改變的性質(例如:對稱性、遞增遞減、凹口方向等等),則只需要探討\(y = g(x) = a{x^3} + px\)的圖形性質即可,\(y = f(x) = a{(x – h)^3} + p(x – h) + k\)的圖形也會同時具有相同的性質。

  因此,上述猜想只需要考慮實係數三次多項式\(f(x) = a{x^3} + px\)即可。

設\(f(x) = a{x^3} + px\)為實係數三次多項式,以\(y = f(x)\)圖形上一點\(P\)為切點作切線\(L\)。若\(y = f(x)\)的圖形與直線\(L\)的圖形只有一個交點,則點\(P\)為\(y = f(x)\)圖形的反曲點,反之亦成立。

證明:

設點\(P(\,t\;,\;a{t^3} + pt\,)\),其中\(t\)為實數

則切線\(L\)的斜率為\(f'(t) = 3a{t^2} + p\)

因此\(L\)的方程式為\(y – (a{t^3} + pt) = (3a{t^2} + p)(x – t)\)

即\(L:y = (3a{t^2} + p)x – 2a{t^3}\)

\(\left\{ \begin{array}{l}y = f(x) = a{x^3} + px\\y = (3a{t^2} + p)x – 2a{t^3}\end{array} \right.\)解聯立得\(a{x^3} – 3a{t^2}x + 2a{t^3} = 0\)……①

因為\(a \ne 0\),所以①可化為\({x^3} – 3{t^2}x + 2{t^3} = 0\)……②(即與\(a\)之正負無關)

又\(y = f(x)\)的圖形與直線\(L\)的圖形只有一個交點\(P(\,t\;,\;a{t^3} + pt\,)\),所以②有三重實根\(t\),因此‚可分解為\((x – t)({x^2} + tx – 2{t^2}) = 0\)……③

③可進一步化為\((x – t)(x – t)(x + 2t) = 0\)

因此\(x = t,\;t,\; – 2t\)

因為②之三重實根為\(t\),所以\( – 2t = t\),因此\(t = 0\)

即點\(P\)之坐標為\((\,0\;,\;0\,)\),為\(y = f(x) = a{x^3} + px\)圖形的反曲點

反之,若點\(P\)為\(y = f(x) = a{x^3} + px\)圖形的反曲點,則點\(P\)之坐標為\((\,0\;,\;0\,)\)

切線\(L\)的斜率為\(f'(0) = 3a \cdot {0^2} + p = p\)

切線\(L\)的方程式為\(y – (a \cdot {0^3} + p \cdot 0) = (3a \cdot {0^2} + p)(x – 0)\)

即\(L:y = px\)

\(\left\{ \begin{array}{l}y = f(x) = a{x^3} + px\\y = px\end{array} \right.\)解聯立得\(a{x^3} = 0\)……④

因為\(a \ne 0\),所以④有三重實根\(0\)

因此若點\(P\)為\(y = f(x) = a{x^3} + px\)圖形的反曲點,則以點\(P\)為切點的切線\(L\)與\(y = f(x) = a{x^3} + px\)圖形只有一個交點

 

結論:

設\(f(x)\)為實係數三次多項式,以\(y = f(x)\)圖形上一點\(P\)為切點作切線\(L\)。\(y = f(x)\)圖形與直線\(L\)只有一個交點的充要條件為點\(P\)是\(y = f(x)\)圖形的反曲點。

 

新大滿貫複習講義特色

一、根據108課綱的因應策略

108課綱的變革與教學現場遇到的問題 新大滿貫複習講義
● 教學與複習的時數減少 ●   增加要點的註解

1.         學生可以自行研讀或課後複習,增強對概念要點的理解。

2.         可以減少學生抄寫筆記的時間。

例如:

A版p.6

B版p.157

A版p.35

108課綱的變革與教學現場遇到的問題 新大滿貫複習講義
  • 素養題、混合題。
  • 增加題組型的範例。
  • 每單元安排混合題(從時事、科普、科技與其他學科取材)。
  • 在範例與習題中增加長敘述問題,例如:p.101,p.105。

例如:

A版p.136(陳建仁副總統曾經在臉書上說明概念)

A版p.289(陳建仁副總統曾經在臉書說明此概念)

108課綱的變革與教學現場遇到的問題 新大滿貫複習講義
  • 高二課程分A、B版。
  • 根據課綱分A、B版編撰。
  • 相同主題的單元,根據題目的難易度選題,因此會有部分內容相同。
  1. 部分內容相同的優點:同時教授AB版的老師,備課會比較容易。
  2. 有些複習講義,第1~2冊的部分是同一本,內容難度較難同時兼顧AB版的學生。

 

二、新大滿貫複習講義的架構

延續原穩拿複習講義的架構,並根據新課綱調整內容,並更換許多題目。

穩拿複習講義 新大滿貫複習講義
1. 重點整理:

除了條列式重點整理外,使用了許多表格整理、對照重點。

延續原來設計的風格,並在右側增加註解,提供許多實例或說明。
註解與表格範例:A版p.35
2. 是非題:

著重觀念少計算。(許多課本及講義跟進)

延續原來設計的風格,並依新課綱及近年大考試題更換及重新設計部分新的是非題。
3. 基礎題:

著重基本觀念、基本解題方法。(許多講義根本沒有放)

延續原來設計的風格,並依新課綱及近年大考試題更換及重新設計部分新的基礎題。
4. 活用題:

著重應用、整合觀念、題目新穎。

延續原來設計的風格,並依新課綱及近年大考試題更換及重新設計部分新的活用題,並加入題組,可延伸至混合題。例如:p.34範例6。
5. 混合題:

從時事、科普、科技與其他學科取材

長敘述,可培養學生閱讀理解能力

延續原來設計的風格,簡化部分原穩拿複習講義中較難的題目,並新創許多題目。

測驗卷每一回也編撰一題混合題。

6. 習題:

依難度分級,老師學生容易選用。

題目新穎(素養題、長敘述問題)。

部分題目提供多種解法以及老師叮嚀,針對學生容易錯誤的部分或是針對題目的

 

延續原來設計的風格,並依新課綱及近年大考試題更換及重新設計部分新的習題。
7. 大考題:

選擇近年難度中等且具有代表性的學測考題。

依A版與B版分別選擇適合之學測與指考題。

A版:中

B版:中偏易

三、Q&A

  1. Q:穩拿複習講義有許多創新、優良的題目放在習題中,為什麼不放到範例呢?
    A:當初的設定是為了能讓老師快速地講授,因此範例選用的題目比較偏向重要、常見的代表性問題。新大滿貫複習講義採用老師們的建議,將部分創新、優良的題目移至範例,另外也重新設計了一些新題作為範例與習題。
  2. Q:穩拿複習講義沒有一些傳統的重要考題,例如:四心問題?
    A:因為這些考題較難,而且解題方法具有技巧,作者請教許多老師的意見認為應該不是學測、指考會出現的題目,近年來模擬考也很少見,所以沒有選用。新大滿貫複習講義延續此編撰理念,希望安排較多新創、靈活的題目。
  3. Q:穩拿複習講義的基礎題與活用題的難度落差較大?
    A:基礎題的安排是為了讓同學「快速」複習「基本」觀念、公式、題型與解題方法,除此之外,因為近年來學生程度的落差很大,有些學生連這麼簡單的基礎題都不會,因此我們希望學生至少要先具有該單元的基本能力。。如果學校複習時數不足,這樣安排的好處是可以讓學生「自行複習」這些基礎的部分,老師則專心講授觀念、是非題與活用題,將各個觀念與解題方法統整。如果複習時數充足,老師也可以帶著學生一題一題複習,將基礎扎穩。這樣的安排可以讓不同需求的師生使用。新大滿貫複習講義延續此編撰理念,但將較困難的活用題分拆整幾個小題的題組,透過小題的引導,讓學生可以解決一個較困難的題目,如此安排可以降低題目難度的落差感,也符合混合題與分科測驗的非選擇題題組形式。
    例如:A版156範例3,原本穩拿講義直接問第(2)小題,現在增加第(1)小題,引導學生先完成第(1)小題,再解決第(2)小題。這也就是混合題的結構(學測的混合題一般來說會是一個有情境脈絡的長敘述問題)。
  4. Q:穩拿複習講義的要點敘述方式較口語化?
    A:當初這樣撰寫是希望透過比較口語化的描述,讓學生比較容易理解內容。但許多老師表示,大部分數學問題的描述方式依然是數學形式化的方式,學生仍然需要理解數學形式化方式的敘述,因此新大滿貫的重點整理重新修改成較數學形式化的敘述,而註解的內容則採用較口語化的說明,希望學生能透過口語化的說明理解較數學形式化的要點。
  5. Q:作者架設的網站「心裡有數」是什麼形式的網站?
    A:當初架設這個網站原本是提供一個平台讓喜歡數學的網友在線上討論數學,目前也提供穩拿複習講義的基礎題類題以及其他補充內容(例如:四心問題),也真的有老師會下載題目使用。未來也提供新大滿貫複習講義的基礎題類題及其他補充內容。
  6. Q:新大滿貫複習講義沒有題本?
    A:題本的優點是學生繳交作業時,仍有講義可以上課;缺點是有些學生會丟三落四,可能會弄不見。全部集中在一本的優點是,老師收回來檢查作業時,還可以檢查範例與類題的書寫情況(如果是兩本,就要兩本都收回來才能看到)。請教過幾位老師,各有喜好。但是新大滿貫的習題數量是足夠的: