過三次多項式函數的反曲點作切線

心裡有數
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106年指考數甲第7題題目如下:

設實係數三次多項式\(f(x)\)的首項係數為正。已知\(y = f(x)\)的圖形和直線\(y = g(x)\)在\(x = 1\)相切,且兩圖形只有一個交點。試選出正確的選項。 
(1) \(f(1) = g(1)\) 
(2) \(f'(1) = g'(1)\) 
(3) \(f^”(1) = 0\) 
(4) 存在實數\(a \ne 1\)使得\(f'(a) = g'(a)\)  
(5) 存在實數\(a \ne 1\)使得\(f^”(a) = g^”(a)\)

答案是(1)(2)(3),答對率(得分率)為32%,全對率為13%。

  其中答案(3)正確,表示\((\,1\;,\;f(1)\,)\)為\(y = f(x)\)圖形的反曲點,而本題的實係數三次多項式\(f(x)\)除了限制首相係數為正之外,並沒有其他的條件,所以不禁令人猜想:

設\(f(x)\)為實係數三次多項式,以\(y = f(x)\)圖形上一點\(P\)為切點作切線\(L\)。若\(y = f(x)\)的圖形與直線\(L\)的圖形只有一個交點,則點\(P\)為\(y = f(x)\)圖形的反曲點,反之亦成立。

  108課綱在10年級的部分安排了三次函數的圖形特徵,有三個重要性質:

  1. 實係數三次多項式\(y = g(x) = a{x^3} + px\)圖形的對稱中心為點\((\,0\;,\;0\,)\)。
  2. 任意實係數三次多項式\(f(x) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\)必可表示成\(f(x) = a{(x – h)^3} + p(x – h) + k\),其中\((\,h\;,\;k\,) = \,\left( { – \frac{b}{{3a}}\;,\;f\left( { – \frac{b}{{3a}}} \right)} \right)\,\),且點\((\,h\;,\;k\,)\)為\(y = f(x)\)圖形的對稱中心。
  3. 實係數三次多項式\(y = g(x) = a{x^3} + px\)的圖形水平方向平移\(h\)單位,鉛直方向平移\(k\)單位可得\(y = f(x) = a{(x – h)^3} + p(x – h) + k\)的圖形。

  上述三次多項式函數圖形的對稱中心即為反曲點,但10年級時並未提及此名詞。
另外,由性質3可知,\(y = g(x) = a{x^3} + px\)的圖形平移可得\(y = f(x) = a{(x – h)^3} + p(x – h) + k\)的圖形,因此只要是圖形平移時不會改變的性質(例如:對稱性、遞增遞減、凹口方向等等),則只需要探討\(y = g(x) = a{x^3} + px\)的圖形性質即可,\(y = f(x) = a{(x – h)^3} + p(x – h) + k\)的圖形也會同時具有相同的性質。

  因此,上述猜想只需要考慮實係數三次多項式\(f(x) = a{x^3} + px\)即可。

設\(f(x) = a{x^3} + px\)為實係數三次多項式,以\(y = f(x)\)圖形上一點\(P\)為切點作切線\(L\)。若\(y = f(x)\)的圖形與直線\(L\)的圖形只有一個交點,則點\(P\)為\(y = f(x)\)圖形的反曲點,反之亦成立。

證明:

設點\(P(\,t\;,\;a{t^3} + pt\,)\),其中\(t\)為實數

則切線\(L\)的斜率為\(f'(t) = 3a{t^2} + p\)

因此\(L\)的方程式為\(y – (a{t^3} + pt) = (3a{t^2} + p)(x – t)\)

即\(L:y = (3a{t^2} + p)x – 2a{t^3}\)

\(\left\{ \begin{array}{l}y = f(x) = a{x^3} + px\\y = (3a{t^2} + p)x – 2a{t^3}\end{array} \right.\)解聯立得\(a{x^3} – 3a{t^2}x + 2a{t^3} = 0\)……①

因為\(a \ne 0\),所以①可化為\({x^3} – 3{t^2}x + 2{t^3} = 0\)……②(即與\(a\)之正負無關)

又\(y = f(x)\)的圖形與直線\(L\)的圖形只有一個交點\(P(\,t\;,\;a{t^3} + pt\,)\),所以②有三重實根\(t\),因此‚可分解為\((x – t)({x^2} + tx – 2{t^2}) = 0\)……③

③可進一步化為\((x – t)(x – t)(x + 2t) = 0\)

因此\(x = t,\;t,\; – 2t\)

因為②之三重實根為\(t\),所以\( – 2t = t\),因此\(t = 0\)

即點\(P\)之坐標為\((\,0\;,\;0\,)\),為\(y = f(x) = a{x^3} + px\)圖形的反曲點

反之,若點\(P\)為\(y = f(x) = a{x^3} + px\)圖形的反曲點,則點\(P\)之坐標為\((\,0\;,\;0\,)\)

切線\(L\)的斜率為\(f'(0) = 3a \cdot {0^2} + p = p\)

切線\(L\)的方程式為\(y – (a \cdot {0^3} + p \cdot 0) = (3a \cdot {0^2} + p)(x – 0)\)

即\(L:y = px\)

\(\left\{ \begin{array}{l}y = f(x) = a{x^3} + px\\y = px\end{array} \right.\)解聯立得\(a{x^3} = 0\)……④

因為\(a \ne 0\),所以④有三重實根\(0\)

因此若點\(P\)為\(y = f(x) = a{x^3} + px\)圖形的反曲點,則以點\(P\)為切點的切線\(L\)與\(y = f(x) = a{x^3} + px\)圖形只有一個交點

 

結論:

設\(f(x)\)為實係數三次多項式,以\(y = f(x)\)圖形上一點\(P\)為切點作切線\(L\)。\(y = f(x)\)圖形與直線\(L\)只有一個交點的充要條件為點\(P\)是\(y = f(x)\)圖形的反曲點。

 

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