每日彙整: 21 4 月, 2022

鑑古知今系列2 分組分堆問題

110年試辦考試數學B的第16題,題目如下:

有6位籃球愛好者在籃球場相遇,想組成兩隊,每隊3人,進行三對三鬥牛。組隊方式以每人出「手心」或「手背」的方式決定,當出「手心」與「手背」各3人時,同出手心的3人組成一隊,而同出手背的3人為另一隊。若每人出手心或手背的機率相等,且各人出手方式互相獨立,則這6人出手一次就組隊成功的機率為__________。(化為最簡分數)

答案為\(\frac{5}{{16}}\)。

 

  這個題目是「分組分堆」問題,是學校的段考題以及模擬考題中常見的題型,但是同學們常常分不清楚是「分組」還是「分堆」,所以會覺得這種題型是比較困難的問題。

 

  如果被分的是物品,題目的敘述就會比較明確地出現「分組」或「分堆」,所以同學們比較容易答對;但是如果被分的是人,題目通常都是分成某幾「組」,這時候正確地判斷題意是屬於「分組」還是「分堆」便是關鍵之處,分辨的方法就是看題目中是否有將分成的組「編號」,若「有編號」就是「分組」,若「無編號」就是「分堆」。

 

  110年試辦考試數學B這道題目便是將6位籃球愛好者分成「手心」與「手背」兩隊,「手心」與「手背」便是「編號」,所以這道題目是屬於「分組」的問題。

 

  歷屆大考試題中,還有下列幾道「分組分堆」的問題,請問分別是「分組」還是「分堆」的問題?(參考答案條列於後)

 

  1. 某畢業班由8位同學負責畢旅規劃,分成A、B、C三組,且三組分別由3人、3人、2人組成。8位同學每人都會被分配到其中一組,且甲、乙兩位同學一定要在同一組。這8位同學總共有幾種分組方式?(單選)
    (1) 140種 (2) 150種  (3) 160種  (4) 170種  (5) 180種
    【109數乙】Ans: (1)
  2. 籃球3人鬥牛賽,共有甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬9人參加,組成3隊,且甲、乙兩人不在同一隊的組隊方法__________種。
    【90學測】Ans: 210
  3. 欲將八位新生平均分發到甲、乙、丙、丁四班,共有__________種分法。
    【87社】Ans: 2520

 

參考答案:

  1. 分組 2. 分堆(註) 3. 分組

 

註:第2題(90學測)這個題目也可以視為「分組」的問題:將三隊分成「有甲」、「有乙」、「沒有甲乙」三組。