三角形SSA與三角形的唯一性

心裡有數

三角形SSA與三角形的唯一性

 

105學測的第12題如下:

在\(\Delta ABC\)中,已知\(\angle A = {20^ \circ }\)、\(\overline {AB}  = 5\)、\(\overline {BC}  = 4\)。請選出正確的選項。

(1) 可以確定\(\angle B\)的餘弦值

(2) 可以確定\(\angle C\)的正弦值

(3) 可以確定\(\Delta ABC\)的面積

(4) 可以確定\(\Delta ABC\)的內切圓半徑

(5) 可以確定\(\Delta ABC\)的外接圓半徑

本題的答案為(2)(5),答對率為30%,全對率為19%,算是個難題!

 

110學測第10題又出了一題類似的題目,是更困難的版本:

在\(\Delta ABC\)中,已經知道\(\overline {AB}  = 4\)和\(\overline {AC}  = 6\),此時尚不足以確定\(\Delta ABC\)的形狀與大小。但是,只要再知道某些條件(例如:再知道\(\overline {BC} \)的長度),就可確定\(\Delta ABC\)唯一的形狀與大小。試選出正確的選項。
( 1) 如果再知道\(\cos A\)的值,就可確定\(\Delta ABC\)唯一的形狀與大小
(2) 如果再知道\(\cos B\)的值,就可確定\(\Delta ABC\)唯一的形狀與大小
(3) 如果再知道\(\cos C\)的值,就可確定\(\Delta ABC\)唯一的形狀與大小
(4) 如果再知道\(\Delta ABC\)的面積,就可確定\(\Delta ABC\)唯一的形狀與大小
(5) 如果再知道\(\Delta ABC\)的外接圓半徑,就可確定\(\Delta ABC\)唯一的形狀與大小

本題的答案為(1)(2),答對率為22%,全對率為3%,真的是很不容易的題目!

 

幾何學中,SSS, SAS, AAS, RHS可以唯一確定三角形,而SSA「可能」會出現兩種可能的三角形,105年學測第12題即是此類;而110年學測則是只給了SS(兩邊),然後選項(1)(2)(3)分別給定三個內角的餘弦值,詢問是否能唯一確定\(\Delta ABC\),因為已知三角形的某個角之餘弦值便可確定該角的角度,所以選項(1)(2)(3)其實就是分別給定三個內角的角度,詢問是否能唯一確定\(\Delta ABC\);因為已經給定SS(\(\overline {AB} \)與\(\overline {AC} \)兩邊),所以必定有SAS(給定\(\angle A\)時,此時可以唯一確定),以及SSA(給定\(\angle B\)或\(\angle C\)時),但是因為SSA「可能」會出現兩種可能的三角形,所以選項(2)(3)還要進一步判斷,而這正是這個題目困難的地方;110年第10題每個選項的選答率為:(1) 79%  (2) 48%  (3) 41%  (4) 52%  (5) 57%,其中選項(2)(3)的選答率較為接近,且與其他選項有落差,但正確答案只有(2),因此可以猜測多數考生只判斷出選項(2)(3)皆為SSA,便認為「一定」會出現兩種可能的三角形。至於選項(4)(5)則是與三角形的內角之正弦值有關,由於已知三角形的某個角之正弦值無法確定該角的角度,因此需要進一步判斷。

 

本文主要是探討SSA與餘弦定理的關係。

仿105學測第12題的條件,給定\(\angle A\),\(\overline {AB}  = c\),\(\overline {BC}  = a\)。

設\(\angle XAB = \angle A\),點\(C\)在射線\(AX\)上且\(\overline {AC}  = x\),其中\(x > 0\)

由餘弦定理得\({a^2} = {c^2} + {x^2} – 2 \cdot c \cdot x \cdot \cos A\)

整理得\({x^2} – (2c \cdot \cos A) \cdot x + {c^2} – {a^2} = 0\)……(*)

(*)的判別式\(D = {( – 2c\cos A)^2} – 4({c^2} – {a^2}) = 4(a + c\sin A)(a – c\sin A)\)

 

  1. 若\({90^ \circ } < \angle A < {180^ \circ }\),則\(\cos A < 0\),且\(c < a\)

此時\(D = 4{\cos ^2}A – 4({c^2} – {a^2}) > 0\),所以(*)有兩相異實根\({x_1},\;{x_2}\),因此\(\Delta ABC\)「可能」有兩種情形

由根與係數得\({x_1} + {x_2} = 2c\cos A < 0\),\({x_1} \cdot {x_2} = {c^2} – {a^2} < 0\)

因此\({x_1},\;{x_2}\)異號,所以(*)僅有一實根,故\(\Delta ABC\)唯一存在。

  1. 若\(\angle A = {90^ \circ }\),則\(\cos A = 0\),且\(c < a\)

此時(*)可化簡為\({x^2} = {a^2} – {c^2}\)\( \Rightarrow \)\(x =  \pm \sqrt {{a^2} – {c^2}} \)

因為\(x > 0\),所以\(x = \sqrt {{a^2} – {c^2}} \)(即畢氏定理)

故\(\Delta ABC\)唯一存在(即RHS)

  1. 若\({0^ \circ } < \angle A < {90^ \circ }\),則\(\cos A > 0\)

(1) 若\(\overline {BC} = a < c\sin A = \overline {AB}  \cdot \sin A\),則\(D < 0\),此時(*)無解,因此\(\Delta ABC\)不存在。

(2) 若\(\overline {BC} = a = c\sin A = \overline {AB}  \cdot \sin A\),則\(D = 0\),此時(*)有兩相等實根,因此\(\Delta ABC\)(唯一)存在。

(3) 若\(\overline {BC} = a > c\sin A = \overline {AB}  \cdot \sin A\),則\(D > 0\),此時(*)有兩相異實根\({x_1},\;{x_2}\),因此\(\Delta ABC\)「可能」有兩種情形。

由根與係數得\({x_1} + {x_2} = 2c\cos A > 0\),\({x_1} \cdot {x_2} = {c^2} – {a^2} = (c + a)(c – a)\),所以有下列三種情形:

  • 若\(a < c\),則\({x_1} \cdot {x_2} > 0\),此時(*)有兩相異正實根,因此\(\Delta ABC\)有兩種情形。
  • 若\(a = c\),則\({x_1} \cdot {x_2} = 0\),此時(*)有一正實根,另一根為0,因此\(\Delta ABC\)唯一存在(此時\(\Delta ABC\)為等腰三角形)。
  • 若\(a > c\),則\({x_1} \cdot {x_2} < 0\),此時(*)有一正實根與一負實根,因此\(\Delta ABC\)唯一存在。

 

接下來討論幾何的情形:

設點\(B\)在射線\(AX\)上的投影點為點\(H\),則\(\overline {BH}  = \overline {AB}  \cdot \sin A\)(也就是上述討論中的\(\overline {AB}  \cdot \sin A = c\sin A\))。考慮以點\(B\)為圓心,適當長為半徑畫弧,可得如下示意圖:

\(\overline {BC}  = a\),\(\overline {BH}  = \overline {AB}  \cdot \sin A = c\sin A\),由上圖可知:

 ①若\(0 < \overline {BC}  < \overline {BH} \),即\(0 < a < c\sin A\),則\(\Delta ABC\)不存在。

②若\(\overline {BC}  = \overline {BH} \),即\(a = c\sin A\),則\(\Delta ABC\)唯一存在,如上圖的\(\Delta ABH\)(此時點\(C\)為點\(H\),此即為RHS)。

③若\(\overline {BH}  < \overline {BC}  < \overline {BA} \),即\(c\sin A < a < c\),則\(\Delta ABC\)有兩種可能,如上圖的\(\Delta AB{C’_1}\)與\(\Delta AB{C’_2}\)。

④若\(\overline {BC}  = \overline {BA} \),即\(a = c\),則\(\Delta ABC\)唯一存在,如上圖的\(\Delta AB{C”_1}\)(此時點\({C”_2}\)為點\(A\),且\(\Delta ABC\)為等腰三角形)。

⑤若\(\overline {BC}  > \overline {BA} \),即\(a > c\),則\(\Delta ABC\)唯一存在,如上圖的\(\Delta AB{C”’_1}\)(因為\(\Delta AB{C”’_2}\)的\(\angle A\)為鈍角,所以點\({C”’_2}\)不為所求)。

 

將(*)的代數與上述的幾何結論整合如下:

  1. 若\({90^ \circ } \le \angle A < {180^ \circ }\),則\(\Delta ABC\)唯一存在;即當三角形為直角三角形或鈍角三角形時,SSA可以保證三角形唯一存在。
  2. 若\({0^ \circ } < \angle A < {90^ \circ }\),則有下列情形:
\(a\)與\(c\)之關係 \({x^2} – (2c \cdot \cos A) \cdot x + {c^2} – {a^2} = 0\) \(\Delta ABC\)
 ①\(0 < a < c\sin A\) (1) 無實根 不存在
②\(a = c\sin A\) (2) 兩相等實根 唯一存在(RHS)
③\(c\sin A < a < c\) (3) I. 兩相異正實根 有兩種可能
④\(a = c\) (3) II.一正根,另一根為0 唯一存在
⑤\(a > c\) (3) III.一正根與一負根 唯一存在

 

由以上結論,105年學測第12題中,因為\(\overline {BA} \sin A = 5\sin {20^ \circ } < 5\sin {30^ \circ } = \frac{5}{2} < 4 = \overline {BC} \),所以\(\Delta ABC\)有兩種可能,的示意圖如下:

110學測第10題:

選項(1)給定\(\angle A\),所以為SAS,故\(\Delta ABC\)唯一存在。

選項(2),因為\(\overline {AC}  > \overline {AB} \),所以\(\angle B\)可能為鈍角或直角,此時\(\Delta ABC\)唯一存在;若\(\angle B\)為銳角,也因為\(\overline {AC}  > \overline {AB} \),此時\(\Delta ABC\)唯一存在,示意圖如下:

選項(3),因為\(\overline {AC}  > \overline {AB} \),所以\(\angle C\)必為銳角,此時\(\Delta ABC\)有兩種可能(會存在\(\angle C\)使得\(\Delta ABC\)不存在,但是題目已經提到在\(\Delta ABC\)中,所以不考慮此情形),示意圖如下:

 

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