班佛定律

心裡有數

 

班佛定律

 

班佛定律

在\(b\)進位制中,以數\(n\)起頭的數出現的機率為

\(P(n) = {\log _b}(n + 1) – {\log _b}n = \log \left( {1 + \frac{1}{n}} \right)\),其中\(n = 1,\;2,\;3,\; \cdots \;,\;b – 1\)

 

關於「班佛定律」,網路上有許多好文章,列出幾篇如下:

  1. 維基百科:《班佛定律》
    https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%AC%E7%A6%8F%E7%89%B9%E5%AE%9A%E5%BE%8B
  2. UniMath:《用班佛定律檢驗校正回歸的數字到底有沒有人為操作的痕跡?》
    https://www.facebook.com/UniMathTw/posts/4534321226611876
  3. 泛科學PanSci:《不要相信你的直覺》
    https://pansci.asia/archives/54264
  4. Tne News Lens:《一的力量:如何利用「班佛定律」偵破數字詐欺?》
    https://www.thenewslens.com/article/90784
  5. 《假帳殺手一號》
    https://medium.com/justfraud/%E6%9C%80%E4%B8%8D%E7%9B%B4%E8%A6%BA%E4%BD%86%E5%8F%88%E5%AE%B9%E6%98%93%E8%A2%AB%E8%AA%A4%E7%94%A8%E7%9A%84%E7%8F%AD%E4%BD%9B%E5%AE%9A%E5%BE%8B-abe83d66262c
  6. 觀網:《如何讓鑑識會計人員使用班佛定律來偵查舞弊事件》
    https://blog.uprofit-tw.com/?p=7195

 

閱讀完以上的文章,相信會對於「班佛定律」有初步的理解。

 

事實上,「班佛定律」也曾經現身於大考及大考研究試卷中,如下:

93年數學乙單選第4題

由電腦隨機選出127個正整數,取其最高位數字(如35為3,110為1)所得之次數分佈如下圖。

若從這127個正整數中任取一個,則其最高位數字為\(d\)(\(d = 1,\;2,\;3,\; \cdots \;,\;9\))的機率\(P\)最接近下列哪一選項? 

(1) \(P = \frac{1}{9}\)
(2) \(P = \frac{1}{2} – \frac{1}{{90}}d\)
(3) \(P = \frac{{{{(d – 5)}^2}}}{{60}}\)
(4) \(P = \frac{2}{5} \cdot {(\frac{1}{5})^d}\)
(5) \(P = \log (1 + \frac{1}{d})\)

 

上面這一題的答案為(5)。

 

另外,大學入學考試中心在97年公布的《指定科目考試參考試卷-數學乙》以及當年《指定科目考試研究用試卷-數學乙卷四、卷五》中有底下的題目:

班佛法則:銀行存款的首位數為\(a\)(即存款數字的第一位數為\(a\),例如存款金額為483216的首位數是4)的比例約有\({\log _{10}}\left( {1 + \frac{1}{a}} \right)\),根據班佛法則,銀行存款的首位數為4,或5,或6,或7的人約有多少比例:
(\({\log _{10}}2 \approx 0.3010,\;{\log _{10}}3 \approx 0.4771,\;{\log _{10}}5 \approx 0.6990\))
(1) 20%  (2) 30%  (3) 40%  (4) 50%  (5) 60%

 

上面這一題的答案為(2)。

 

  未來這類型的題目會越來越多,除了平常多閱讀科普讀物或文章瞭解一些與課程相關的內容以培養能力之外,要是真的在試場中遇到未曾接觸過的內容,其實也只需要靜下心來好好讀懂題目,照著題目的說明好好理解內容後,再使用過自己學過的數學知識即可解題。

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