作者彙整: admin

學測史上最難的數學題

 

  學測單選題有5個選項,隨機猜答,可以預期全體答對率約為20%,但是94年單選題第5題的答對率低於20%,簡單地說,讓全體考生隨機猜答的答對率都還比較高。當年的題目如下:

  1. 某校高一第一次段考數學成績不太理想,多數同學成績偏低;考慮到可能是同學們適應不良所致,數學老師決定將每人的原始成績取平方根後再乘以10作為正式紀錄的成績。今隨機抽選100位同學,發現調整後的成績其平均為65分,標準差為15分;試問這100位同學未調整前的成績之平均M介於哪兩個連續正整數之間?(第7頁附有標準差公式)

(1)40\( \le \)M<41   (2) 41\( \le \)M<42   (3) 42\( \le \)M<43   (4) 43\( \le \)M<44   (5) 44\( \le \)M<45

當年五個選項的答案百分比如下:

未作答 選項(1) 選項(2) 選項(3) 選項(4) *選項(5)
全體考生 1 6 18 57 11 8
高分組 1 2 9 72 5 10
低分組 1 10 24 43 15 7

註:

  1. 高分組考生(前33%),低分組考生(後33%)。
  2. 小數點四捨五入。
  3. 正確答案註記*。

 

正確答案為(5),有超過一半的考生選擇(3),應該是底下的誤解:

\(10\sqrt M  = 65 \Rightarrow M = 42.25\)

 

  學測多選題也有5個選項,至少有1個選項正確,所以有31種可能的答案。如果隨機猜答且考慮全對的情形,則可以預期全體答對率約為\(\frac{1}{{13}} \approx 3.2\% \)。歷史上也有一題多選題低於3.2%,就是98年多選題題第9題,全對率只有1%;另外當年度的多選題第10題的全對率也只有4%而已。換句話說,讓全體考生隨機猜答第9題的全對率都還比實際的全對率高,隨機猜答第10題的全對率和實際的全對率在伯仲之間。當年的題目第9題與第10題如下:

  1. 某廠商委託民調機構在甲、乙兩地調查聽過某項產品的居民佔當地居民之百分比(以下簡稱為「知名度」)。結果如下:在\(95\% \)信心水準之下,該產品在甲、乙兩地的知名度之信賴區間分別為 [ 0.50 , 0.58 ]、[ 0.08 , 0.16 ]。試問下列哪些選項是正確的?

(1) 甲地本次的參訪者中,\(54\% \)的人聽過該產品

(2) 此次民調在乙地的參訪人數少於在甲地的參訪人數

(3) 此次調查結果可解讀為:甲地全體居民中有一半以上的人聽過該產品的機率大於\(95\% \)

(4) 若在乙地以同樣方式進行多次民調,所得知名度有\(95\% \)的機會落在區間[ 0.08 , 0.16 ]

(5) 經密集廣告宣傳後,在乙地再次進行民調,並增加參訪人數達原人數的四倍,則在\(95\% \)信心水準之下該產品的知名度之信賴區間寬度會減半(即0.04)

 

  1. 設\(a,b,c\)為實數,下列有關線性方程組\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 2y + az = 1}\\{3x + 4y + bz = – 1}\\{2x + 10y + 7z = c}\end{array}} \right.\)的敘述哪些是正確的?

(1) 若此線性方程組有解,則必定恰有一組解

(2) 若此線性方程組有解,則\(11a – 3b \ne 7\)

(3) 若此線性方程組有解,則\(c = 14\)

(4) 若此線性方程組無解,則\(11a – 3b = 7\)

(5) 若此線性方程組無解,則\(c \ne 14\)

 

當年兩題五個選項的答案百分比如下:

第9題

未作答 *選項(1) *選項(2) 選項(3) 選項(4) 選項(5)
全體考生 0 67 38 57 75 41
高分組 0 80 34 55 85 48
低分組 0 51 45 59 63 38

 

第10題

未作答 選項(1) 選項(2) 選項(3) *選項(4) *選項(5)
全體考生 2 56 60 55 58 46
高分組 2 49 66 47 69 50
低分組 1 58 54 59 48 31

註:

  1. 高分組考生(前33%),低分組考生(後33%)。
  2. 小數點四捨五入。
  3. 正確答案註記*。

  第9題考核的是「信賴區間」,95課綱首次納入教材,98年第一次在大考中出現,當初全國辦了非常多場次的研習,研討如何教授「信賴區間」,但是從數據顯示,考生對於此主題的理解與本題有相當大的距離,所以出現了史上最低全對率1%,史上唯一一題負鑑別度-1%,其中選項(2)是正確的,但是高分組選答比率低於低分組,而選項(4)是錯誤的,但是高分組選答比率卻高於低分組;從這樣的數據來看,也許可以推測高分組的學生對於「信賴區間」有著迷思概念。

  第10題一般常見的解析是直接解三個方程式,或是利用高斯消去法,最後再討論有解或無解的情況。其中選項(2)是錯誤的,但是高分組選答比率卻高於低分組,也許就是造成本題全對率低的原因,推測有這麼多高分組的同學選答選項(2),可能是只考慮了無限多組解的情況。

  最後,非常令人意外的是,不論單選或多選題,皆不倒扣,但是仍有相當多的同學未作答,該題直接零分,真的非常可惜!

AIME 2012 第14題

題目

n位數學家圍著一張圓桌,分別坐在依順時針方向標示著1, 2, 3, …, n的座位上。在休息後,他們再度圍著圓桌而坐,每個座位坐一人,這些數學家發現有一個正整數a使得
(1)對於每個k,每位數學家在休息前原先坐在座號k的人,在休息後坐在座號ka(其中座號\(i + n\)的座號視為i);
(2)在休息後任何兩位數學家之間的數學家的人數,不論按順時針方向數、或逆時針方向數,都與休息前兩人之間的數學家的人數都不同。
試求在\(1 < n < 1000\)中總共有多少個滿足條件的n

 

 

 

 

 

 

 

 

解:

對於任意正整數n,令\(a = 1,2,3,…,(n – 1)\)(其餘大於n的數只要餘數同a的重坐後順序是跟a一樣的)

而無論n為何,\((a,n) = 1\),否則座位會重複

設任意兩數學家原本的座號為x,y,

訂此兩人間的人數為\(|x – y|\)(順時針方向)

\(|x – y| = 1,2,3,…,(n – 1)\)

而重坐後的兩人間的人數則為\(a|x – y| – mn\)(其中m為使\(0 < a|x – y| – mn < n\)的最大整數)

依照題意可知

重坐後需滿足

(1) \(a|x – y| – mn \ne |x – y|\)\( \Rightarrow (a – 1)|x – y| \ne mn\)

(2) \(a|x – y| – mn \ne n – |x – y|\)\( \Rightarrow (a + 1)|x – y| \ne mn\)(逆時針方向)

 

 

若n為偶數,則∵\((a,n) = 1\),∴a必為奇數

故\((a – 1)\)必為偶數,令\((a – 1) = 2t\)

設n=2k,則k必為1,2,…,(n-1)其中一個數

故當\(|x – y| = k\)時,\((a – 1)|x – y| = 2kt = tn\)不符合(1)之條件,

故所有偶數皆不合

 

若n為奇數,則\(a = 2\)時,

\((a – 1)|x – y|\)

\( = |x – y| = 1,2,3,…,(n – 1)\)

此時無論m為何,\((a – 1)|x – y| \ne mn\)

即所有奇數皆滿足(1)

 

若3|n,令n=3p,同理p必為1,2,…,(n-1)其中一個數

∵\((a,n) = 1\),∴\((a – 1)\)與\((a + 1)\)必有一個為3的倍數,設為3q

當\(|x – y| = p\)時,\(3q|x – y| = 3pq = qn\)又與(1)(2)其中之一不合

故n必不為3的倍數

 

其餘的奇數只要不是3的倍數,在\(a = 2\)時皆可以滿足(1)(2)的條件

 

1<n<1000中為奇數且不為3的倍數者共有499-167=332個

 

關於心裡有數

  心裡有數這個網站從2006年就架設,當時我們兩位站長才剛退伍。

  最初我們有點野心,想建立一個數學網站,有討論區等等豐富的功能,隨著人生進程,忙碌於各種雜事,漸漸無力管理與發表文章,但是我們依然保存了這個網站。

  後來我們兩位站長合力寫了一本學測的複習講義:高中穩拿數學複習講義(翰林出版社)

  自此我們將一些複習講義中的補充資料,如基礎題類題、學測指考題目整理等等放到這個網站上,為心裡有數這個網站找到了新出路。

  最早我們用了xoops架設網站,之後又改成joomla,但是這些擁有豐富功能與套件的CMS,已經不太適合我們現在的狀況了。隨著108新課綱的實行,我們也編輯了新的複習講義,最後我們決定回歸簡單,以部落格的方式重新架設心裡有數。

  未來心裡有數這個網站主要還是以「新大滿貫數學複習講義」的A版和B版這兩本書的補充資料為主,以後我們兩位站長有別的著作也會這此分享補充資料。站長們若有空撰寫一些文章或試題分析也會分享在這邊。我們也在facebook上成立一個「心裡有數」粉絲頁,有新文章會同步分享到粉絲頁,對我們的建議或是想討論的部份可以移到粉絲頁上來進行。

  最後希望在我們有生之年不會看到這個網站消失,謝謝大家。