作者彙整: Jernan

一組數據的標準差必不大於全距之半

設有一組數據\({x_1},\;{x_2},\; \cdots \;,\;{x_n}\),全距為\(R\),標準差為\(\sigma \),則\(\sigma  \le \frac{1}{2}R\)。

 

不失一般性,設\({x_1} \le {x_2} \le  \cdots  \le {x_n}\),平均數\(\mu  = \frac{1}{n}({x_1} + {x_2} +  \cdots  + {x_n})\)

全距\(R = {x_n} – {x_1}\),標準差\(\sigma  = \sqrt {\frac{1}{n}\left( {{{({x_1} – \mu )}^2} + {{({x_2} – \mu )}^2} +  \cdots  + {{({x_n} – \mu )}^2}} \right)} \)

 

考慮底下性質:

設\(f(x) = {({x_1} – x)^2} + {({x_2} – x)^2} +  \cdots  + {({x_n} – x)^2}\),則當\(x = \frac{1}{n}({x_1} + {x_2} +  \cdots  + {x_n})\)時,\(f(x)\)有最小值。

 

上述性質進一步可表示為:

若有一組數據\({x_1},\;{x_2},\; \cdots \;,\;{x_n}\),其中標準差為\(\sigma \),則當\(x = \frac{1}{n}({x_1} + {x_2} +  \cdots  + {x_n}) = \mu \)時,\(f(x) = {({x_1} – x)^2} + {({x_2} – x)^2} +  \cdots  + {({x_n} – x)^2}\)有最小值為\(f(\mu ) = {({x_1} – \mu )^2} + {({x_2} – \mu )^2} +  \cdots  + {({x_n} – \mu )^2} = n \cdot {\sigma ^2}\)。

 

設\(k = \frac{{{x_1} + {x_n}}}{2}\),\(f(x) = {({x_1} – x)^2} + {({x_2} – x)^2} +  \cdots  + {({x_n} – x)^2}\),則

\[\left\{ \begin{array}{l}|{x_1} – k|\; = \;|{x_1} – \frac{{{x_1} + {x_n}}}{2}|\; = \;|\frac{{{x_1} – {x_n}}}{2}|\; = \frac{1}{2}R\\|{x_2} – k|\; = \;|{x_2} – \frac{{{x_1} + {x_n}}}{2}|\; \le \;|\frac{{{x_1} – {x_n}}}{2}|\; = \frac{1}{2}R\\\quad \;\; \vdots \\|{x_i} – k|\; = \;|{x_i} – \frac{{{x_1} + {x_n}}}{2}|\; \le \;|\frac{{{x_1} – {x_n}}}{2}|\; = \frac{1}{2}R\\\quad \;\; \vdots \\|{x_n} – k|\; = \;|{x_n} – \frac{{{x_1} + {x_n}}}{2}|\; = \;|\frac{{{x_n} – {x_1}}}{2}|\; = \frac{1}{2}R\end{array} \right.\]

因此\(f(k) = {({x_1} – k)^2} + {({x_2} – k)^2} +  \cdots  + {({x_n} – k)^2} \le n \cdot {\left( {\frac{1}{2}R} \right)^2}\)

\( \Rightarrow \)\(f(\mu ) \le f(k) \le n \cdot {\left( {\frac{1}{2}R} \right)^2}\)

\( \Rightarrow \)\(n \cdot {\sigma ^2} \le f(k) \le n \cdot {\left( {\frac{1}{2}R} \right)^2}\)

故\(\sigma  \le \frac{1}{2}R\)

空間中三平面共線

在坐標空間中,已知三平面\({E_1}:{a_1}x + {b_1}y + {c_1}z = {d_1}\),\({E_2}:{a_2}x + {b_2}y + {c_2}z = {d_2}\),\({E_3}:{a_3}x + {b_3}y + {c_3}z = {d_3}\)共線,則\[\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1}}&{{b_1}}&{{c_1}}\\{{a_2}}&{{b_2}}&{{c_2}}\\{{a_3}}&{{b_3}}&{{c_3}}\end{array}\,} \right| = 0\],反之不成立。

 

上述敘述並非什麼罕見的性質,國編本、88課綱、99課綱都有,但採用三階克拉瑪公式證明此性質;108課綱不再提三階克拉瑪公式,轉而強調三重積與三階行列式的關係,此處採用此方式證明上述性質,證明如下:

 

設平面\({E_1}\),\({E_2}\),\({E_3}\)的法向量分別為\(\mathop {{n_1}}\limits^ \rightharpoonup   = ({a_1},{b_1},{c_1})\),\(\mathop {{n_2}}\limits^ \rightharpoonup   = ({a_2},{b_2},{c_2})\),\(\mathop {{n_3}}\limits^ \rightharpoonup   = ({a_3},{b_3},{c_3})\),並設\({E_1}\),\({E_2}\),\({E_3}\)之交線為\(L\)且\(L\)之方向向量為\(\mathop v\limits^ \rightharpoonup  \)

因為\({E_1}\)與\({E_2}\)之交線為\(L\)且\(L\)之方向向量為\(\mathop v\limits^ \rightharpoonup  \),所以\(\mathop v\limits^ \rightharpoonup   \bot \mathop {{n_1}}\limits^ \rightharpoonup  \)且\(\mathop v\limits^ \rightharpoonup   \bot \mathop {{n_2}}\limits^ \rightharpoonup  \)

\( \Rightarrow \)\(\mathop v\limits^ \rightharpoonup  //\left( {\mathop {{n_1}}\limits^ \rightharpoonup   \times \mathop {{n_2}}\limits^ \rightharpoonup  } \right)\)

設\(\mathop v\limits^ \rightharpoonup   = k\left( {\mathop {{n_1}}\limits^ \rightharpoonup   \times \mathop {{n_2}}\limits^ \rightharpoonup  } \right)\),其中\(k \ne 0\)

又\(L\)在\({E_3}\)上,所以\(\mathop v\limits^ \rightharpoonup   \bot \mathop {{n_3}}\limits^ \rightharpoonup  \)

\( \Rightarrow \)\(\mathop v\limits^ \rightharpoonup   \cdot \mathop {{n_3}}\limits^ \rightharpoonup   = 0\)

\( \Rightarrow \)\(k\left( {\mathop {{n_1}}\limits^ \rightharpoonup   \times \mathop {{n_2}}\limits^ \rightharpoonup  } \right) \cdot \mathop {{n_3}}\limits^ \rightharpoonup   = 0\)

\( \Rightarrow \)\(\left( {\mathop {{n_1}}\limits^ \rightharpoonup   \times \mathop {{n_2}}\limits^ \rightharpoonup  } \right) \cdot \mathop {{n_3}}\limits^ \rightharpoonup   = 0\)

因此\[\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1}}&{{b_1}}&{{c_1}}\\{{a_2}}&{{b_2}}&{{c_2}}\\{{a_3}}&{{b_3}}&{{c_3}}\end{array}\,} \right| = 0\]

 

反之不成立,例如:\({E_1}:x + y + z = 1\),\({E_2}:x + y + z = 2\),\({E_3}:x + y + z = 3\)。顯然,\({E_1}\),\({E_2}\),\({E_3}\)為平行的三個平面,所以不會共線,但\[\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{array}\,} \right| = 0\]。

過三次多項式函數的反曲點作切線

106年指考數甲第7題題目如下:

設實係數三次多項式\(f(x)\)的首項係數為正。已知\(y = f(x)\)的圖形和直線\(y = g(x)\)在\(x = 1\)相切,且兩圖形只有一個交點。試選出正確的選項。 
(1) \(f(1) = g(1)\) 
(2) \(f'(1) = g'(1)\) 
(3) \(f^”(1) = 0\) 
(4) 存在實數\(a \ne 1\)使得\(f'(a) = g'(a)\)  
(5) 存在實數\(a \ne 1\)使得\(f^”(a) = g^”(a)\)

答案是(1)(2)(3),答對率(得分率)為32%,全對率為13%。

  其中答案(3)正確,表示\((\,1\;,\;f(1)\,)\)為\(y = f(x)\)圖形的反曲點,而本題的實係數三次多項式\(f(x)\)除了限制首相係數為正之外,並沒有其他的條件,所以不禁令人猜想:

設\(f(x)\)為實係數三次多項式,以\(y = f(x)\)圖形上一點\(P\)為切點作切線\(L\)。若\(y = f(x)\)的圖形與直線\(L\)的圖形只有一個交點,則點\(P\)為\(y = f(x)\)圖形的反曲點,反之亦成立。

  108課綱在10年級的部分安排了三次函數的圖形特徵,有三個重要性質:

  1. 實係數三次多項式\(y = g(x) = a{x^3} + px\)圖形的對稱中心為點\((\,0\;,\;0\,)\)。
  2. 任意實係數三次多項式\(f(x) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\)必可表示成\(f(x) = a{(x – h)^3} + p(x – h) + k\),其中\((\,h\;,\;k\,) = \,\left( { – \frac{b}{{3a}}\;,\;f\left( { – \frac{b}{{3a}}} \right)} \right)\,\),且點\((\,h\;,\;k\,)\)為\(y = f(x)\)圖形的對稱中心。
  3. 實係數三次多項式\(y = g(x) = a{x^3} + px\)的圖形水平方向平移\(h\)單位,鉛直方向平移\(k\)單位可得\(y = f(x) = a{(x – h)^3} + p(x – h) + k\)的圖形。

  上述三次多項式函數圖形的對稱中心即為反曲點,但10年級時並未提及此名詞。
另外,由性質3可知,\(y = g(x) = a{x^3} + px\)的圖形平移可得\(y = f(x) = a{(x – h)^3} + p(x – h) + k\)的圖形,因此只要是圖形平移時不會改變的性質(例如:對稱性、遞增遞減、凹口方向等等),則只需要探討\(y = g(x) = a{x^3} + px\)的圖形性質即可,\(y = f(x) = a{(x – h)^3} + p(x – h) + k\)的圖形也會同時具有相同的性質。

  因此,上述猜想只需要考慮實係數三次多項式\(f(x) = a{x^3} + px\)即可。

設\(f(x) = a{x^3} + px\)為實係數三次多項式,以\(y = f(x)\)圖形上一點\(P\)為切點作切線\(L\)。若\(y = f(x)\)的圖形與直線\(L\)的圖形只有一個交點,則點\(P\)為\(y = f(x)\)圖形的反曲點,反之亦成立。

證明:

設點\(P(\,t\;,\;a{t^3} + pt\,)\),其中\(t\)為實數

則切線\(L\)的斜率為\(f'(t) = 3a{t^2} + p\)

因此\(L\)的方程式為\(y – (a{t^3} + pt) = (3a{t^2} + p)(x – t)\)

即\(L:y = (3a{t^2} + p)x – 2a{t^3}\)

\(\left\{ \begin{array}{l}y = f(x) = a{x^3} + px\\y = (3a{t^2} + p)x – 2a{t^3}\end{array} \right.\)解聯立得\(a{x^3} – 3a{t^2}x + 2a{t^3} = 0\)……①

因為\(a \ne 0\),所以①可化為\({x^3} – 3{t^2}x + 2{t^3} = 0\)……②(即與\(a\)之正負無關)

又\(y = f(x)\)的圖形與直線\(L\)的圖形只有一個交點\(P(\,t\;,\;a{t^3} + pt\,)\),所以②有三重實根\(t\),因此‚可分解為\((x – t)({x^2} + tx – 2{t^2}) = 0\)……③

③可進一步化為\((x – t)(x – t)(x + 2t) = 0\)

因此\(x = t,\;t,\; – 2t\)

因為②之三重實根為\(t\),所以\( – 2t = t\),因此\(t = 0\)

即點\(P\)之坐標為\((\,0\;,\;0\,)\),為\(y = f(x) = a{x^3} + px\)圖形的反曲點

反之,若點\(P\)為\(y = f(x) = a{x^3} + px\)圖形的反曲點,則點\(P\)之坐標為\((\,0\;,\;0\,)\)

切線\(L\)的斜率為\(f'(0) = 3a \cdot {0^2} + p = p\)

切線\(L\)的方程式為\(y – (a \cdot {0^3} + p \cdot 0) = (3a \cdot {0^2} + p)(x – 0)\)

即\(L:y = px\)

\(\left\{ \begin{array}{l}y = f(x) = a{x^3} + px\\y = px\end{array} \right.\)解聯立得\(a{x^3} = 0\)……④

因為\(a \ne 0\),所以④有三重實根\(0\)

因此若點\(P\)為\(y = f(x) = a{x^3} + px\)圖形的反曲點,則以點\(P\)為切點的切線\(L\)與\(y = f(x) = a{x^3} + px\)圖形只有一個交點

 

結論:

設\(f(x)\)為實係數三次多項式,以\(y = f(x)\)圖形上一點\(P\)為切點作切線\(L\)。\(y = f(x)\)圖形與直線\(L\)只有一個交點的充要條件為點\(P\)是\(y = f(x)\)圖形的反曲點。