作者彙整: Jernan

鑑古知今系列2 分組分堆問題

110年試辦考試數學B的第16題,題目如下:

有6位籃球愛好者在籃球場相遇,想組成兩隊,每隊3人,進行三對三鬥牛。組隊方式以每人出「手心」或「手背」的方式決定,當出「手心」與「手背」各3人時,同出手心的3人組成一隊,而同出手背的3人為另一隊。若每人出手心或手背的機率相等,且各人出手方式互相獨立,則這6人出手一次就組隊成功的機率為__________。(化為最簡分數)

答案為\(\frac{5}{{16}}\)。

 

  這個題目是「分組分堆」問題,是學校的段考題以及模擬考題中常見的題型,但是同學們常常分不清楚是「分組」還是「分堆」,所以會覺得這種題型是比較困難的問題。

 

  如果被分的是物品,題目的敘述就會比較明確地出現「分組」或「分堆」,所以同學們比較容易答對;但是如果被分的是人,題目通常都是分成某幾「組」,這時候正確地判斷題意是屬於「分組」還是「分堆」便是關鍵之處,分辨的方法就是看題目中是否有將分成的組「編號」,若「有編號」就是「分組」,若「無編號」就是「分堆」。

 

  110年試辦考試數學B這道題目便是將6位籃球愛好者分成「手心」與「手背」兩隊,「手心」與「手背」便是「編號」,所以這道題目是屬於「分組」的問題。

 

  歷屆大考試題中,還有下列幾道「分組分堆」的問題,請問分別是「分組」還是「分堆」的問題?(參考答案條列於後)

 

  1. 某畢業班由8位同學負責畢旅規劃,分成A、B、C三組,且三組分別由3人、3人、2人組成。8位同學每人都會被分配到其中一組,且甲、乙兩位同學一定要在同一組。這8位同學總共有幾種分組方式?(單選)
    (1) 140種 (2) 150種  (3) 160種  (4) 170種  (5) 180種
    【109數乙】Ans: (1)
  2. 籃球3人鬥牛賽,共有甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬9人參加,組成3隊,且甲、乙兩人不在同一隊的組隊方法__________種。
    【90學測】Ans: 210
  3. 欲將八位新生平均分發到甲、乙、丙、丁四班,共有__________種分法。
    【87社】Ans: 2520

 

參考答案:

  1. 分組 2. 分堆(註) 3. 分組

 

註:第2題(90學測)這個題目也可以視為「分組」的問題:將三隊分成「有甲」、「有乙」、「沒有甲乙」三組。

一組數據的標準差必不大於全距之半

設有一組數據\({x_1},\;{x_2},\; \cdots \;,\;{x_n}\),全距為\(R\),標準差為\(\sigma \),則\(\sigma  \le \frac{1}{2}R\)。

 

不失一般性,設\({x_1} \le {x_2} \le  \cdots  \le {x_n}\),平均數\(\mu  = \frac{1}{n}({x_1} + {x_2} +  \cdots  + {x_n})\)

全距\(R = {x_n} – {x_1}\),標準差\(\sigma  = \sqrt {\frac{1}{n}\left( {{{({x_1} – \mu )}^2} + {{({x_2} – \mu )}^2} +  \cdots  + {{({x_n} – \mu )}^2}} \right)} \)

 

考慮底下性質:

設\(f(x) = {({x_1} – x)^2} + {({x_2} – x)^2} +  \cdots  + {({x_n} – x)^2}\),則當\(x = \frac{1}{n}({x_1} + {x_2} +  \cdots  + {x_n})\)時,\(f(x)\)有最小值。

 

上述性質進一步可表示為:

若有一組數據\({x_1},\;{x_2},\; \cdots \;,\;{x_n}\),其中標準差為\(\sigma \),則當\(x = \frac{1}{n}({x_1} + {x_2} +  \cdots  + {x_n}) = \mu \)時,\(f(x) = {({x_1} – x)^2} + {({x_2} – x)^2} +  \cdots  + {({x_n} – x)^2}\)有最小值為\(f(\mu ) = {({x_1} – \mu )^2} + {({x_2} – \mu )^2} +  \cdots  + {({x_n} – \mu )^2} = n \cdot {\sigma ^2}\)。

 

設\(k = \frac{{{x_1} + {x_n}}}{2}\),\(f(x) = {({x_1} – x)^2} + {({x_2} – x)^2} +  \cdots  + {({x_n} – x)^2}\),則

\[\left\{ \begin{array}{l}|{x_1} – k|\; = \;|{x_1} – \frac{{{x_1} + {x_n}}}{2}|\; = \;|\frac{{{x_1} – {x_n}}}{2}|\; = \frac{1}{2}R\\|{x_2} – k|\; = \;|{x_2} – \frac{{{x_1} + {x_n}}}{2}|\; \le \;|\frac{{{x_1} – {x_n}}}{2}|\; = \frac{1}{2}R\\\quad \;\; \vdots \\|{x_i} – k|\; = \;|{x_i} – \frac{{{x_1} + {x_n}}}{2}|\; \le \;|\frac{{{x_1} – {x_n}}}{2}|\; = \frac{1}{2}R\\\quad \;\; \vdots \\|{x_n} – k|\; = \;|{x_n} – \frac{{{x_1} + {x_n}}}{2}|\; = \;|\frac{{{x_n} – {x_1}}}{2}|\; = \frac{1}{2}R\end{array} \right.\]

因此\(f(k) = {({x_1} – k)^2} + {({x_2} – k)^2} +  \cdots  + {({x_n} – k)^2} \le n \cdot {\left( {\frac{1}{2}R} \right)^2}\)

\( \Rightarrow \)\(f(\mu ) \le f(k) \le n \cdot {\left( {\frac{1}{2}R} \right)^2}\)

\( \Rightarrow \)\(n \cdot {\sigma ^2} \le f(k) \le n \cdot {\left( {\frac{1}{2}R} \right)^2}\)

故\(\sigma  \le \frac{1}{2}R\)

空間中三平面共線

在坐標空間中,已知三平面\({E_1}:{a_1}x + {b_1}y + {c_1}z = {d_1}\),\({E_2}:{a_2}x + {b_2}y + {c_2}z = {d_2}\),\({E_3}:{a_3}x + {b_3}y + {c_3}z = {d_3}\)共線,則\[\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1}}&{{b_1}}&{{c_1}}\\{{a_2}}&{{b_2}}&{{c_2}}\\{{a_3}}&{{b_3}}&{{c_3}}\end{array}\,} \right| = 0\],反之不成立。

 

上述敘述並非什麼罕見的性質,國編本、88課綱、99課綱都有,但採用三階克拉瑪公式證明此性質;108課綱不再提三階克拉瑪公式,轉而強調三重積與三階行列式的關係,此處採用此方式證明上述性質,證明如下:

 

設平面\({E_1}\),\({E_2}\),\({E_3}\)的法向量分別為\(\mathop {{n_1}}\limits^ \rightharpoonup   = ({a_1},{b_1},{c_1})\),\(\mathop {{n_2}}\limits^ \rightharpoonup   = ({a_2},{b_2},{c_2})\),\(\mathop {{n_3}}\limits^ \rightharpoonup   = ({a_3},{b_3},{c_3})\),並設\({E_1}\),\({E_2}\),\({E_3}\)之交線為\(L\)且\(L\)之方向向量為\(\mathop v\limits^ \rightharpoonup  \)

因為\({E_1}\)與\({E_2}\)之交線為\(L\)且\(L\)之方向向量為\(\mathop v\limits^ \rightharpoonup  \),所以\(\mathop v\limits^ \rightharpoonup   \bot \mathop {{n_1}}\limits^ \rightharpoonup  \)且\(\mathop v\limits^ \rightharpoonup   \bot \mathop {{n_2}}\limits^ \rightharpoonup  \)

\( \Rightarrow \)\(\mathop v\limits^ \rightharpoonup  //\left( {\mathop {{n_1}}\limits^ \rightharpoonup   \times \mathop {{n_2}}\limits^ \rightharpoonup  } \right)\)

設\(\mathop v\limits^ \rightharpoonup   = k\left( {\mathop {{n_1}}\limits^ \rightharpoonup   \times \mathop {{n_2}}\limits^ \rightharpoonup  } \right)\),其中\(k \ne 0\)

又\(L\)在\({E_3}\)上,所以\(\mathop v\limits^ \rightharpoonup   \bot \mathop {{n_3}}\limits^ \rightharpoonup  \)

\( \Rightarrow \)\(\mathop v\limits^ \rightharpoonup   \cdot \mathop {{n_3}}\limits^ \rightharpoonup   = 0\)

\( \Rightarrow \)\(k\left( {\mathop {{n_1}}\limits^ \rightharpoonup   \times \mathop {{n_2}}\limits^ \rightharpoonup  } \right) \cdot \mathop {{n_3}}\limits^ \rightharpoonup   = 0\)

\( \Rightarrow \)\(\left( {\mathop {{n_1}}\limits^ \rightharpoonup   \times \mathop {{n_2}}\limits^ \rightharpoonup  } \right) \cdot \mathop {{n_3}}\limits^ \rightharpoonup   = 0\)

因此\[\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1}}&{{b_1}}&{{c_1}}\\{{a_2}}&{{b_2}}&{{c_2}}\\{{a_3}}&{{b_3}}&{{c_3}}\end{array}\,} \right| = 0\]

 

反之不成立,例如:\({E_1}:x + y + z = 1\),\({E_2}:x + y + z = 2\),\({E_3}:x + y + z = 3\)。顯然,\({E_1}\),\({E_2}\),\({E_3}\)為平行的三個平面,所以不會共線,但\[\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{array}\,} \right| = 0\]。