三角形SSA與三角形的唯一性
105學測的第12題如下：
| 在\(\Delta ABC\)中，已知\(\angle A = {20^ \circ }\)、\(\overline {AB} = 5\)、\(\overline {BC} = 4\)。請選出正確的選項。
(1) 可以確定\(\angle B\)的餘弦值 (2) 可以確定\(\angle C\)的正弦值 (3) 可以確定\(\Delta ABC\)的面積 (4) 可以確定\(\Delta ABC\)的內切圓半徑 (5) 可以確定\(\Delta ABC\)的外接圓半徑 |
本題的答案為(2)(5)，答對率為30%，全對率為19%，算是個難題！
110學測第10題又出了一題類似的題目，是更困難的版本：
| 在\(\Delta ABC\)中，已經知道\(\overline {AB} = 4\)和\(\overline {AC} = 6\)，此時尚不足以確定\(\Delta ABC\)的形狀與大小。但是，只要再知道某些條件（例如：再知道\(\overline {BC} \)的長度），就可確定\(\Delta ABC\)唯一的形狀與大小。試選出正確的選項。 ( 1) 如果再知道\(\cos A\)的值，就可確定\(\Delta ABC\)唯一的形狀與大小 (2) 如果再知道\(\cos B\)的值，就可確定\(\Delta ABC\)唯一的形狀與大小 (3) 如果再知道\(\cos C\)的值，就可確定\(\Delta ABC\)唯一的形狀與大小 (4) 如果再知道\(\Delta ABC\)的面積，就可確定\(\Delta ABC\)唯一的形狀與大小 (5) 如果再知道\(\Delta ABC\)的外接圓半徑，就可確定\(\Delta ABC\)唯一的形狀與大小 |
本題的答案為(1)(2)，答對率為22%，全對率為3%，真的是很不容易的題目！
幾何學中，SSS, SAS, AAS, RHS可以唯一確定三角形，而SSA「可能」會出現兩種可能的三角形，105年學測第12題即是此類；而110年學測則是只給了SS（兩邊），然後選項(1)(2)(3)分別給定三個內角的餘弦值，詢問是否能唯一確定\(\Delta ABC\)，因為已知三角形的某個角之餘弦值便可確定該角的角度，所以選項(1)(2)(3)其實就是分別給定三個內角的角度，詢問是否能唯一確定\(\Delta ABC\)；因為已經給定SS（\(\overline {AB} \)與\(\overline {AC} \)兩邊），所以必定有SAS（給定\(\angle A\)時，此時可以唯一確定），以及SSA（給定\(\angle B\)或\(\angle C\)時），但是因為SSA「可能」會出現兩種可能的三角形，所以選項(2)(3)還要進一步判斷，而這正是這個題目困難的地方；110年第10題每個選項的選答率為：(1) 79% (2) 48% (3) 41% (4) 52% (5) 57%，其中選項(2)(3)的選答率較為接近，且與其他選項有落差，但正確答案只有(2)，因此可以猜測多數考生只判斷出選項(2)(3)皆為SSA，便認為「一定」會出現兩種可能的三角形。至於選項(4)(5)則是與三角形的內角之正弦值有關，由於已知三角形的某個角之正弦值無法確定該角的角度，因此需要進一步判斷。
本文主要是探討SSA與餘弦定理的關係。
仿105學測第12題的條件，給定\(\angle A\)，\(\overline {AB} = c\)，\(\overline {BC} = a\)。
設\(\angle XAB = \angle A\)，點\(C\)在射線\(AX\)上且\(\overline {AC} = x\)，其中\(x > 0\)
由餘弦定理得\({a^2} = {c^2} + {x^2} – 2 \cdot c \cdot x \cdot \cos A\)
整理得\({x^2} – (2c \cdot \cos A) \cdot x + {c^2} – {a^2} = 0\)……(*)
(*)的判別式\(D = {( – 2c\cos A)^2} – 4({c^2} – {a^2}) = 4(a + c\sin A)(a – c\sin A)\)
- 若\({90^ \circ } < \angle A < {180^ \circ }\)，則\(\cos A < 0\)，且\(c < a\)
此時\(D = 4{\cos ^2}A – 4({c^2} – {a^2}) > 0\)，所以(*)有兩相異實根\({x_1},\;{x_2}\)，因此\(\Delta ABC\)「可能」有兩種情形
由根與係數得\({x_1} + {x_2} = 2c\cos A < 0\)，\({x_1} \cdot {x_2} = {c^2} – {a^2} < 0\)
因此\({x_1},\;{x_2}\)異號，所以(*)僅有一實根，故\(\Delta ABC\)唯一存在。
- 若\(\angle A = {90^ \circ }\)，則\(\cos A = 0\)，且\(c < a\)
此時(*)可化簡為\({x^2} = {a^2} – {c^2}\)\( \Rightarrow \)\(x = \pm \sqrt {{a^2} – {c^2}} \)
因為\(x > 0\)，所以\(x = \sqrt {{a^2} – {c^2}} \)（即畢氏定理）
故\(\Delta ABC\)唯一存在（即RHS）
- 若\({0^ \circ } < \angle A < {90^ \circ }\)，則\(\cos A > 0\)
(1) 若\(\overline {BC} = a < c\sin A = \overline {AB} \cdot \sin A\)，則\(D < 0\)，此時(*)無解，因此\(\Delta ABC\)不存在。
(2) 若\(\overline {BC} = a = c\sin A = \overline {AB} \cdot \sin A\)，則\(D = 0\)，此時(*)有兩相等實根，因此\(\Delta ABC\)（唯一）存在。
(3) 若\(\overline {BC} = a > c\sin A = \overline {AB} \cdot \sin A\)，則\(D > 0\)，此時(*)有兩相異實根\({x_1},\;{x_2}\)，因此\(\Delta ABC\)「可能」有兩種情形。
由根與係數得\({x_1} + {x_2} = 2c\cos A > 0\)，\({x_1} \cdot {x_2} = {c^2} – {a^2} = (c + a)(c – a)\)，所以有下列三種情形：
- 若\(a < c\)，則\({x_1} \cdot {x_2} > 0\)，此時(*)有兩相異正實根，因此\(\Delta ABC\)有兩種情形。
- 若\(a = c\)，則\({x_1} \cdot {x_2} = 0\)，此時(*)有一正實根，另一根為0，因此\(\Delta ABC\)唯一存在（此時\(\Delta ABC\)為等腰三角形）。
- 若\(a > c\)，則\({x_1} \cdot {x_2} < 0\)，此時(*)有一正實根與一負實根，因此\(\Delta ABC\)唯一存在。
接下來討論幾何的情形：
設點\(B\)在射線\(AX\)上的投影點為點\(H\)，則\(\overline {BH} = \overline {AB} \cdot \sin A\)（也就是上述討論中的\(\overline {AB} \cdot \sin A = c\sin A\)）。考慮以點\(B\)為圓心，適當長為半徑畫弧，可得如下示意圖：
\(\overline {BC} = a\)，\(\overline {BH} = \overline {AB} \cdot \sin A = c\sin A\)，由上圖可知：
①若\(0 < \overline {BC} < \overline {BH} \)，即\(0 < a < c\sin A\)，則\(\Delta ABC\)不存在。
②若\(\overline {BC} = \overline {BH} \)，即\(a = c\sin A\)，則\(\Delta ABC\)唯一存在，如上圖的\(\Delta ABH\)（此時點\(C\)為點\(H\)，此即為RHS）。
③若\(\overline {BH} < \overline {BC} < \overline {BA} \)，即\(c\sin A < a < c\)，則\(\Delta ABC\)有兩種可能，如上圖的\(\Delta AB{C’_1}\)與\(\Delta AB{C’_2}\)。
④若\(\overline {BC} = \overline {BA} \)，即\(a = c\)，則\(\Delta ABC\)唯一存在，如上圖的\(\Delta AB{C”_1}\)（此時點\({C”_2}\)為點\(A\)，且\(\Delta ABC\)為等腰三角形）。
⑤若\(\overline {BC} > \overline {BA} \)，即\(a > c\)，則\(\Delta ABC\)唯一存在，如上圖的\(\Delta AB{C”’_1}\)（因為\(\Delta AB{C”’_2}\)的\(\angle A\)為鈍角，所以點\({C”’_2}\)不為所求）。
將(*)的代數與上述的幾何結論整合如下：
- 若\({90^ \circ } \le \angle A < {180^ \circ }\)，則\(\Delta ABC\)唯一存在；即當三角形為直角三角形或鈍角三角形時，SSA可以保證三角形唯一存在。
- 若\({0^ \circ } < \angle A < {90^ \circ }\)，則有下列情形：
| \(a\)與\(c\)之關係 | \({x^2} – (2c \cdot \cos A) \cdot x + {c^2} – {a^2} = 0\) | \(\Delta ABC\) |
| ①\(0 < a < c\sin A\) | (1) 無實根 | 不存在 |
| ②\(a = c\sin A\) | (2) 兩相等實根 | 唯一存在（RHS） |
| ③\(c\sin A < a < c\) | (3) I. 兩相異正實根 | 有兩種可能 |
| ④\(a = c\) | (3) II.一正根，另一根為0 | 唯一存在 |
| ⑤\(a > c\) | (3) III.一正根與一負根 | 唯一存在 |
由以上結論，105年學測第12題中，因為\(\overline {BA} \sin A = 5\sin {20^ \circ } < 5\sin {30^ \circ } = \frac{5}{2} < 4 = \overline {BC} \)，所以\(\Delta ABC\)有兩種可能，的示意圖如下：
110學測第10題：
選項(1)給定\(\angle A\)，所以為SAS，故\(\Delta ABC\)唯一存在。
選項(2)，因為\(\overline {AC} > \overline {AB} \)，所以\(\angle B\)可能為鈍角或直角，此時\(\Delta ABC\)唯一存在；若\(\angle B\)為銳角，也因為\(\overline {AC} > \overline {AB} \)，此時\(\Delta ABC\)唯一存在，示意圖如下：
選項(3)，因為\(\overline {AC} > \overline {AB} \)，所以\(\angle C\)必為銳角，此時\(\Delta ABC\)有兩種可能（會存在\(\angle C\)使得\(\Delta ABC\)不存在，但是題目已經提到在\(\Delta ABC\)中，所以不考慮此情形），示意圖如下：
