分類彙整: 數學教學

學測中超低答對率的單選與多選題

  學測單選題有5個選項,隨機猜答,可以預期全體答對率約為20%,但是94年單選題第5題的答對率低於20%,簡單地說,讓全體考生隨機猜答的答對率都還比較高。當年的題目如下:

 

當年五個選項的答案百分比如下:

未作答 選項(1) 選項(2) 選項(3) 選項(4) *選項(5)
全體考生 1 6 18 57 11 8
高分組 1 2 9 72 5 10
低分組 1 10 24 43 15 7

註:

  1. 高分組考生(前33%),低分組考生(後33%)。
  2. 小數點四捨五入。
  3. 正確答案註記*。

 

正確答案為(5),有超過一半的考生選擇(3),應該是底下的誤解:

 

\(10\sqrt M  = 65 \Rightarrow M = 42.25\)

 

 

 

  學測多選題也有5個選項,至少有1個選項正確,所以有31種可能的答案。如果隨機猜答且考慮全對的情形,則可以預期全體答對率約為\(\frac{1}{{13}} \approx 3.2\% \)。歷史上也有一題多選題低於3.2%,就是98年多選題題第9題,全對率只有1%;另外當年度的多選題第10題的全對率也只有4%而已。換句話說,讓全體考生隨機猜答第9題的全對率都還比實際的全對率高,隨機猜答第10題的全對率和實際的全對率在伯仲之間。當年的題目第9題與第10題如下:

 

 

當年兩題五個選項的答案百分比如下:

第9題

未作答 *選項(1) *選項(2) 選項(3) 選項(4) 選項(5)
全體考生 0 67 38 57 75 41
高分組 0 80 34 55 85 48
低分組 0 51 45 59 63 38

 

第10題

未作答 選項(1) 選項(2) 選項(3) *選項(4) *選項(5)
全體考生 2 56 60 55 58 46
高分組 2 49 66 47 69 50
低分組 1 58 54 59 48 31

註:

  1. 高分組考生(前33%),低分組考生(後33%)。
  2. 小數點四捨五入。
  3. 正確答案註記*。

 

  第9題考核的是「信賴區間」,95課綱首次納入教材,98年第一次在大考中出現,當初全國辦了非常多場次的研習,研討如何教授「信賴區間」,但是從數據顯示,考生對於此主題的理解與本題有相當大的距離,所以出現了史上最低全對率1%,史上唯一一題負鑑別度-1%,其中選項(2)是正確的,但是高分組選答比率低於低分組,而選項(4)是錯誤的,但是高分組選答比率卻高於低分組;從這樣的數據來看,也許可以推測高分組的學生對於「信賴區間」有著迷思概念。

 

  第10題一般常見的解析是直接解三個方程式,或是利用高斯消去法,最後再討論有解或無解的情況。其中選項(2)是錯誤的,但是高分組選答比率卻高於低分組,也許就是造成本題全對率低的原因,推測有這麼多高分組的同學選答選項(2),可能是只考慮了無限多組解的情況。

 

  最後,非常令人意外的是,不論單選或多選題,皆不倒扣,但是仍有相當多的同學未作答,該題直接零分,真的非常可惜!

鑑古知今系列2 分組分堆問題

110年試辦考試數學B的第16題,題目如下:

有6位籃球愛好者在籃球場相遇,想組成兩隊,每隊3人,進行三對三鬥牛。組隊方式以每人出「手心」或「手背」的方式決定,當出「手心」與「手背」各3人時,同出手心的3人組成一隊,而同出手背的3人為另一隊。若每人出手心或手背的機率相等,且各人出手方式互相獨立,則這6人出手一次就組隊成功的機率為__________。(化為最簡分數)

答案為\(\frac{5}{{16}}\)。

 

  這個題目是「分組分堆」問題,是學校的段考題以及模擬考題中常見的題型,但是同學們常常分不清楚是「分組」還是「分堆」,所以會覺得這種題型是比較困難的問題。

 

  如果被分的是物品,題目的敘述就會比較明確地出現「分組」或「分堆」,所以同學們比較容易答對;但是如果被分的是人,題目通常都是分成某幾「組」,這時候正確地判斷題意是屬於「分組」還是「分堆」便是關鍵之處,分辨的方法就是看題目中是否有將分成的組「編號」,若「有編號」就是「分組」,若「無編號」就是「分堆」。

 

  110年試辦考試數學B這道題目便是將6位籃球愛好者分成「手心」與「手背」兩隊,「手心」與「手背」便是「編號」,所以這道題目是屬於「分組」的問題。

 

  歷屆大考試題中,還有下列幾道「分組分堆」的問題,請問分別是「分組」還是「分堆」的問題?(參考答案條列於後)

 

  1. 某畢業班由8位同學負責畢旅規劃,分成A、B、C三組,且三組分別由3人、3人、2人組成。8位同學每人都會被分配到其中一組,且甲、乙兩位同學一定要在同一組。這8位同學總共有幾種分組方式?(單選)
    (1) 140種 (2) 150種  (3) 160種  (4) 170種  (5) 180種
    【109數乙】Ans: (1)
  2. 籃球3人鬥牛賽,共有甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬9人參加,組成3隊,且甲、乙兩人不在同一隊的組隊方法__________種。
    【90學測】Ans: 210
  3. 欲將八位新生平均分發到甲、乙、丙、丁四班,共有__________種分法。
    【87社】Ans: 2520

 

參考答案:

  1. 分組 2. 分堆(註) 3. 分組

 

註:第2題(90學測)這個題目也可以視為「分組」的問題:將三隊分成「有甲」、「有乙」、「沒有甲乙」三組。

鑑古知今系列1_任取幾個數的乘積為完全立方數或完全平方數的機率

鑑古知今系列1

任取幾個數的乘積為完全立方數或完全平方數的機率

110學測的選填C題目和答案如下:

從1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9這九個數中任意取出三個相異的數,每數被取出的機率皆相等,則三數乘積是一完全平方數的機率為__________。(化成最簡分數)

答案:\(\frac{1}{{14}}\)

  這個題目題意清楚,沒有任何疑義之處。乍看之下似乎不難,全卷有7題選填題,本題為第三題,看起來大考中心內部也認定這個題目應該不是難題。但是本題的答對率只有13%,為全卷20題中最低;鑑別度則是24%,為全卷20題中第6低(全最鑑別度最低的4題都是多選題)。從數據來看,答對的考生很少,高分群答對的情形也沒有特別好(所以鑑別度低)。

  其實完全不意外!

  因為要把三數乘積為完全平方數的所有情況一個不差地列出來是很不容易的!很容易漏掉一些情形!

  所以大概可以猜測,大考中心內部認為這個題目就是把所有的情況列出來就好。但是實情就是很容易漏掉,加上110年的題目普遍較難,考生受到其他題目的影響,想必很難心平氣和、仔細地列出所有情況,也不知道自己列的是不是全部的情況,譬如答案為\(\frac{6}{{84}} = \frac{1}{{14}}\),如果漏列,可能會得到下列答案:

\(\frac{1}{{84}}\)

\(\frac{2}{{84}} = \frac{1}{{42}}\)

\(\frac{3}{{84}} = \frac{1}{{28}}\)

\(\frac{4}{{84}} = \frac{1}{{21}}\)

\(\frac{5}{{84}}\)

  無論哪一個,都填得進原題的圈圈中;所以兵荒馬亂下得到一個答案就填了,不會因為填不進圈圈中再檢查一下自己所列的情況。

110學測選填C這個題目其實早在90學測時就有類似題了,也是選填C,題目和答案如下:

從1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9中,任取兩相異數,則其積為完全立方數的機率為__________。

答案:\(\frac{1}{{12}}\)

  主觀認定,90年學測選填C相對於110學測選填C真的是簡單太多了!只可惜90學測並未公佈答對率與鑑別度,所以沒有客觀數據可以比較。

  排列組合、機率的問題就是這樣,類似的情境,但是多取一個或少取一個,題目的難度或答對率可能就會差很多!

  就大考而言,110學測選填C這個題目有沒有比90學測選填C這個題目好的地方呢?有的,就是題目敘述提到「每數被取出的機率皆相等」;現在的大考題,有關於機率的題目,大多會加入類似的敘述,顧及嚴謹性。