分類彙整: 數學教育

空間中三平面共線

在坐標空間中,已知三平面\({E_1}:{a_1}x + {b_1}y + {c_1}z = {d_1}\),\({E_2}:{a_2}x + {b_2}y + {c_2}z = {d_2}\),\({E_3}:{a_3}x + {b_3}y + {c_3}z = {d_3}\)共線,則\[\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1}}&{{b_1}}&{{c_1}}\\{{a_2}}&{{b_2}}&{{c_2}}\\{{a_3}}&{{b_3}}&{{c_3}}\end{array}\,} \right| = 0\],反之不成立。

 

上述敘述並非什麼罕見的性質,國編本、88課綱、99課綱都有,但採用三階克拉瑪公式證明此性質;108課綱不再提三階克拉瑪公式,轉而強調三重積與三階行列式的關係,此處採用此方式證明上述性質,證明如下:

 

設平面\({E_1}\),\({E_2}\),\({E_3}\)的法向量分別為\(\mathop {{n_1}}\limits^ \rightharpoonup   = ({a_1},{b_1},{c_1})\),\(\mathop {{n_2}}\limits^ \rightharpoonup   = ({a_2},{b_2},{c_2})\),\(\mathop {{n_3}}\limits^ \rightharpoonup   = ({a_3},{b_3},{c_3})\),並設\({E_1}\),\({E_2}\),\({E_3}\)之交線為\(L\)且\(L\)之方向向量為\(\mathop v\limits^ \rightharpoonup  \)

因為\({E_1}\)與\({E_2}\)之交線為\(L\)且\(L\)之方向向量為\(\mathop v\limits^ \rightharpoonup  \),所以\(\mathop v\limits^ \rightharpoonup   \bot \mathop {{n_1}}\limits^ \rightharpoonup  \)且\(\mathop v\limits^ \rightharpoonup   \bot \mathop {{n_2}}\limits^ \rightharpoonup  \)

\( \Rightarrow \)\(\mathop v\limits^ \rightharpoonup  //\left( {\mathop {{n_1}}\limits^ \rightharpoonup   \times \mathop {{n_2}}\limits^ \rightharpoonup  } \right)\)

設\(\mathop v\limits^ \rightharpoonup   = k\left( {\mathop {{n_1}}\limits^ \rightharpoonup   \times \mathop {{n_2}}\limits^ \rightharpoonup  } \right)\),其中\(k \ne 0\)

又\(L\)在\({E_3}\)上,所以\(\mathop v\limits^ \rightharpoonup   \bot \mathop {{n_3}}\limits^ \rightharpoonup  \)

\( \Rightarrow \)\(\mathop v\limits^ \rightharpoonup   \cdot \mathop {{n_3}}\limits^ \rightharpoonup   = 0\)

\( \Rightarrow \)\(k\left( {\mathop {{n_1}}\limits^ \rightharpoonup   \times \mathop {{n_2}}\limits^ \rightharpoonup  } \right) \cdot \mathop {{n_3}}\limits^ \rightharpoonup   = 0\)

\( \Rightarrow \)\(\left( {\mathop {{n_1}}\limits^ \rightharpoonup   \times \mathop {{n_2}}\limits^ \rightharpoonup  } \right) \cdot \mathop {{n_3}}\limits^ \rightharpoonup   = 0\)

因此\[\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1}}&{{b_1}}&{{c_1}}\\{{a_2}}&{{b_2}}&{{c_2}}\\{{a_3}}&{{b_3}}&{{c_3}}\end{array}\,} \right| = 0\]

 

反之不成立,例如:\({E_1}:x + y + z = 1\),\({E_2}:x + y + z = 2\),\({E_3}:x + y + z = 3\)。顯然,\({E_1}\),\({E_2}\),\({E_3}\)為平行的三個平面,所以不會共線,但\[\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{array}\,} \right| = 0\]。

過三次多項式函數的反曲點作切線

106年指考數甲第7題題目如下:

設實係數三次多項式\(f(x)\)的首項係數為正。已知\(y = f(x)\)的圖形和直線\(y = g(x)\)在\(x = 1\)相切,且兩圖形只有一個交點。試選出正確的選項。 
(1) \(f(1) = g(1)\) 
(2) \(f'(1) = g'(1)\) 
(3) \(f^”(1) = 0\) 
(4) 存在實數\(a \ne 1\)使得\(f'(a) = g'(a)\)  
(5) 存在實數\(a \ne 1\)使得\(f^”(a) = g^”(a)\)

答案是(1)(2)(3),答對率(得分率)為32%,全對率為13%。

  其中答案(3)正確,表示\((\,1\;,\;f(1)\,)\)為\(y = f(x)\)圖形的反曲點,而本題的實係數三次多項式\(f(x)\)除了限制首相係數為正之外,並沒有其他的條件,所以不禁令人猜想:

設\(f(x)\)為實係數三次多項式,以\(y = f(x)\)圖形上一點\(P\)為切點作切線\(L\)。若\(y = f(x)\)的圖形與直線\(L\)的圖形只有一個交點,則點\(P\)為\(y = f(x)\)圖形的反曲點,反之亦成立。

  108課綱在10年級的部分安排了三次函數的圖形特徵,有三個重要性質:

  1. 實係數三次多項式\(y = g(x) = a{x^3} + px\)圖形的對稱中心為點\((\,0\;,\;0\,)\)。
  2. 任意實係數三次多項式\(f(x) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\)必可表示成\(f(x) = a{(x – h)^3} + p(x – h) + k\),其中\((\,h\;,\;k\,) = \,\left( { – \frac{b}{{3a}}\;,\;f\left( { – \frac{b}{{3a}}} \right)} \right)\,\),且點\((\,h\;,\;k\,)\)為\(y = f(x)\)圖形的對稱中心。
  3. 實係數三次多項式\(y = g(x) = a{x^3} + px\)的圖形水平方向平移\(h\)單位,鉛直方向平移\(k\)單位可得\(y = f(x) = a{(x – h)^3} + p(x – h) + k\)的圖形。

  上述三次多項式函數圖形的對稱中心即為反曲點,但10年級時並未提及此名詞。
另外,由性質3可知,\(y = g(x) = a{x^3} + px\)的圖形平移可得\(y = f(x) = a{(x – h)^3} + p(x – h) + k\)的圖形,因此只要是圖形平移時不會改變的性質(例如:對稱性、遞增遞減、凹口方向等等),則只需要探討\(y = g(x) = a{x^3} + px\)的圖形性質即可,\(y = f(x) = a{(x – h)^3} + p(x – h) + k\)的圖形也會同時具有相同的性質。

  因此,上述猜想只需要考慮實係數三次多項式\(f(x) = a{x^3} + px\)即可。

設\(f(x) = a{x^3} + px\)為實係數三次多項式,以\(y = f(x)\)圖形上一點\(P\)為切點作切線\(L\)。若\(y = f(x)\)的圖形與直線\(L\)的圖形只有一個交點,則點\(P\)為\(y = f(x)\)圖形的反曲點,反之亦成立。

證明:

設點\(P(\,t\;,\;a{t^3} + pt\,)\),其中\(t\)為實數

則切線\(L\)的斜率為\(f'(t) = 3a{t^2} + p\)

因此\(L\)的方程式為\(y – (a{t^3} + pt) = (3a{t^2} + p)(x – t)\)

即\(L:y = (3a{t^2} + p)x – 2a{t^3}\)

\(\left\{ \begin{array}{l}y = f(x) = a{x^3} + px\\y = (3a{t^2} + p)x – 2a{t^3}\end{array} \right.\)解聯立得\(a{x^3} – 3a{t^2}x + 2a{t^3} = 0\)……①

因為\(a \ne 0\),所以①可化為\({x^3} – 3{t^2}x + 2{t^3} = 0\)……②(即與\(a\)之正負無關)

又\(y = f(x)\)的圖形與直線\(L\)的圖形只有一個交點\(P(\,t\;,\;a{t^3} + pt\,)\),所以②有三重實根\(t\),因此‚可分解為\((x – t)({x^2} + tx – 2{t^2}) = 0\)……③

③可進一步化為\((x – t)(x – t)(x + 2t) = 0\)

因此\(x = t,\;t,\; – 2t\)

因為②之三重實根為\(t\),所以\( – 2t = t\),因此\(t = 0\)

即點\(P\)之坐標為\((\,0\;,\;0\,)\),為\(y = f(x) = a{x^3} + px\)圖形的反曲點

反之,若點\(P\)為\(y = f(x) = a{x^3} + px\)圖形的反曲點,則點\(P\)之坐標為\((\,0\;,\;0\,)\)

切線\(L\)的斜率為\(f'(0) = 3a \cdot {0^2} + p = p\)

切線\(L\)的方程式為\(y – (a \cdot {0^3} + p \cdot 0) = (3a \cdot {0^2} + p)(x – 0)\)

即\(L:y = px\)

\(\left\{ \begin{array}{l}y = f(x) = a{x^3} + px\\y = px\end{array} \right.\)解聯立得\(a{x^3} = 0\)……④

因為\(a \ne 0\),所以④有三重實根\(0\)

因此若點\(P\)為\(y = f(x) = a{x^3} + px\)圖形的反曲點,則以點\(P\)為切點的切線\(L\)與\(y = f(x) = a{x^3} + px\)圖形只有一個交點

 

結論:

設\(f(x)\)為實係數三次多項式,以\(y = f(x)\)圖形上一點\(P\)為切點作切線\(L\)。\(y = f(x)\)圖形與直線\(L\)只有一個交點的充要條件為點\(P\)是\(y = f(x)\)圖形的反曲點。

 

學測史上最難的數學題

 

  學測單選題有5個選項,隨機猜答,可以預期全體答對率約為20%,但是94年單選題第5題的答對率低於20%,簡單地說,讓全體考生隨機猜答的答對率都還比較高。當年的題目如下:

  1. 某校高一第一次段考數學成績不太理想,多數同學成績偏低;考慮到可能是同學們適應不良所致,數學老師決定將每人的原始成績取平方根後再乘以10作為正式紀錄的成績。今隨機抽選100位同學,發現調整後的成績其平均為65分,標準差為15分;試問這100位同學未調整前的成績之平均M介於哪兩個連續正整數之間?(第7頁附有標準差公式)

(1)40\( \le \)M<41   (2) 41\( \le \)M<42   (3) 42\( \le \)M<43   (4) 43\( \le \)M<44   (5) 44\( \le \)M<45

當年五個選項的答案百分比如下:

未作答 選項(1) 選項(2) 選項(3) 選項(4) *選項(5)
全體考生 1 6 18 57 11 8
高分組 1 2 9 72 5 10
低分組 1 10 24 43 15 7

註:

  1. 高分組考生(前33%),低分組考生(後33%)。
  2. 小數點四捨五入。
  3. 正確答案註記*。

 

正確答案為(5),有超過一半的考生選擇(3),應該是底下的誤解:

\(10\sqrt M  = 65 \Rightarrow M = 42.25\)

 

  學測多選題也有5個選項,至少有1個選項正確,所以有31種可能的答案。如果隨機猜答且考慮全對的情形,則可以預期全體答對率約為\(\frac{1}{{13}} \approx 3.2\% \)。歷史上也有一題多選題低於3.2%,就是98年多選題題第9題,全對率只有1%;另外當年度的多選題第10題的全對率也只有4%而已。換句話說,讓全體考生隨機猜答第9題的全對率都還比實際的全對率高,隨機猜答第10題的全對率和實際的全對率在伯仲之間。當年的題目第9題與第10題如下:

  1. 某廠商委託民調機構在甲、乙兩地調查聽過某項產品的居民佔當地居民之百分比(以下簡稱為「知名度」)。結果如下:在\(95\% \)信心水準之下,該產品在甲、乙兩地的知名度之信賴區間分別為 [ 0.50 , 0.58 ]、[ 0.08 , 0.16 ]。試問下列哪些選項是正確的?

(1) 甲地本次的參訪者中,\(54\% \)的人聽過該產品

(2) 此次民調在乙地的參訪人數少於在甲地的參訪人數

(3) 此次調查結果可解讀為:甲地全體居民中有一半以上的人聽過該產品的機率大於\(95\% \)

(4) 若在乙地以同樣方式進行多次民調,所得知名度有\(95\% \)的機會落在區間[ 0.08 , 0.16 ]

(5) 經密集廣告宣傳後,在乙地再次進行民調,並增加參訪人數達原人數的四倍,則在\(95\% \)信心水準之下該產品的知名度之信賴區間寬度會減半(即0.04)

 

  1. 設\(a,b,c\)為實數,下列有關線性方程組\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 2y + az = 1}\\{3x + 4y + bz = – 1}\\{2x + 10y + 7z = c}\end{array}} \right.\)的敘述哪些是正確的?

(1) 若此線性方程組有解,則必定恰有一組解

(2) 若此線性方程組有解,則\(11a – 3b \ne 7\)

(3) 若此線性方程組有解,則\(c = 14\)

(4) 若此線性方程組無解,則\(11a – 3b = 7\)

(5) 若此線性方程組無解,則\(c \ne 14\)

 

當年兩題五個選項的答案百分比如下:

第9題

未作答 *選項(1) *選項(2) 選項(3) 選項(4) 選項(5)
全體考生 0 67 38 57 75 41
高分組 0 80 34 55 85 48
低分組 0 51 45 59 63 38

 

第10題

未作答 選項(1) 選項(2) 選項(3) *選項(4) *選項(5)
全體考生 2 56 60 55 58 46
高分組 2 49 66 47 69 50
低分組 1 58 54 59 48 31

註:

  1. 高分組考生(前33%),低分組考生(後33%)。
  2. 小數點四捨五入。
  3. 正確答案註記*。

  第9題考核的是「信賴區間」,95課綱首次納入教材,98年第一次在大考中出現,當初全國辦了非常多場次的研習,研討如何教授「信賴區間」,但是從數據顯示,考生對於此主題的理解與本題有相當大的距離,所以出現了史上最低全對率1%,史上唯一一題負鑑別度-1%,其中選項(2)是正確的,但是高分組選答比率低於低分組,而選項(4)是錯誤的,但是高分組選答比率卻高於低分組;從這樣的數據來看,也許可以推測高分組的學生對於「信賴區間」有著迷思概念。

  第10題一般常見的解析是直接解三個方程式,或是利用高斯消去法,最後再討論有解或無解的情況。其中選項(2)是錯誤的,但是高分組選答比率卻高於低分組,也許就是造成本題全對率低的原因,推測有這麼多高分組的同學選答選項(2),可能是只考慮了無限多組解的情況。

  最後,非常令人意外的是,不論單選或多選題,皆不倒扣,但是仍有相當多的同學未作答,該題直接零分,真的非常可惜!