分類彙整: 數學知識

三角形SSA與三角形的唯一性

三角形SSA與三角形的唯一性

 

105學測的第12題如下:

在\(\Delta ABC\)中,已知\(\angle A = {20^ \circ }\)、\(\overline {AB}  = 5\)、\(\overline {BC}  = 4\)。請選出正確的選項。

(1) 可以確定\(\angle B\)的餘弦值

(2) 可以確定\(\angle C\)的正弦值

(3) 可以確定\(\Delta ABC\)的面積

(4) 可以確定\(\Delta ABC\)的內切圓半徑

(5) 可以確定\(\Delta ABC\)的外接圓半徑

本題的答案為(2)(5),答對率為30%,全對率為19%,算是個難題!

 

110學測第10題又出了一題類似的題目,是更困難的版本:

在\(\Delta ABC\)中,已經知道\(\overline {AB}  = 4\)和\(\overline {AC}  = 6\),此時尚不足以確定\(\Delta ABC\)的形狀與大小。但是,只要再知道某些條件(例如:再知道\(\overline {BC} \)的長度),就可確定\(\Delta ABC\)唯一的形狀與大小。試選出正確的選項。
( 1) 如果再知道\(\cos A\)的值,就可確定\(\Delta ABC\)唯一的形狀與大小
(2) 如果再知道\(\cos B\)的值,就可確定\(\Delta ABC\)唯一的形狀與大小
(3) 如果再知道\(\cos C\)的值,就可確定\(\Delta ABC\)唯一的形狀與大小
(4) 如果再知道\(\Delta ABC\)的面積,就可確定\(\Delta ABC\)唯一的形狀與大小
(5) 如果再知道\(\Delta ABC\)的外接圓半徑,就可確定\(\Delta ABC\)唯一的形狀與大小

本題的答案為(1)(2),答對率為22%,全對率為3%,真的是很不容易的題目!

 

幾何學中,SSS, SAS, AAS, RHS可以唯一確定三角形,而SSA「可能」會出現兩種可能的三角形,105年學測第12題即是此類;而110年學測則是只給了SS(兩邊),然後選項(1)(2)(3)分別給定三個內角的餘弦值,詢問是否能唯一確定\(\Delta ABC\),因為已知三角形的某個角之餘弦值便可確定該角的角度,所以選項(1)(2)(3)其實就是分別給定三個內角的角度,詢問是否能唯一確定\(\Delta ABC\);因為已經給定SS(\(\overline {AB} \)與\(\overline {AC} \)兩邊),所以必定有SAS(給定\(\angle A\)時,此時可以唯一確定),以及SSA(給定\(\angle B\)或\(\angle C\)時),但是因為SSA「可能」會出現兩種可能的三角形,所以選項(2)(3)還要進一步判斷,而這正是這個題目困難的地方;110年第10題每個選項的選答率為:(1) 79%  (2) 48%  (3) 41%  (4) 52%  (5) 57%,其中選項(2)(3)的選答率較為接近,且與其他選項有落差,但正確答案只有(2),因此可以猜測多數考生只判斷出選項(2)(3)皆為SSA,便認為「一定」會出現兩種可能的三角形。至於選項(4)(5)則是與三角形的內角之正弦值有關,由於已知三角形的某個角之正弦值無法確定該角的角度,因此需要進一步判斷。

 

本文主要是探討SSA與餘弦定理的關係。

仿105學測第12題的條件,給定\(\angle A\),\(\overline {AB}  = c\),\(\overline {BC}  = a\)。

設\(\angle XAB = \angle A\),點\(C\)在射線\(AX\)上且\(\overline {AC}  = x\),其中\(x > 0\)

由餘弦定理得\({a^2} = {c^2} + {x^2} – 2 \cdot c \cdot x \cdot \cos A\)

整理得\({x^2} – (2c \cdot \cos A) \cdot x + {c^2} – {a^2} = 0\)……(*)

(*)的判別式\(D = {( – 2c\cos A)^2} – 4({c^2} – {a^2}) = 4(a + c\sin A)(a – c\sin A)\)

 

  1. 若\({90^ \circ } < \angle A < {180^ \circ }\),則\(\cos A < 0\),且\(c < a\)

此時\(D = 4{\cos ^2}A – 4({c^2} – {a^2}) > 0\),所以(*)有兩相異實根\({x_1},\;{x_2}\),因此\(\Delta ABC\)「可能」有兩種情形

由根與係數得\({x_1} + {x_2} = 2c\cos A < 0\),\({x_1} \cdot {x_2} = {c^2} – {a^2} < 0\)

因此\({x_1},\;{x_2}\)異號,所以(*)僅有一實根,故\(\Delta ABC\)唯一存在。

  1. 若\(\angle A = {90^ \circ }\),則\(\cos A = 0\),且\(c < a\)

此時(*)可化簡為\({x^2} = {a^2} – {c^2}\)\( \Rightarrow \)\(x =  \pm \sqrt {{a^2} – {c^2}} \)

因為\(x > 0\),所以\(x = \sqrt {{a^2} – {c^2}} \)(即畢氏定理)

故\(\Delta ABC\)唯一存在(即RHS)

  1. 若\({0^ \circ } < \angle A < {90^ \circ }\),則\(\cos A > 0\)

(1) 若\(\overline {BC} = a < c\sin A = \overline {AB}  \cdot \sin A\),則\(D < 0\),此時(*)無解,因此\(\Delta ABC\)不存在。

(2) 若\(\overline {BC} = a = c\sin A = \overline {AB}  \cdot \sin A\),則\(D = 0\),此時(*)有兩相等實根,因此\(\Delta ABC\)(唯一)存在。

(3) 若\(\overline {BC} = a > c\sin A = \overline {AB}  \cdot \sin A\),則\(D > 0\),此時(*)有兩相異實根\({x_1},\;{x_2}\),因此\(\Delta ABC\)「可能」有兩種情形。

由根與係數得\({x_1} + {x_2} = 2c\cos A > 0\),\({x_1} \cdot {x_2} = {c^2} – {a^2} = (c + a)(c – a)\),所以有下列三種情形:

  • 若\(a < c\),則\({x_1} \cdot {x_2} > 0\),此時(*)有兩相異正實根,因此\(\Delta ABC\)有兩種情形。
  • 若\(a = c\),則\({x_1} \cdot {x_2} = 0\),此時(*)有一正實根,另一根為0,因此\(\Delta ABC\)唯一存在(此時\(\Delta ABC\)為等腰三角形)。
  • 若\(a > c\),則\({x_1} \cdot {x_2} < 0\),此時(*)有一正實根與一負實根,因此\(\Delta ABC\)唯一存在。

 

接下來討論幾何的情形:

設點\(B\)在射線\(AX\)上的投影點為點\(H\),則\(\overline {BH}  = \overline {AB}  \cdot \sin A\)(也就是上述討論中的\(\overline {AB}  \cdot \sin A = c\sin A\))。考慮以點\(B\)為圓心,適當長為半徑畫弧,可得如下示意圖:

\(\overline {BC}  = a\),\(\overline {BH}  = \overline {AB}  \cdot \sin A = c\sin A\),由上圖可知:

 ①若\(0 < \overline {BC}  < \overline {BH} \),即\(0 < a < c\sin A\),則\(\Delta ABC\)不存在。

②若\(\overline {BC}  = \overline {BH} \),即\(a = c\sin A\),則\(\Delta ABC\)唯一存在,如上圖的\(\Delta ABH\)(此時點\(C\)為點\(H\),此即為RHS)。

③若\(\overline {BH}  < \overline {BC}  < \overline {BA} \),即\(c\sin A < a < c\),則\(\Delta ABC\)有兩種可能,如上圖的\(\Delta AB{C’_1}\)與\(\Delta AB{C’_2}\)。

④若\(\overline {BC}  = \overline {BA} \),即\(a = c\),則\(\Delta ABC\)唯一存在,如上圖的\(\Delta AB{C”_1}\)(此時點\({C”_2}\)為點\(A\),且\(\Delta ABC\)為等腰三角形)。

⑤若\(\overline {BC}  > \overline {BA} \),即\(a > c\),則\(\Delta ABC\)唯一存在,如上圖的\(\Delta AB{C”’_1}\)(因為\(\Delta AB{C”’_2}\)的\(\angle A\)為鈍角,所以點\({C”’_2}\)不為所求)。

 

將(*)的代數與上述的幾何結論整合如下:

  1. 若\({90^ \circ } \le \angle A < {180^ \circ }\),則\(\Delta ABC\)唯一存在;即當三角形為直角三角形或鈍角三角形時,SSA可以保證三角形唯一存在。
  2. 若\({0^ \circ } < \angle A < {90^ \circ }\),則有下列情形:
\(a\)與\(c\)之關係 \({x^2} – (2c \cdot \cos A) \cdot x + {c^2} – {a^2} = 0\) \(\Delta ABC\)
 ①\(0 < a < c\sin A\) (1) 無實根 不存在
②\(a = c\sin A\) (2) 兩相等實根 唯一存在(RHS)
③\(c\sin A < a < c\) (3) I. 兩相異正實根 有兩種可能
④\(a = c\) (3) II.一正根,另一根為0 唯一存在
⑤\(a > c\) (3) III.一正根與一負根 唯一存在

 

由以上結論,105年學測第12題中,因為\(\overline {BA} \sin A = 5\sin {20^ \circ } < 5\sin {30^ \circ } = \frac{5}{2} < 4 = \overline {BC} \),所以\(\Delta ABC\)有兩種可能,的示意圖如下:

110學測第10題:

選項(1)給定\(\angle A\),所以為SAS,故\(\Delta ABC\)唯一存在。

選項(2),因為\(\overline {AC}  > \overline {AB} \),所以\(\angle B\)可能為鈍角或直角,此時\(\Delta ABC\)唯一存在;若\(\angle B\)為銳角,也因為\(\overline {AC}  > \overline {AB} \),此時\(\Delta ABC\)唯一存在,示意圖如下:

選項(3),因為\(\overline {AC}  > \overline {AB} \),所以\(\angle C\)必為銳角,此時\(\Delta ABC\)有兩種可能(會存在\(\angle C\)使得\(\Delta ABC\)不存在,但是題目已經提到在\(\Delta ABC\)中,所以不考慮此情形),示意圖如下:

 

班佛定律

 

班佛定律

 

班佛定律

在\(b\)進位制中,以數\(n\)起頭的數出現的機率為

\(P(n) = {\log _b}(n + 1) – {\log _b}n = \log \left( {1 + \frac{1}{n}} \right)\),其中\(n = 1,\;2,\;3,\; \cdots \;,\;b – 1\)

 

關於「班佛定律」,網路上有許多好文章,列出幾篇如下:

  1. 維基百科:《班佛定律》
    https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%AC%E7%A6%8F%E7%89%B9%E5%AE%9A%E5%BE%8B
  2. UniMath:《用班佛定律檢驗校正回歸的數字到底有沒有人為操作的痕跡?》
    https://www.facebook.com/UniMathTw/posts/4534321226611876
  3. 泛科學PanSci:《不要相信你的直覺》
    https://pansci.asia/archives/54264
  4. Tne News Lens:《一的力量:如何利用「班佛定律」偵破數字詐欺?》
    https://www.thenewslens.com/article/90784
  5. 《假帳殺手一號》
    https://medium.com/justfraud/%E6%9C%80%E4%B8%8D%E7%9B%B4%E8%A6%BA%E4%BD%86%E5%8F%88%E5%AE%B9%E6%98%93%E8%A2%AB%E8%AA%A4%E7%94%A8%E7%9A%84%E7%8F%AD%E4%BD%9B%E5%AE%9A%E5%BE%8B-abe83d66262c
  6. 觀網:《如何讓鑑識會計人員使用班佛定律來偵查舞弊事件》
    https://blog.uprofit-tw.com/?p=7195

 

閱讀完以上的文章,相信會對於「班佛定律」有初步的理解。

 

事實上,「班佛定律」也曾經現身於大考及大考研究試卷中,如下:

93年數學乙單選第4題

由電腦隨機選出127個正整數,取其最高位數字(如35為3,110為1)所得之次數分佈如下圖。

若從這127個正整數中任取一個,則其最高位數字為\(d\)(\(d = 1,\;2,\;3,\; \cdots \;,\;9\))的機率\(P\)最接近下列哪一選項? 

(1) \(P = \frac{1}{9}\)
(2) \(P = \frac{1}{2} – \frac{1}{{90}}d\)
(3) \(P = \frac{{{{(d – 5)}^2}}}{{60}}\)
(4) \(P = \frac{2}{5} \cdot {(\frac{1}{5})^d}\)
(5) \(P = \log (1 + \frac{1}{d})\)

 

上面這一題的答案為(5)。

 

另外,大學入學考試中心在97年公布的《指定科目考試參考試卷-數學乙》以及當年《指定科目考試研究用試卷-數學乙卷四、卷五》中有底下的題目:

班佛法則:銀行存款的首位數為\(a\)(即存款數字的第一位數為\(a\),例如存款金額為483216的首位數是4)的比例約有\({\log _{10}}\left( {1 + \frac{1}{a}} \right)\),根據班佛法則,銀行存款的首位數為4,或5,或6,或7的人約有多少比例:
(\({\log _{10}}2 \approx 0.3010,\;{\log _{10}}3 \approx 0.4771,\;{\log _{10}}5 \approx 0.6990\))
(1) 20%  (2) 30%  (3) 40%  (4) 50%  (5) 60%

 

上面這一題的答案為(2)。

 

  未來這類型的題目會越來越多,除了平常多閱讀科普讀物或文章瞭解一些與課程相關的內容以培養能力之外,要是真的在試場中遇到未曾接觸過的內容,其實也只需要靜下心來好好讀懂題目,照著題目的說明好好理解內容後,再使用過自己學過的數學知識即可解題。

一組數據的標準差必不大於全距之半

設有一組數據\({x_1},\;{x_2},\; \cdots \;,\;{x_n}\),全距為\(R\),標準差為\(\sigma \),則\(\sigma  \le \frac{1}{2}R\)。

 

不失一般性,設\({x_1} \le {x_2} \le  \cdots  \le {x_n}\),平均數\(\mu  = \frac{1}{n}({x_1} + {x_2} +  \cdots  + {x_n})\)

全距\(R = {x_n} – {x_1}\),標準差\(\sigma  = \sqrt {\frac{1}{n}\left( {{{({x_1} – \mu )}^2} + {{({x_2} – \mu )}^2} +  \cdots  + {{({x_n} – \mu )}^2}} \right)} \)

 

考慮底下性質:

設\(f(x) = {({x_1} – x)^2} + {({x_2} – x)^2} +  \cdots  + {({x_n} – x)^2}\),則當\(x = \frac{1}{n}({x_1} + {x_2} +  \cdots  + {x_n})\)時,\(f(x)\)有最小值。

 

上述性質進一步可表示為:

若有一組數據\({x_1},\;{x_2},\; \cdots \;,\;{x_n}\),其中標準差為\(\sigma \),則當\(x = \frac{1}{n}({x_1} + {x_2} +  \cdots  + {x_n}) = \mu \)時,\(f(x) = {({x_1} – x)^2} + {({x_2} – x)^2} +  \cdots  + {({x_n} – x)^2}\)有最小值為\(f(\mu ) = {({x_1} – \mu )^2} + {({x_2} – \mu )^2} +  \cdots  + {({x_n} – \mu )^2} = n \cdot {\sigma ^2}\)。

 

設\(k = \frac{{{x_1} + {x_n}}}{2}\),\(f(x) = {({x_1} – x)^2} + {({x_2} – x)^2} +  \cdots  + {({x_n} – x)^2}\),則

\[\left\{ \begin{array}{l}|{x_1} – k|\; = \;|{x_1} – \frac{{{x_1} + {x_n}}}{2}|\; = \;|\frac{{{x_1} – {x_n}}}{2}|\; = \frac{1}{2}R\\|{x_2} – k|\; = \;|{x_2} – \frac{{{x_1} + {x_n}}}{2}|\; \le \;|\frac{{{x_1} – {x_n}}}{2}|\; = \frac{1}{2}R\\\quad \;\; \vdots \\|{x_i} – k|\; = \;|{x_i} – \frac{{{x_1} + {x_n}}}{2}|\; \le \;|\frac{{{x_1} – {x_n}}}{2}|\; = \frac{1}{2}R\\\quad \;\; \vdots \\|{x_n} – k|\; = \;|{x_n} – \frac{{{x_1} + {x_n}}}{2}|\; = \;|\frac{{{x_n} – {x_1}}}{2}|\; = \frac{1}{2}R\end{array} \right.\]

因此\(f(k) = {({x_1} – k)^2} + {({x_2} – k)^2} +  \cdots  + {({x_n} – k)^2} \le n \cdot {\left( {\frac{1}{2}R} \right)^2}\)

\( \Rightarrow \)\(f(\mu ) \le f(k) \le n \cdot {\left( {\frac{1}{2}R} \right)^2}\)

\( \Rightarrow \)\(n \cdot {\sigma ^2} \le f(k) \le n \cdot {\left( {\frac{1}{2}R} \right)^2}\)

故\(\sigma  \le \frac{1}{2}R\)