2012 AIME

1. 有九個人一起吃飯,有三種套餐可供選擇,每人各點一種套餐,其中三人點了牛肉套餐、三人點了雞肉套餐、三人點了魚肉套餐。某服務生隨意的為這九人送餐,試問恰好僅有一位客人得到他所點的套餐的方法共有多少種?


2. 考慮所有三位數abc,其中$a \ne 0$、$c \ne 0$、a, b, c不須相異且abc與cba都是4的倍數。試問滿足上述條件的三位數共有多少個?


3. 已知某等差數列各項的和為715,若將第一項加1、第二項加3、第三項加5,一般而言,第k項加第k個正奇數,則所得到的新等差數列各項的和為836。試問原來等差數列的第一項、正中間那一項與末項三項的和為多少?


4. 設複數z與w滿足${z^{13}} = w$,${w^{11}} = z$,且z的虛部為$\sin ({{m\pi } \over n})$,其中m與n為互質的正整數,且$m < n$。試求$n = $?


5. 設x、y、及z為正數滿足$2{\log _x}\left( {2y} \right) = 2{\log _{2x}}\left( {4z} \right) = {\log _{2{x^4}}}\left( {8yz} \right) \ne 0$。已知$x{y^5}z$可以表示為
${1 \over {{2^{{p \over q}}}}}$的形式,其中p與q為互質的正整數,試求$p + q = $?

6. 用二進位表示法,集合B中的元素都是用五個0與八個1所組成的13位數,此集合中的數允許前幾位數為0。試求將集合B中的任意兩數相減所有可能的運算中,共有多少次所得的答案是1。


7. 小布與阿丹離開道奇市開始他們的旅程,為了儘快而行,他們交替用走路的或乘騎他們唯一的一匹馬赤兔,他們行進的方式如下:開始時小布用走的,阿丹騎馬;當阿丹到達他們路程之中的第一個拴馬柱時-為了簡單起見,所有拴馬柱離道奇市均為整數公里-他將赤兔拴在柱上,開始用走的;當小布走到拴赤兔的地方,他開始騎馬,當他超越阿丹到達下一個拴馬柱時,他將赤兔拴在柱上,再開始用走的;他們持續用這種交替的方法而行。赤兔、小布、及阿丹的行進速率分別為每小時6、4、及2.5公里;當小布與阿丹在途中的一個整數公里的里程碑第一次相遇時,他們離開道奇市n公里,花了t分鐘。試求$n + t = $?


8. 在下面網路圖的十六個圓圈中,每個圓圈站一位學生,並將3360個銅板全部分給這十六位學生。這些學生同時進行下列的分送過程一次,每個學生將他的銅板全部平均分送給在網路中與他相連的同學。若分送後每個學生仍擁有與分送前一樣多的銅板,則網路圖中最中央那位學生原來有多少個銅板?

2012aime08

9. 如圖,邊長為1的正立方體ABCDEFGH,被一個通過$\overline {AB} $、$\overline {CG} $中點M、N及頂點D的平面分割成兩個立體區域。若其中較大區域的體積可以表示為${p \over q}$的形式,其中p與q為質的正整數,則$p + q = $?

2012aime09

10. 設$\Delta ABC$為直角三角形,其中角C為直角,D、E為$\overline {AB} $上的兩點,其中點D介於A與E之間,使得$\overline {CD} $與$\overline {CE} $三等分$\angle C$。若${{\overline {DE} } \over {\overline {BE} }} = {8 \over {15}}$,則$\tan B$可以表示為${{m\sqrt p } \over n}$,其中m與n為互質的正整數,且p是正整數,它不能被任何質數的平方所整除。試求$m + n + p = $?


11. 給定三個半徑分別為3、4、5的同心圓,考慮所有邊長為s,它的三個頂點分別在這三個圓的圓周上的正三角形。若這些正三角形最大可能的面積可以表示為$a + {b \over c}\sqrt d $,其中a、b、c、d均為正整數,b與c互質,且d不能被任何質數的平方所整除。試求$a + b + c + d = $?


12. 設S是所有末三位數為256的完全平方數所形成的集合;而集合T是所有${{x - 256} \over {1000}}$的集合,其中x為S中的數。換言之,集合T中的數是將集合S中的每一數截去末三位數所形成的集合。試求集合T中第十小的數除以1000的餘數。


13. 有一隻青蛙開始時在點${P_0}\left( {0,0} \right)$的位置,並依下述規則作一序列的跳躍:從點${P_n}\left( {{x_n},{y_n}} \right)$青蛙跳至點${P_{n + 1}}$,其中點${P_{n + 1}}$的坐標可以是$\left( {{x_n} + 7,{y_n} + 2} \right)$、$\left( {{x_n} + 2,{y_n} + 7} \right)$、$\left( {{x_n} - 5,{y_n} - 10} \right)$、或$\left( {{x_n} - 10,{y_n} - 5} \right)$四個之中的任何一個。若共有m個點$\left( {x,y} \right)$,其中$\left| x \right| + \left| y \right| \le 100$,是青蛙可經過一序列跳躍後到達的點,則m除以1000的餘數為多少?


14. 有n位數學家圍著一張圓桌,分別坐在依順時針方向標示著1, 2, 3, …, n的座位上。在休息後,他們再度圍著圓桌而坐,每個座位坐一人,這些數學家發現有一個正整數a使得
(1)對於每個k,每位數學家在休息前原先坐在座號k的人,在休息後坐在座號ka(其中座號$i + n$的座號視為i);
(2)在休息後任何兩位數學家之間的數學家的人數,不論按順時針方向數、或逆時針方向數,都與休息前兩人之間的數學家的人數都不同。
試求在$1 < n < 1000$中總共有多少個滿足條件的n。


15. 設複數a、b及c為方程式${z^3} + qz + r = 0$的三個根,且滿足${\left| a \right|^2} + {\left| b \right|^2} + {\left| c \right|^2} = 250$。在複數平面對應於a、b、c的三點可形成一個直角三角形的三個頂點。若此直角三角形的斜邊長為h,若${h^2} = $?



答案:
1. 216 2. 040 3. 195 4. 071 5. 049
6. 330 7. 279 8. 280 9. 089 10. 018
11. 041 12. 170 13. 373 14. 332 15. 375


資料來源:
http://math.pro/db/thread-1308-1-1.html
檔案題供者:bugmens

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sgod replied the topic: #400 7 年 2 星期 ago
第11題
方法1:
滿足條件的正三角形有兩個,一個圓心O點在三角形外,一個在三角形內,而在三角形內的正三角形比較大,如圖,
△OAB中,$16 = 9 + {s^2} - 6s\cos \theta $……………………….(1)
△OAC中,$25 = 9 + {s^2} - 6s\cos (60^\circ - \theta )$……………(2)
由(1),得$\cos \theta = {{{s^2} - 7} \over {6s}}$,故$\sin \theta = {{\sqrt { - {s^4} + 50{s^2} - 49} } \over {6s}}$
由(2),$6s({1 \over 2}\cos \theta + {{\sqrt 3 } \over 2}\sin \theta ) = {s^2} - 16$
將$\cos \theta $及$\sin \theta $以s表之代入,再平方整理最後可得
${s^4} - 50{s^2} + 193 = 0$
故${s^2} = 25 + 12\sqrt 3 $
∴△ABC的面積為${{\sqrt 3 } \over 4}{s^2} = 9 + {{25\sqrt 3 } \over 4}$



方法2:
設此三個同心圓的圓心坐標為(3,0),A為(0,0)
設$B(3+4\cos \theta ,4\sin \theta )$
∵△ABC為正三角形,故C為以A為中心B點旋轉60°(只討論逆時針旋轉,順時針情形亦同)後的點,故C點坐標為$(\frac{3}{2}+4\cos (60{}^\circ +\theta ),\frac{3\sqrt{3}}{2}+4\sin (60{}^\circ +\theta ))$,
由此可發現C點必在圓${{(x-\frac{3}{2})}^{2}}+{{(y-\frac{3\sqrt{3}}{2})}^{2}}=16$上,
即C為${{(x-\frac{3}{2})}^{2}}+{{(y-\frac{3\sqrt{3}}{2})}^{2}}=16$與半徑5同心圓${{(x-3)}^{2}}+{{y}^{2}}=25$的交點,如圖所示
經過計算可得大的正三角形上的C點坐標為$(3+\frac{5\sqrt{3}}{2},\frac{5}{2})$,再求$\overline{AC}$即可求得邊長再算面積

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sgod replied the topic: #393 7 年 2 星期 ago
好久沒有更新這篇了,實在太懶了~不知何年何月才能把這篇寫完

第10題

如圖$\angle CDB = 120^\circ -B $
△CDE中,由正弦定理可知$\overline {CD} :\overline {BC} = \sin B:\sin \angle CDB = \sin B:\sin (120^\circ - B )$
又因為$\overline {CE} $為$\angle CDB$之角平分線,故$\overline {CD} :\overline {BC} = \overline {DE} :\overline {BE} = 8:15$
∴$\sin B:\sin (120^\circ - B ) = 8:15$
$15\sin B = 8({{\sqrt 3 } \over 2}\cos B + {1 \over 2}\sin B )$
$11\sin B = 4\sqrt 3 \cos B $
故${{\sin B} \over {\cos B}} = {{4\sqrt 3 } \over {11}} = \tan B$,即m+p+n=18

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sgod replied the topic: #341 7 年 6 個月 ago
第8題
設最外圈的5個人都有$a$個銅板,再往內1圈的5人分別有$b$個銅板,再內1圈的5個分別有$c$個銅板,最中央的有$d$個銅板
由題意可推導出下列方程式:
$5a + 5b + 5c + d = 3360$

$a = {a \over 4} \times 2 + {b \over 4} \times 2$

$b = {a \over 4} \times 2 + {c \over 3} \times 2$

$c = {b \over 4} \times 2 + {d \over 5}$

$d = {c \over 3} \times 5$

由上述方程組即可以解出$d = 280$
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sgod replied the topic: #335 7 年 6 個月 ago
第7題

設相遇時
小布走路的時間為${t_1}$分鐘,騎馬的時間為${t_2}$分鐘
阿丹走路的時間為${s_1}$分鐘,騎馬的時間為${s_2}$分鐘

${t_1} + {t_2} = {s_1} + {s_2}$…………………….(1)
$4{t_1} + 6{t_2} = 2.5{s_1} + 6{s_2}$………….(2)
$6{t_2} + 6{s_2} = 4{t_1} + 2.5{s_1}$………….(3)
由(1)(2)可得$4{t_1} = 7{s_1}$
設${t_1} = 7k$分鐘,${s_1} = 4k$分鐘
再代入(2)(3)可得${t_2} = {5 \over 3}k$分鐘,${s_2} = {{14} \over 3}k$分鐘
故花費時間$t = {t_1} + {t_2} = {{26} \over 3}k$分鐘
距離$n = {{4{t_1} + 6{t_2}} \over {60}} = {{19} \over {30}}k$公里
因為n為整數,故k之最小值為30,此時花費了時間$t = 260$分鐘,距離n=19公里
∴$n + t = 279$
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sgod replied the topic: #248 7 年 7 個月 ago
第6題

滿足二數相減為1,則此兩數的末兩位數必為10與01,其餘的位數數字皆相同
故共有${{11!} \over {4!7!}}$ =330種組合
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sgod replied the topic: #236 7 年 8 個月 ago
把本文章與首頁結合~
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sgod replied the topic: #221 7 年 8 個月 ago
第5題

令$2{\log _x}\left( {2y} \right) = 2{\log _{2x}}\left( {4z} \right) = {\log _{2{x^4}}}\left( {8yz} \right) = k$
則$4{y^2} = {x^k}$,${(4z)^2} = {(2x)^k}$,$8yz = {(2{x^4})^k}$
∵$4{y^2} \times {(4z)^2} = {(8yz)^2}$ ∴${x^k} \times {(2x)^k} = {({(2{x^4})^k})^2}$
${2^k} \times {x^{2k}} = {2^{2k}} \times {x^{8k}}$
故${x^k} = {2^{ - {k \over 6}}}$
即$x = {2^{ - {1 \over 6}}}$
$y = {1 \over 2}{x^{{k \over 2}}}$,$z = {1 \over 4} \cdot {2^{{k \over 2}}} \cdot {x^{{k \over 2}}}$
$\eqalign{
& x{y^5}z = x \times {({1 \over 2}{x^{{k \over 2}}})^5} \times ({1 \over 4} \cdot {2^{{k \over 2}}} \cdot {x^{{k \over 2}}}) \cr
& = x \cdot {x^{3k}} \times {1 \over {128}} \times {2^{{k \over 2}}} \cr
& = {2^{ - {1 \over 6}}} \times {2^{ - {k \over 2}}} \times {1 \over {128}} \times {2^{{k \over 2}}} \cr
& = {2^{ - {{43} \over 6}}} \cr} $
故$p + q = 43 + 6 = 49$
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sgod replied the topic: #161 8 年 1 個月 ago
第4題

${z^{13}} = w$,${w^{11}} = {({z^{13}})^{11}} = {z^{143}} = z$
∴$z({z^{142}} - 1) = 0$
$z = 0$ or ${z^{142}} = 1$
∴$z = \cos ({{2k\pi } \over {142}}) + i\sin ({{2k\pi } \over {142}}) = \cos ({{k\pi } \over {71}}) + i\sin ({{k\pi } \over {71}})$,k=0,1,2,3,…,141
故n=71
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sgod replied the topic: #156 8 年 1 個月 ago
第3題

$1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = {n^2} = 836 - 715$
∴n=11
${{11({a_1} + {a_{11}})} \over 2} = 715$,故${a_1} + {a_{11}} = 130$,而正中間那一項=${{({a_1} + {a_{11}})} \over 2} = 65$
130+65=195
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sgod replied the topic: #155 8 年 1 個月 ago
第2題

b=0,2,4,6,8時,a,c必為4,8,此時abc有5×2×2=20種
b=1,3,5,7,9時,a,c必為2,6,此時abc有5×2×2=20種
故滿足條件的abc共有40個
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sgod replied the topic: #154 8 年 1 個月 ago
第1題

將套餐簡稱為A,B,C
恰有一人得到所點的套餐:$C_1^9$=9
除了此人外其餘8人所拿到的皆非自己所點的
設拿到自已套餐的人為拿到A餐
則還有2人點A,3人點B,3人點C
情況1:若剩下的2份A送到點B者,則3份C餐必送到2位點A者及1位點B者,而3份B必送至點C者
故共有$2 \times C_2^3 = 6$種

情況2:若剩下的2份A,一份送至點B者,一份送至點C者,則B餐必有2份送給C,1份送給A;C餐必有2份送給B,1份送給A
故共有$C_1^3 \times C_1^3 \times 2 = 18$種
故此題之點餐方法有9×(6+18)=216種
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sgod replied the topic: #147 8 年 1 個月 ago
這幾天學校段考時,無聊就想這題
每天想個一點終於也想出來了~大家有空幫我檢視一下有沒有問題吧

第14題:


對於任意正整數n,令$a = 1,2,3,...,(n - 1)$(其餘大於n的數只要餘數同a的重坐後順序是跟a一樣的)
而無論n為何,$(a,n) = 1$,否則座位會重複
設任意兩數學家原本的座號為x,y,
訂此兩人間的人數為$|x - y|$(順時針方向)
$|x - y| = 1,2,3,...,(n - 1)$
而重坐後的兩人間的人數則為$a|x - y| - mn$(其中m為使$0 < a|x - y| - mn < n$的最大整數)
依照題意可知
重坐後需滿足
(1) $a|x - y| - mn \ne |x - y| \Rightarrow (a - 1)|x - y| \ne mn$
(2) $a|x - y| - mn \ne n - |x - y| \Rightarrow (a + 1)|x - y| \ne mn$(逆時針方向)


若n為偶數,則∵$(a,n) = 1$,∴a必為奇數
故$(a - 1)$必為偶數,令$(a - 1) = 2t$
設n=2k,則k必為1,2,…,(n-1)其中一個數
故當$|x - y| = k$時,$(a - 1)|x - y| = 2kt = tn$不符合(1)之條件,
故所有偶數皆不合

若n為奇數,則$a = 2$時,
$(a - 1)|x - y|$
$ = |x - y| = 1,2,3,...,(n - 1)$
此時無論m為何,$(a - 1)|x - y| \ne mn$
即所有奇數皆滿足(1)

若3|n,令n=3p,同理p必為1,2,…,(n-1)其中一個數
∵$(a,n) = 1$,∴$(a - 1)$與$(a + 1)$必有一個為3的倍數,設為3q
當$|x - y| = p$時,$3q|x - y| = 3pq = qn$又與(1)(2)其中之一不合
故n必不為3的倍數

其餘的奇數只要不是3的倍數,在$a = 2$時皆可以滿足(1)(2)的條件

1<n<1000中為奇數且不為3的倍數者共有499-167=332個

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