2013 AIME

1.ABCD為一正方形,點E與點F分別在$\overline {AB} $$\overline {BC} $上。過點E平行$\overline {BC} $的直線與過點F平行$\overline {AB} $的直線,將正方形ABCD分成兩個正方形與兩個不是正方形的矩形。若這兩個小正方形的面積和是正方形ABCD面積的${9 \over {10}}$,則${{\overline {AE} } \over {\overline {EB} }} + {{\overline {EB} } \over {\overline {AE} }}$=?

 2.AIME三項全能運動競賽包含游泳半公里,騎腳踏車30公里及跑步8公里。湯姆游泳、騎腳踏車及跑步都是分別以固定的速率行進。他跑步的速率是游泳速率的六倍,他騎腳踏車的速率是他跑步速率的兩倍。湯姆完成AIME三項全能競賽總共花了$4{1 \over 3}$小時。湯姆共花了多少分鐘騎腳踏車?

3.設方程式$10{x^3} - 3{x^2} - 3x - 1 = 0$的實根可以表示為${{\root 3 \of a  + \root 3 \of b  + 1} \over c}$,其中a,b,c均為正整數。試求$a + b + c$之值。

4.試找出滿足下列條件的正五位數n的個數:
(a) n可被5整除
(b)n的首尾兩個數字相同
(c)n各位數的數字和可以被5整除

5.美玲有三個空盒子及12本教科書,其中三本是數學教科書,三個空盒子中,有一個盒子可以裝三本教科書,有一個盒子可裝四本教科書,另一個盒子可裝五本教科書。美玲以隨意的方式將這些教科書放進盒子裡,若三本數學教科書恰好放在同一個盒子裡的機率為${m \over n}$,其中mn為互質的正整數,則m+n=?

6.隨意將下圖中的13個小正方形中的8個塗成紅色,其餘5個塗成藍色。若繞中間的小正方形旋轉90°後,新圖案與原圖案在同一位置的小正方形其顏色都相同的機率為${1 \over n}$,其中n為正整數,則n=?

2013aime06

7. 如圖,有一張邊長為12的正三角形ABC紙片,將此正三角形紙片向下摺使其平貼,且頂點A若在底邊$\overline {BC} $上距離B9之處。若摺痕邊長為${{m\sqrt p } \over n}$,其中m,n,p均為正整數,mn互質,且p不能被任何質數的平方所整除,則m+n+p=?

2013aime07 12013aime07 2

8.有一個長方體的盒子,寬為12公寸,長為16公寸,高為${m \over n}$公寸,其中mn為互質的正整數。考慮交於同一頂點的三個面,若以這三個面的中心為頂點的三角形面積為30平方公寸,則m+n=?

9.若函數$f(x) = {\sin ^{ - 1}}({\log _m}(nx))$可定義x的範圍是一個長度為${1 \over {2013}}$的閉區間,其中mn為正整數, m>1。試求m+n最小可能之值除以1000的餘數。

(註:若$y = {\sin ^{ - 1}}x$,則$\sin y = x$)

10.設△PQR中∠P=75°,∠Q=60°。畫一個邊長為1的正六邊形ABCDEF於△PQR的裡面,使得$\overline {AB} $$\overline {PQ} $上,$\overline {CD} $$\overline {QR} $上,且剩餘的頂點中有一點在$\overline {RP} $上。已知存在正整數a,b,c,d使得△PQR的面積可以表示為${{a + b\sqrt c } \over d}$,其中ad互質,c不能被任何質數的平方整除,試求$a + b + c + d$之值。

11.已知存在都不是零的整數a,b,r,s使得複數$r + si$$P(x) = {x^3} - a{x^2} + bx - 65 = 0$的根。對於每一滿足上述條件的ab,令${P_{a,b}}$為所對應之$P(x) = 0$所有根的和。試求所有可能組合ab所對應之${P_{a,b}}$的總和。

12. 某幼稚園有16位同學。幼稚園有N個遊戲區,其中N是一個很大的數,滿足下列條件:

(a)若出席16位學生,或15位學生,或14位學生時,對每一種情形,均恰可將遊戲區平分給出席的每一位學,而沒有剩下任何遊戲區。

(b)存在三個整數$0 < x < y < z < 14$,使得當出席x位學生,或y位學生,或z位學生時,將遊戲區平分給出席的學生後都會剩下三個遊戲區。

試求滿足上述條件最小可能N的相異質因數之和

13.對於$\pi  \le \theta  \le 2\pi $,設

$P = {1 \over 2}\cos \theta  - {1 \over 4}\sin 2\theta  - {1 \over 8}\cos 3\theta  + {1 \over {16}}\sin 4\theta  + {1 \over {32}}\cos 5\theta  - {1 \over {64}}\sin 6\theta  - {1 \over {128}}\cos 7\theta  +  \cdots $

$Q = 1 - {1 \over 2}\sin \theta  - {1 \over 4}\cos 2\theta  + {1 \over 8}\sin 3\theta  + {1 \over {16}}\cos 4\theta  - {1 \over {32}}\sin 5\theta  - {1 \over {64}}\cos 6\theta  + {1 \over {128}}\sin 7\theta  +  \cdots $

使得${P \over Q} = {{2\sqrt 2 } \over 7}$,則$\sin \theta  =  - {m \over n}$,其中mn為互質的正整數。試求$m + n$之值

14.三角形$A{B_0}{C_0}$中,$\overline {A{B_0}}  = 12$$\overline {{B_0}{C_0}}  = 17$$\overline {{C_0}A}  = 25$。對每一個正整數n,點${B_n}$與點${C_n}$分別在$\overline {A{B_{n - 1}}} $$\overline {A{C_{n - 1}}} $上,使得三個三角形$\Delta A{B_n}{C_n}$$\Delta {B_{n - 1}}{C_n}{C_{n - 1}}$$\Delta A{B_{n - 1}}{C_{n - 1}}$兩兩相似。若對於$n \ge 1$,所有三角形${B_{n - 1}}{C_n}{B_n}$區域聯集的面積可以表示為${p \over q}$,其中pq為互質的正整數,則q=?

15.N為滿足下列四個條件之整數三元序對(A,B,C)的個數:

(a)$0 \le A < B < C \le 99$

(b)存在整數a,b,c及質數p,其中$0 \le b < a < c < p$

(c)p可以整除A-aB-bC-c

(d)每個三元序對(A,B,C)與每個三元序對(b,a,c)均為等差數列。

試求N之值

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sgod replied the topic: #373 7 年 3 個月 ago
歡迎大家討論研究~

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