歷年學測與指考試題精選

單元:數與式

1. 設\(a = \sqrt {7 + \sqrt {47} } \),則\(a\)在哪兩個連續整數之間?
(A) 0與1
(B) 1與2
(C) 2與3
(D) 3與4
(E) 4與5 。
【83學測】

2. 試選出正確的選項:
(A) \(0.3\overline {43} \)不是有理數
(B) \(0.\,\overline {34} > \frac{1}{3}\)
(C) \(0.\,\overline {34} > 0.343\)
(D) \(0.\,\overline {34} < 0.35\)
(E) \(0.\,\overline {34} = 0.3\overline {43} \) 。
【88學測】
3. 設\(r,\;s\)為整數,已知整係數多項式\({x^3} + rx + s\)的因式分解是\({x^3} + rx + s = {(x + a)^2}(x + b)\),其中\(a,\;b\)為相異實數,求證\(a,\;b\)都是有理數。
【96乙】
4. 設\(a\)、\(b\)、\(c\)分別為函數\(f(x) = x + \frac{2}{x}\)、\(g(x) = {x^2} + \frac{2}{{{x^2}}}\)、\(h(x) = \sqrt {{x^2} + \frac{2}{{{x^2}}}} \)在\(x\)為任意正實數時的最小值。試問下列哪些選項是正確的?
(1) \(b = {a^2}\)
(2) \(c = {2^{\frac{3}{4}}}\)
(3) \(f(x) + g(x)\)在\(x\)為任意正實數時的最小值為\(a + b\)
(4) \(g(x) + h(x)\)在\(x\)為任意正實數時的最小值為\(b + c\)。
【99甲】
5. \(\sqrt {\frac{1}{{{5^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + 1} \)等於下列哪一個選項?
(1) 1.01
(2) 1.05
(3) 1.1
(4) 1.15
(5) 1.21。
【101學測】
6. 當\((\,x\;,\;y\,)\)在直線\(2x + y = 3\)上變動時,關於\(K = {9^x} + {3^y}\)的敘述,試問下列哪個選項是正確的?
(1) \(K\)有最大值28、最小值\(6\sqrt 3 \)
(2) \(K\)有最大值28、但沒有最小值
(3) \(K\)沒有最大值、但有最小值12
(4) \(K\)沒有最大值、但有最小值\(6\sqrt 3 \)
(5) \(K\)沒有最大值也沒有最小值。
【101甲】
7. 設\(k\)為一整數。已知\(\frac{k}{3} < \sqrt {31} < \frac{{k + 1}}{3}\),則\(k = \)__________。
【102學測】
8. 綜合數種糧食的【糧食自給率】定義為\(\frac{A}{B}\),其中\(A\)為「每一種糧食之國內生產量乘以該糧食每單位產生熱量之後的總和」,\(B\)為「每一種糧食之國內消費量乘以該糧食每單位產生熱量之後的總和」。已知甲、乙、丙三種糧食相關數據如下表:

糧食

國內生產量

(單位:千公噸)

國內消費量

(單位:千公噸)

單位糧食產生的熱量

(單位:大卡/每百公克)

1000 1200 300
280 320 100
100 1000 600


請問綜合甲、乙、丙這三種糧食的【糧食自給率】最接近下列哪一個選項?
(1) 37%
(2) 39%
(3) 41%
(4) 43%
(5) 45%。
【102乙】
9. 下列有關循環小數的敘述中,請選出正確的選項。
(1) \(0.\bar 7 + 0.\bar 3 = 0.\bar 6 + 0.\bar 4\)
(2) \(0.\overline {72} + 0.\overline {28} = 1.\bar 1\)
(3) \(0.\bar 7 + 0.\bar 3 = 1\)
(4) \(0.\bar 5 + 0.\bar 5 = 1.\bar 1\)
(5) \(0.4\bar 9 = 0.5\)。
【102乙】

10. 關於下列不等式,請選出正確的選項。

(1) \(\sqrt {13} > 3.5\)
(2) \(\sqrt {13} < 3.6\)
(3) \(\sqrt {13} - \sqrt 3 > 10\)
(4) \(\sqrt {13} + \sqrt 3 > \sqrt {16} \)
(5) \(\frac{1}{{\sqrt {13} - \sqrt 3 }} > 0.6\)。
【103學測】

11. 請問滿足絕對值不等式\(|4x - 12| \le 2x\)的實數\(x\)所形成的區間,其長度為下列哪一個選項?
(1) 1
(2) 2
(3) 3
(4) 4
(5) 6。
【103學測】


12.三個相異實數$a$、$b$、$c$滿足$b = \frac{4}{5}a + \frac{1}{5}c$,如果將$a$、$b$、$c$標示在數線上,則
(1) $b$在$a$與$c$之間
(2) $c > b$
(3) 若$d = \frac{4}{3}a - \frac{1}{3}c$,則$d$在$a$與$b$之間
(4) $a$到$c$的距離是$a$到$b$的距離的5倍
(5) 如果$|b|\; = \frac{4}{5}|a| + \frac{1}{5}|c|$,則$a \cdot b \cdot c > 0$
【103乙】


13. 下列各方程式中, 請選出有實數解的選項。
(1) \(|x| + |x - 5|\; = 1\)
(2) \(|x| + |x - 5|\; = 6\)
(3) \(|x| - |x - 5|\; = 1\)
(4) \(|x| - |x - 5|\; = 6\)
(5) \(|x| - |x - 5|\; = - 1\)
【105學測】

Ans:
1. (D)
2. (B)(C)(D)(E)
3. 略
4. (2)(4)
5. (2)
6. (4)
7. 16
8. (2)
9. (1)(4)(5)
10. (1)(4)
11. (4)
12. (1)(4)
13. (2)(3)(5)

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sgod replied the topic: #601 2 年 9 個月 ago
關於數與式的問題可以在這快速回覆或者到討論區中的「中學數學」版中討論

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