簡單的多項式函數與圖形

1. 設\(a\)與\(b\)為實數,且二次函數\(f(x) = a{(x - 1)^2} + b\)滿足\(f(4) > 0\),\(f(5) < 0\)。試問下列何者為真?
(A) \(f(0) > 0\)
(B) \(f( - 1) > 0\)
(C) \(f( - 2) > 0\)
(D) \(f( - 3) > 0\)
(E) \(f( - 4) > 0\) 。
【87推甄】


2. 設\(a\),\(b\),\(c\)為實數。若二次函數\(f(x) = a{x^2} + bx + c\)的圖形通過\((\,0\;,\; - 1\,)\)且與\(x\)軸相切,則下列選項何者為真?
(A) \(a < 0\)
(B) \(b > 0\)
(C) \(c = - 1\)
(D) \({b^2} + 4ac = 0\)
(E) \(a + b + c \le 0\) 。
【90推甄】


3. 設\(a\),\(b\),\(c\)為實數,且二次函數\(f(x) = a{x^2} + bx + c\)滿足\(f( - 1) = - 3\),\(f(3) = - 1\),\({b^2} - 4ac < 0\),則
(A) \(a < 0\)
(B) \(c < 0\)
(C) \(f(0) < f(1)\)
(D) \(f(4) < f(5)\)
(E) \(f( - 3) < f( - 2)\) 。
【90社】


4. 個函數繪圖軟體的視窗預設的坐標平面之可視範圍為\( - 15 \le x \le 15\)及\( - 10 \le y \le 10\),如下圖所示:

sa 2 1

當我們把視窗的比例尺調整為原來的二分之一時,視窗的可視範圍變成\( - 30 \le x \le 30\)及\( - 20 \le y \le 20\),如下圖所示:

sa 2 2

試問以下哪些選項是正確的?
(1) 如果把視窗的比例尺調整為原來的三分之一,那麼視窗的可視範圍變成 \( - 45 \le x \le 45\)及\( - 30 \le y \le 30\);
(2) 如果把視窗的比例尺調整為原來的二分之一,那麼坐標平面上任一直線的斜率也變成原來的二分之一;
(3) 使用預設的視窗時,只能看到\(y = {x^2} - 30x + 190\)與\(y = 5x - 60\)這兩個圖形的一個交點;
(4) 如果把視窗的比例尺調整為原來的五分之一,就可以看到\(y = {x^2} - 30x + 190\)與\(y = 5x - 60\)這兩個圖形所有的交點。
【95乙】


5. 一農夫想用66公尺長之竹籬圍成一長方形菜圃,並在其中一邊正中央留著寬2公尺的出入口,如下圖所示。此農夫所能圍成的最大面積為__________平方公尺。
【95乙】

sa 2 3

6. 設某沙漠地區某一段時間的溫度函數為\(f(t) = - {t^2} + 10t + 11\),其中\(1 \le t \le 10\),則這段時間內該地區的最大溫差為
(1) 9
(2) 16
(3) 20
(4) 25
(5) 36 。
【96學測】


7. 某製造玩具工廠,每次接到訂單都需開模5萬元,製造每一千個玩具材料費需2萬元,由此建立生產的基本成本函數\(f(x) = 5 + 2x\),其中\(x\)以千個為單位。依過去經驗,接到訂單數量與報價總值有如下關係:
數量(千個) 報價總值(萬元)
5
10
15 37.5
70
97.5
以此資料建立一個二次函數的報價總值函數\(g(x)\),以及獲利函數\(h(x) = g(x) - f(x)\)。
(1) 若接到訂單為20千個,試問交貨時,每千個玩具的基本成本平均是多少萬元?
(2分)
(2) 試求報價總值函數\(g(x)\)。(7分)
(3) 根據\(h(x)\),試問訂單數量是多少時,獲利總值最高?(5分)
【98乙】


8. 設\(a < b < c\)。已知實係數多項式函數\(y = f(x)\)的圖形為一開口向上的拋物線,且與\(x\)軸交於\((\,a\;,\;0\,)\)、\((\,b\;,\;0\,)\)兩點;實係數多項式函數\(y = g(x)\)的圖形亦為一開口向上的拋物線,且跟\(x\)軸相交於\((\,b\;,\;0\,)\)、\((\,c\;,\;0\,)\)兩點。請選出\(y = f(x) + g(x)\)的圖形可能的選項。
(1) 水平直線
(2) 和\(x\)軸僅交於一點的直線
(3) 和\(x\)軸無交點的拋物線
(4) 和\(x\)軸僅交於一點的拋物線
(5) 和\(x\)軸交於兩點的拋物線。
【102學測】


9. 坐標平面上,若直線\(y = ax + b\)(其中\(a,\;b\)為實數)與二次函數\(y = {x^2}\)的圖形恰交於一點,亦與二次函數\(y = {(x - 2)^2} + 12\)的圖形恰交於一點,則\(a = \)__________,\(b = \)__________。
【103學測】


10. 若\(a\)為整數,且\(y = - 7{x^2} + ax + \frac{1}{3}\)的圖形與\(x\)軸的兩個交點都介於\(x = - 1\)與\(x = 1\)之間,則滿足這樣條件的\(a\)有__________個。
【104乙】


11. 設\(f(x)\)為二次實係數多項式,已知\(f(x)\)在\(x = 2\)時有最小值1且\(f(3) = 3\)。請問\(f(1)\)之值為下列哪一選項?
(1) 5
(2) 2
(3) 3
(4) 4
(5) 條件不足,無法確定
【105學測】

Ans:
1. (A)(B)(C)
2. (A)(C)(E)
3. (A)(B)(C)(E)
4. (1)(3)
5. 289
6. (4)
7. (1)2.25萬 (2) \(g(x) = - \frac{1}{{10}}{x^2} + 8x\) (3) 30千個
8. (4)(5)
9. 6,\( - 9\)
10. 13
11. (3)

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sgod replied the topic: #603 3 年 3 個月 ago
關於多項式的問題可以在這快速回覆或者到討論區中的「中學數學」版中討論

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