多項式的運算與應用

  1. 設\(f(x)\)為一多項式,若\((x + 1)f(x)\)除以\({x^2} + x + 1\)的餘式為\(5x + 3\),則\(f(x)\)除以\({x^2} + x + 1\)的餘式為__________。
    【87推甄】
  2. 若多項式\({x^3} + 4{x^2} + 5x - 3\)除以\(f(x)\)的商式為\(x + 2\),餘式為\(2x - 1\),則\(f(x) = \)__________。
    【87社】
  3. 若多項式\({x^2} + x + 2\)能整除\({x^5} + {x^4} + {x^3} + p{x^2} + 2x + q\),則\(p = \)__________,\(q = \)__________。
    【94學測】
  4. 設\(f(x) = a{x^6} - b{x^4} + 3x - \sqrt 2 \),其中\(a\),\(b\)為非零實數,則\(f(5) - f( - 5)\)之值為
    (1) \( - 30\)
    (2) 0
    (3) \(2\sqrt 2 \)
    (4) 30
    (5) 無法確定(與\(a\),\(b\)有關) 。
    【96學測】
  5.  設\(f(x) = {x^5} + 6{x^4} - 4{x^3} + 25{x^2} + 30x + 20\),則\(f( - 7) = \)__________。 
    【86推甄】
  6. 設多項式\(f(x)\)除以\({x^2} - 5x + 4\),餘式為\(x + 2\);除以\({x^2} - 5x + 6\),餘式為\(3x + 4\),則多項式\(f(x)\)除以\({x^2} - 4x + 3\),餘式為__________。
    【90推甄】
  7.  若\(f(x) = {x^3} - 2{x^2} - x + 5\),則多項式\(g(x) = f(f(x))\)除以\((x - 2)\)所得的餘式為
    (1) 3
    (2) 5
    (3) 7
    (4) 9
    (5) 11 。
    【92學測】
  8. 設多項式\({(x + 1)^6}\)除以\({x^2} + 1\)的餘式為\(ax + b\),則\(a = \)__________,\(b = \)__________。
    【92學測補】
  9. 學生練習計算三次多項式\(f(x)\)除以一次多項式\(g(x)\)的餘式。已知\(f(x)\)的三次項係數為3,一次項係數為2。甲生在計算時把\(f(x)\)的三次項係數錯看成2(其它係數沒看錯),乙生在計算時把\(f(x)\)的一次項係數錯看成\( - 2\)(其它係數沒看錯)。而甲生和乙生算出來的餘式剛好一樣。試問\(g(x)\)可能等於以下哪些一次式?
    (1) \(x\)
    (2) \(x - 1\)
    (3) \(x - 2\)
    (4) \(x + 1\)
    (5) \(x + 2\) 。
    【95學測】
  10. 多項式\(4({x^2} + 1) + {(x + 1)^2}(x - 3) + {(x - 1)^3}\)等於下列哪一個選項?
    (1) \(x{(x + 1)^2}\)
    (2) \(2x{(x - 1)^2}\)
    (3) \(x(x - 1)(x + 1)\)
    (4) \(2{(x - 1)^2}(x + 1)\)
    (5) \(2x(x - 1)(x + 1)\)。
    【100學測】
  11. 令\(A(\, - 2\;,\;0\,)\)、\(B(\,0\;,\;1\,)\)、\(C(\,2\;,\;1\,)\)、\(D(\,4\;,\;3\,)\)為坐標平面上四點。請選出正確的選項。
    (1) 恰有一直線通過\(A\)、\(B\)、\(C\)三點
    (2) 恰有一圓通過\(A\)、\(B\)、\(D\)三點
    (3) 恰有一個二次多項式函數的圖形通過\(B\)、\(C\)、\(D\)三點
    (4) 恰有一個三次多項式函數的圖形通過\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)四點
    (5) 可找到兩平行直線,其聯集包含\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)四點。
    【102甲】
  12. 設\(a,\;b,\;c\)為實數,且二次多項式\(f(x) = ax(x - 1) + bx(x - 3) + c(x - 1)(x - 3)\)滿足\(f(0) = 6\)、\(f(1) = 2\)、\(f(3) = - 2\)。請問\(a + b + c\)等於下列哪一個選項?
    (1) 0
    (2) \(\frac{2}{3}\)
    (3) 1
    (4) \( - \frac{1}{2}\)
    (5) \( - \frac{4}{3}\)。
    【102乙】
  13.  假設多項式$f(x) = 2 - 2x + 4x(x - 1) + x(x - 1)(x - 2)g(x)$,其中$g(x)$為一實係數多項式。請選出一定正確的選項。
    (1) $f(x)$有$(x - 1)$的因式
    (2) $f(x)$沒有$(x + 1)$的因式
    (3) $f(x)$被$(x - 2)$除的餘式等於6
    (4) 0不是$f(x) = 0$的根
    (5) 通過$\left( {0\;,\;f(0)} \right)$、$\left( {1\;,\;f(1)} \right)$、$\left( {2\;,\;f(2)} \right)$的最低次插值多項式為$2 - 2x + 4x(x - 1)$
    【103乙】
  14.  設\(f(x)\)為一實係數多項式,且\(f(x)\)除以\((x - 1){(x - 2)^2}\)的餘式為\({(x - 2)^2} + g(x)\),其中\(g(x)\)為一次多項式。請選出正確的選項。
    (1) 若知道\(f(1)\)及\(f(2)\),則可求出\(g(x)\)
    (2) \(f(x)\)除以\((x - 2)\)的餘式是\(g(2)\)
    (3) \(f(x)\)除以\((x - 1)\)的餘式是\(g(1)\)
    (4) \(f(x)\)除以\({(x - 2)^2}\)的餘式是\(g(x)\)
    (5) \(f(x)\)除以\((x - 1)(x - 2)\)的餘式是\(x - 2 + g(x)\) 【104乙】

Ans:

  1.  \(2x + 5\)
  2. \({x^2} + 2x - 1\)
  3.  3,8
  4.  (4)
  5. 6
  6. \(5x - 2\)
  7. (5)
  8.  \( - 8\),\(0\)
  9.  (1)(3)(5)
  10.  (5)
  11. (3)(4)(5)
  12.  (2)
  13. (1)(3)(4)(5)
  14. (1)(2)(4)
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sgod replied the topic: #603 4 年 5 個月 ago
關於多項式的問題可以在這快速回覆或者到討論區中的「中學數學」版中討論

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