多項式方程式

1. 設\(1 - i\)為\({x^2} + ax + 3 - i = 0\)的一根,則a的值為何?
(A) \( - 3\)
(B) \( - 2\)
(C) \( - 1 - i\)
(D) 2
(E) 3 。
【87推甄】
2. 設\(k\)為一整數。若方程式\(k{x^2} + 7x + 1 = 0\)有兩個相異實根,且兩根的乘積介於\(\frac{5}{{71}}\)與\(\frac{6}{{71}}\)之間,則\(k = \)__________。
【92學測】
3. 設\(a\)為實數,令\(\alpha \)、\(\beta \)為二次方程式\({x^2} + ax + (a - 2) = 0\)的兩個根,試問當\(a\)為何值時,\(|\alpha - \beta |\)有最小值?答:\(a = \)__________。
【93乙】
4. 某公司委託經銷商銷售定價\(a\)元的產品,雙方言明,若經銷商減價25元賣出,則可得賣價的8%為佣金,若減價125元賣出,則可得賣價的2%為佣金;已知減價25元的佣金是減價125元佣金的5倍,則定價\(a = \)__________。
【99乙】
5. 設\(f(x)\)為實係數三次多項式,且\(f(i) = 0\)(\(i = \sqrt { - 1} \)),則函數\(y = f(x)\)的圖形與\(x\)軸有幾個交點?
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 因\(f(x)\)的不同而異 。
【85推甄】
6. 三次方程式\({x^3} + {x^2} - 2x - 1 = 0\)在下列哪些連續整數之間有根?
(A) \( - 2\)與\( - 1\)之間
(B) \( - 1\)與0之間
(C) 0與1之間
(D) 1與2之間
(E) 2與3之間 。
【88推甄】
7. 設三次方程式\({x^3} - 17{x^2} + 32x - 30 = 0\)有兩複數根\(a + \,i\),\(1 + b\,i\),其中\(a\),\(b\)是不為0的實數。試求它的實根。答:__________。
【89推甄】
8. 方程式\({x^4} - 4{x^3} - 3{x^2} + x + 1 = 0\)在下列哪兩個整數之間有實數根?
(1) \( - 3\)與\( - 2\)之間
(2) \( - 2\)與\( - 1\)之間
(3) \( - 1\)與0之間
(4) 0與1之間
(5) 1與2之間 。
【91乙】
9. 關於三次多項式\(f(x) = {x^3} - 6{x^2} + 1\),試問下列哪些敘述是正確的?
(1) \(f(x) = 0\)有實根落在0與1之間
(2) \(f(x) = 0\)有實根大於1
(3) \(f(x) = 0\)有實根小於\( - 1\)
(4) \(f(x) = 0\)有實根也有虛根
(5) \(f(x) = 10\)有實數解 。
【92學測補】
10. 設\(f(x)\)為三次實係數多項式,且知複數\(1 + \,i\)為\(f(x) = 0\)之一解。試問下列哪些敘述是正確的?
(1) \(f(1 - \,i) = 0\)
(2) \(f(2 + \,i) \ne 0\)
(3) 沒有實數\(x\)滿足\(f(x) = x\)
(4) 沒有實數\(x\)滿足\(f({x^3}) = 0\)
(5)若\(f(0) > 0\)且\(f(2) < 0\),則\(f(4) < 0\) 。
【93學測】
11. 試問方程式\({({x^2} + x + 1)^3} + 1 = 0\)有幾個相異實數解?
(1) 0個
(2) 1個
(3) 2個
(4) 3個
(5) 6個。
【95甲】
12. 設\(f(x)\)為一實係數三次多項式且其最高次項係數為1,已知\(f(1) = 1\),\(f(2) = 2\),\(f(5) = 5\),則\(f(x) = 0\)在下列哪些區間必定有實根?
(1) \((\, - \infty \;,\;0\,)\)
(2) \((\,0\;,\;1\,)\)
(3) \((\,1\;,\;2\,)\)
(4) \((\,2\;,\;5\,)\)
(5) \((\,5\;,\;\infty \,)\) 。
【96學測】
13. 設\(P(x)\)是一個五次實係數多項式。若\(P(x)\)除以\(x - 3\)的餘式是2,且商\(Q(x)\)是一個係數均為正數的多項式,試問下列哪些選項是正確的?
(1) \(P(x) = 0\)與\(Q(x) = 0\)有共同的實根
(2) 3是\(P(x) = 2\)唯一的實根
(3) \(P(x)\)不能被\(x - 4\)整除
(4) \(P(x) = 0\)一定有小於3的實根
(5) \(P(x)\)除以\((x - 3)(x + 3)\)的餘式也是2 。
【96甲】
14. 假設\(a,\;b\)是整數,且\(b \ne 0\)。已知\(c = \frac{a}{3} + \frac{{b\sqrt 2 }}{3}\,i\)是實係數一元二次方程式\({x^2} + kx + 1 = 0\)的一個解。請問下列哪些選項是正確的?
(1) \(\frac{1}{c}\)是上述方程式的另外一個解
(2) \(\frac{1}{c} = \frac{a}{3} - \frac{{b\sqrt 2 }}{3}\,i\)
(3) \(c + \frac{1}{c} = k\)
(4) \(k\)一定是整數
(5) \(a\)一定是奇數 。
【96乙】
15. 設\(f(x)\)為滿足下列條件的最低次實係數多項式:\(f(x)\)最高次項的係數為1,且\(3 - 2\,i\)、\(i\)、5皆為方程式\(f(x) = 0\)的解(其中\({i^2} = - 1\))。則\(f(x)\)之常數項為__________。
【99學測】
16. 設\(a\)、\(b\)為實數。已知坐標平面上拋物線\(y = {x^2} + ax + b\)與\(x\)軸交於\(P\)、\(Q\)兩點,且\(\overline {PQ} = 7\)。若拋物線\(y = {x^2} + ax + (b + 2)\)與\(x\)軸的兩交點為\(R\)、\(S\),則\(\overline {RS} = \)__________。
【99學測】
17. 設\(a,\;b,\;c,\;d\)都是20以內的正奇數,考慮五次整係數多項式函數
\(p(x) = {x^5} + a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + dx + 2\)。
(1) 試問滿足上述條件的五次整係數多項式函數\(p(x)\)共有多少個?(4分)
(2) 試求多項式方程式\(p(x) = {x^5} + 3{x^4} + 5{x^3} + 7{x^2} + 3x + 2\)的所有整數根。(8分) 【99乙】
18. 設\(f(x) = x(x - 1)(x + 1)\),請問下列哪些選項是正確的?
(1) \(f(\frac{1}{{\sqrt 2 }}) > 0\)
(2) \(f(x) = 2\)有整數解
(3) \(f(x) = {x^2} + 1\)有實數解
(4) \(f(x) = x\)有不等於零的有理數解
(5) 若\(f(a) = 2\),則\(f( - a) = 2\)。
【100學測】
19. 設\(f(x) = {x^4} - 5{x^3} + {x^2} + ax + b\)為實係數多項式,且知\(f(i) = 0\)(其中\({i^2} = - 1\))。請問下列哪些選項是多項式方程式\(f(x) = 0\)的根?
(1) \( - i\)
(2) 0
(3) 1
(4) \( - 5\)
(5) 5。
【101學測】
20. 已知實係數多項式方程式\({x^3} + a{x^2} + bx + 8 = 0\)的三根相同,請問\(b\)的值等於下列哪一個選項?
(1) 6
(2) 8
(3) 10
(4) 12
(5) 14。
【101乙】
21. 設\(a,\;b\)均為正整數,而方程式\({x^2} - ax + 15 = 0\)與\({x^2} - bx + 3b - 1 = 0\)有一共同根,且此共同根為質數,則\(b = \)__________。
【101乙】
22. 設\(a,\;b\)為實數且\((a + b\,i)(2 + 6\,i) = - 80\),其中\({i^2} = - 1\)。則\((\,a\;,\;b\,) = \)__________。【102學測】
23. 設\(f(x)\)為實係數二次多項式,且已知\(f(1) > 0\)、\(f(2) < 0\)、\(f(3) > 0\)。令\(g(x) = f(x) + (x - 2)(x - 3)\),請選出正確的選項。
(1) \(y = f(x)\)的圖形是開口向下的拋物線
(2) \(y = g(x)\)的圖形是開口向下的拋物線
(3) \(g(1) > f(1)\)
(4) \(g(x) = 0\)在1與2之間恰有一個實根
(5) 若\(\alpha \)為\(f(x) = 0\)的最大實根,則\(g(\alpha ) > 0\)。
【103學測】
24. 小鎮A距離一筆直道路6公里,並與道路上的小鎮B相距12公里。今欲在此道路上蓋一家超級市場使其與A,B等距,則此超級市場與A的距離須為__________公里。(化為最簡根式)。
【103學測】
25. 三次實係數多項式\(f(x)\)滿足\(f( - 3) > 0\),\(f( - 2) < 0\),\(f( - 1) > 0\),\(f(1) > 0\),\(f(2) = 0\)。請選出正確的選項。
(1) \(f(0) < 0\)
(2) \(f(x) = 0\)恰有一根介於\( - 3\)與\( - 2\)之間
(3) \(f(x) = 0\)恰有一根介於\( - 2\)與0之間
(4) \(f(x) = 0\)在0與1之間有根
(5) \(f(x) = 0\)在\( - 3\)與3之間恰有三個根
【103乙】
26. 設\(f(x)\)是首項係數為1的實係數二次多項式。請選出正確的選項。
(1) 若\(f(2) = 0\),則\(x - 2\)可整除\(f(x)\)
(2) 若\(f(2) = 0\),則\(f(x)\)為整係數多項式
(3) 若\(f(\sqrt 2 ) = 0\),則\(f( - \sqrt 2 ) = 0\)
(4) 若\(f(2i) = 0\),則\(f( - 2i) = 0\)
(5) 若\(f(2i) = 0\),則\(f(x)\)為整係數多項式
【104學測】
27. 設實係數多項式\(f(x)\)滿足\(f(1 + i) = 5\)與\(f(i) = 10\)(其中\(i = \sqrt { - 1} \)),且\(f(x)\)除以\(({x^2} - 2x + 2)({x^2} + 1)\)的餘式為\(g(x)\)。請選出正確的選項。
(1) \(g(1 + i) = 5\)
(2)\(f( - i) = - 10\)
(3) \(g(x)\)除以\({x^2} - 2x + 2\)的餘式是一次多項式
(4) \(g(x)\)除以\({x^2} - 2x + 2\)的商式是\(2x + 1\)
(5) \(g(x) = 2{x^3} - 7{x^2} + 2x + 3\)
【104甲】
28. 設\(a\)、\(b\)、\(c\)皆為正整數,考慮多項式\(f(x) = {x^4} + a{x^3} + b{x^2} + cx + 2\)。請選出正確的選項。
(1) \(f(x) = 0\)無正根
(2) \(f(x) = 0\)一定有實根
(3) \(f(x) = 0\)一定有虛根
(4) \(f(1) + f( - 1)\)的值是偶數
(5) 若\(a + c > b + 3\),則\(f(x) = 0\)有一根介於\( - 1\)與0之間
【105學測】

Ans:
1. (A)
2. 12
3. 2
4. 525
5. (B)
6. (A)(B)(D)
7. 15
8. (4)
9. (1)(2)(5)
10. (1)(2)(5)
11. (1)
12. (2)(4)
13. (3)(4)
14. (1)(2)(5)
15. \( - 65\)
16. \(\sqrt {41} \)
17. (1) 10000 (2) \( - 2\)
18. (3)
19. (1)(2)(5)
20. (4)
21. 12
22. \((\, - 4\;,\;12\,)\)
23. (3)(4)
24. \(4\sqrt 3 \)
25. (2)(3)(5)
26. (1)(4)(5)
27. (1)(4)
28. (1)(4)(5)

Log in to comment

sgod 的個人頭像
sgod replied the topic: #603 4 年 5 個月 ago
關於多項式的問題可以在這快速回覆或者到討論區中的「中學數學」版中討論

Share this post

Submit to FacebookSubmit to Google PlusSubmit to Twitter