簡單的多項式函數與圖形

1. 設\(a\)與\(b\)為實數,且二次函數\(f(x) = a{(x - 1)^2} + b\)滿足\(f(4) > 0\),\(f(5) < 0\)。試問下列何者為真?
(A) \(f(0) > 0\)
(B) \(f( - 1) > 0\)
(C) \(f( - 2) > 0\)
(D) \(f( - 3) > 0\)
(E) \(f( - 4) > 0\) 。
【87推甄】


2. 設\(a\),\(b\),\(c\)為實數。若二次函數\(f(x) = a{x^2} + bx + c\)的圖形通過\((\,0\;,\; - 1\,)\)且與\(x\)軸相切,則下列選項何者為真?
(A) \(a < 0\)
(B) \(b > 0\)
(C) \(c = - 1\)
(D) \({b^2} + 4ac = 0\)
(E) \(a + b + c \le 0\) 。
【90推甄】


3. 設\(a\),\(b\),\(c\)為實數,且二次函數\(f(x) = a{x^2} + bx + c\)滿足\(f( - 1) = - 3\),\(f(3) = - 1\),\({b^2} - 4ac < 0\),則
(A) \(a < 0\)
(B) \(c < 0\)
(C) \(f(0) < f(1)\)
(D) \(f(4) < f(5)\)
(E) \(f( - 3) < f( - 2)\) 。
【90社】


4. 個函數繪圖軟體的視窗預設的坐標平面之可視範圍為\( - 15 \le x \le 15\)及\( - 10 \le y \le 10\),如下圖所示:

sa 2 1

當我們把視窗的比例尺調整為原來的二分之一時,視窗的可視範圍變成\( - 30 \le x \le 30\)及\( - 20 \le y \le 20\),如下圖所示:

sa 2 2

試問以下哪些選項是正確的?
(1) 如果把視窗的比例尺調整為原來的三分之一,那麼視窗的可視範圍變成 \( - 45 \le x \le 45\)及\( - 30 \le y \le 30\);
(2) 如果把視窗的比例尺調整為原來的二分之一,那麼坐標平面上任一直線的斜率也變成原來的二分之一;
(3) 使用預設的視窗時,只能看到\(y = {x^2} - 30x + 190\)與\(y = 5x - 60\)這兩個圖形的一個交點;
(4) 如果把視窗的比例尺調整為原來的五分之一,就可以看到\(y = {x^2} - 30x + 190\)與\(y = 5x - 60\)這兩個圖形所有的交點。
【95乙】


5. 一農夫想用66公尺長之竹籬圍成一長方形菜圃,並在其中一邊正中央留著寬2公尺的出入口,如下圖所示。此農夫所能圍成的最大面積為__________平方公尺。
【95乙】

sa 2 3

6. 設某沙漠地區某一段時間的溫度函數為\(f(t) = - {t^2} + 10t + 11\),其中\(1 \le t \le 10\),則這段時間內該地區的最大溫差為
(1) 9
(2) 16
(3) 20
(4) 25
(5) 36 。
【96學測】


7. 某製造玩具工廠,每次接到訂單都需開模5萬元,製造每一千個玩具材料費需2萬元,由此建立生產的基本成本函數\(f(x) = 5 + 2x\),其中\(x\)以千個為單位。依過去經驗,接到訂單數量與報價總值有如下關係:
數量(千個) 報價總值(萬元)
5
10
15 37.5
70
97.5
以此資料建立一個二次函數的報價總值函數\(g(x)\),以及獲利函數\(h(x) = g(x) - f(x)\)。
(1) 若接到訂單為20千個,試問交貨時,每千個玩具的基本成本平均是多少萬元?
(2分)
(2) 試求報價總值函數\(g(x)\)。(7分)
(3) 根據\(h(x)\),試問訂單數量是多少時,獲利總值最高?(5分)
【98乙】


8. 設\(a < b < c\)。已知實係數多項式函數\(y = f(x)\)的圖形為一開口向上的拋物線,且與\(x\)軸交於\((\,a\;,\;0\,)\)、\((\,b\;,\;0\,)\)兩點;實係數多項式函數\(y = g(x)\)的圖形亦為一開口向上的拋物線,且跟\(x\)軸相交於\((\,b\;,\;0\,)\)、\((\,c\;,\;0\,)\)兩點。請選出\(y = f(x) + g(x)\)的圖形可能的選項。
(1) 水平直線
(2) 和\(x\)軸僅交於一點的直線
(3) 和\(x\)軸無交點的拋物線
(4) 和\(x\)軸僅交於一點的拋物線
(5) 和\(x\)軸交於兩點的拋物線。
【102學測】


9. 坐標平面上,若直線\(y = ax + b\)(其中\(a,\;b\)為實數)與二次函數\(y = {x^2}\)的圖形恰交於一點,亦與二次函數\(y = {(x - 2)^2} + 12\)的圖形恰交於一點,則\(a = \)__________,\(b = \)__________。
【103學測】


10. 若\(a\)為整數,且\(y = - 7{x^2} + ax + \frac{1}{3}\)的圖形與\(x\)軸的兩個交點都介於\(x = - 1\)與\(x = 1\)之間,則滿足這樣條件的\(a\)有__________個。
【104乙】


11. 設\(f(x)\)為二次實係數多項式,已知\(f(x)\)在\(x = 2\)時有最小值1且\(f(3) = 3\)。請問\(f(1)\)之值為下列哪一選項?
(1) 5
(2) 2
(3) 3
(4) 4
(5) 條件不足,無法確定
【105學測】

Ans:
1. (A)(B)(C)
2. (A)(C)(E)
3. (A)(B)(C)(E)
4. (1)(3)
5. 289
6. (4)
7. (1)2.25萬 (2) \(g(x) = - \frac{1}{{10}}{x^2} + 8x\) (3) 30千個
8. (4)(5)
9. 6,\( - 9\)
10. 13
11. (3)


多項式的運算與應用

  1. 設\(f(x)\)為一多項式,若\((x + 1)f(x)\)除以\({x^2} + x + 1\)的餘式為\(5x + 3\),則\(f(x)\)除以\({x^2} + x + 1\)的餘式為__________。
    【87推甄】
  2. 若多項式\({x^3} + 4{x^2} + 5x - 3\)除以\(f(x)\)的商式為\(x + 2\),餘式為\(2x - 1\),則\(f(x) = \)__________。
    【87社】
  3. 若多項式\({x^2} + x + 2\)能整除\({x^5} + {x^4} + {x^3} + p{x^2} + 2x + q\),則\(p = \)__________,\(q = \)__________。
    【94學測】
  4. 設\(f(x) = a{x^6} - b{x^4} + 3x - \sqrt 2 \),其中\(a\),\(b\)為非零實數,則\(f(5) - f( - 5)\)之值為
    (1) \( - 30\)
    (2) 0
    (3) \(2\sqrt 2 \)
    (4) 30
    (5) 無法確定(與\(a\),\(b\)有關) 。
    【96學測】
  5.  設\(f(x) = {x^5} + 6{x^4} - 4{x^3} + 25{x^2} + 30x + 20\),則\(f( - 7) = \)__________。 
    【86推甄】
  6. 設多項式\(f(x)\)除以\({x^2} - 5x + 4\),餘式為\(x + 2\);除以\({x^2} - 5x + 6\),餘式為\(3x + 4\),則多項式\(f(x)\)除以\({x^2} - 4x + 3\),餘式為__________。
    【90推甄】
  7.  若\(f(x) = {x^3} - 2{x^2} - x + 5\),則多項式\(g(x) = f(f(x))\)除以\((x - 2)\)所得的餘式為
    (1) 3
    (2) 5
    (3) 7
    (4) 9
    (5) 11 。
    【92學測】
  8. 設多項式\({(x + 1)^6}\)除以\({x^2} + 1\)的餘式為\(ax + b\),則\(a = \)__________,\(b = \)__________。
    【92學測補】
  9. 學生練習計算三次多項式\(f(x)\)除以一次多項式\(g(x)\)的餘式。已知\(f(x)\)的三次項係數為3,一次項係數為2。甲生在計算時把\(f(x)\)的三次項係數錯看成2(其它係數沒看錯),乙生在計算時把\(f(x)\)的一次項係數錯看成\( - 2\)(其它係數沒看錯)。而甲生和乙生算出來的餘式剛好一樣。試問\(g(x)\)可能等於以下哪些一次式?
    (1) \(x\)
    (2) \(x - 1\)
    (3) \(x - 2\)
    (4) \(x + 1\)
    (5) \(x + 2\) 。
    【95學測】
  10. 多項式\(4({x^2} + 1) + {(x + 1)^2}(x - 3) + {(x - 1)^3}\)等於下列哪一個選項?
    (1) \(x{(x + 1)^2}\)
    (2) \(2x{(x - 1)^2}\)
    (3) \(x(x - 1)(x + 1)\)
    (4) \(2{(x - 1)^2}(x + 1)\)
    (5) \(2x(x - 1)(x + 1)\)。
    【100學測】
  11. 令\(A(\, - 2\;,\;0\,)\)、\(B(\,0\;,\;1\,)\)、\(C(\,2\;,\;1\,)\)、\(D(\,4\;,\;3\,)\)為坐標平面上四點。請選出正確的選項。
    (1) 恰有一直線通過\(A\)、\(B\)、\(C\)三點
    (2) 恰有一圓通過\(A\)、\(B\)、\(D\)三點
    (3) 恰有一個二次多項式函數的圖形通過\(B\)、\(C\)、\(D\)三點
    (4) 恰有一個三次多項式函數的圖形通過\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)四點
    (5) 可找到兩平行直線,其聯集包含\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)四點。
    【102甲】
  12. 設\(a,\;b,\;c\)為實數,且二次多項式\(f(x) = ax(x - 1) + bx(x - 3) + c(x - 1)(x - 3)\)滿足\(f(0) = 6\)、\(f(1) = 2\)、\(f(3) = - 2\)。請問\(a + b + c\)等於下列哪一個選項?
    (1) 0
    (2) \(\frac{2}{3}\)
    (3) 1
    (4) \( - \frac{1}{2}\)
    (5) \( - \frac{4}{3}\)。
    【102乙】
  13.  假設多項式$f(x) = 2 - 2x + 4x(x - 1) + x(x - 1)(x - 2)g(x)$,其中$g(x)$為一實係數多項式。請選出一定正確的選項。
    (1) $f(x)$有$(x - 1)$的因式
    (2) $f(x)$沒有$(x + 1)$的因式
    (3) $f(x)$被$(x - 2)$除的餘式等於6
    (4) 0不是$f(x) = 0$的根
    (5) 通過$\left( {0\;,\;f(0)} \right)$、$\left( {1\;,\;f(1)} \right)$、$\left( {2\;,\;f(2)} \right)$的最低次插值多項式為$2 - 2x + 4x(x - 1)$
    【103乙】
  14.  設\(f(x)\)為一實係數多項式,且\(f(x)\)除以\((x - 1){(x - 2)^2}\)的餘式為\({(x - 2)^2} + g(x)\),其中\(g(x)\)為一次多項式。請選出正確的選項。
    (1) 若知道\(f(1)\)及\(f(2)\),則可求出\(g(x)\)
    (2) \(f(x)\)除以\((x - 2)\)的餘式是\(g(2)\)
    (3) \(f(x)\)除以\((x - 1)\)的餘式是\(g(1)\)
    (4) \(f(x)\)除以\({(x - 2)^2}\)的餘式是\(g(x)\)
    (5) \(f(x)\)除以\((x - 1)(x - 2)\)的餘式是\(x - 2 + g(x)\) 【104乙】

Ans:

  1.  \(2x + 5\)
  2. \({x^2} + 2x - 1\)
  3.  3,8
  4.  (4)
  5. 6
  6. \(5x - 2\)
  7. (5)
  8.  \( - 8\),\(0\)
  9.  (1)(3)(5)
  10.  (5)
  11. (3)(4)(5)
  12.  (2)
  13. (1)(3)(4)(5)
  14. (1)(2)(4)

 

多項式方程式

1. 設\(1 - i\)為\({x^2} + ax + 3 - i = 0\)的一根,則a的值為何?
(A) \( - 3\)
(B) \( - 2\)
(C) \( - 1 - i\)
(D) 2
(E) 3 。
【87推甄】
2. 設\(k\)為一整數。若方程式\(k{x^2} + 7x + 1 = 0\)有兩個相異實根,且兩根的乘積介於\(\frac{5}{{71}}\)與\(\frac{6}{{71}}\)之間,則\(k = \)__________。
【92學測】
3. 設\(a\)為實數,令\(\alpha \)、\(\beta \)為二次方程式\({x^2} + ax + (a - 2) = 0\)的兩個根,試問當\(a\)為何值時,\(|\alpha - \beta |\)有最小值?答:\(a = \)__________。
【93乙】
4. 某公司委託經銷商銷售定價\(a\)元的產品,雙方言明,若經銷商減價25元賣出,則可得賣價的8%為佣金,若減價125元賣出,則可得賣價的2%為佣金;已知減價25元的佣金是減價125元佣金的5倍,則定價\(a = \)__________。
【99乙】
5. 設\(f(x)\)為實係數三次多項式,且\(f(i) = 0\)(\(i = \sqrt { - 1} \)),則函數\(y = f(x)\)的圖形與\(x\)軸有幾個交點?
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 因\(f(x)\)的不同而異 。
【85推甄】
6. 三次方程式\({x^3} + {x^2} - 2x - 1 = 0\)在下列哪些連續整數之間有根?
(A) \( - 2\)與\( - 1\)之間
(B) \( - 1\)與0之間
(C) 0與1之間
(D) 1與2之間
(E) 2與3之間 。
【88推甄】
7. 設三次方程式\({x^3} - 17{x^2} + 32x - 30 = 0\)有兩複數根\(a + \,i\),\(1 + b\,i\),其中\(a\),\(b\)是不為0的實數。試求它的實根。答:__________。
【89推甄】
8. 方程式\({x^4} - 4{x^3} - 3{x^2} + x + 1 = 0\)在下列哪兩個整數之間有實數根?
(1) \( - 3\)與\( - 2\)之間
(2) \( - 2\)與\( - 1\)之間
(3) \( - 1\)與0之間
(4) 0與1之間
(5) 1與2之間 。
【91乙】
9. 關於三次多項式\(f(x) = {x^3} - 6{x^2} + 1\),試問下列哪些敘述是正確的?
(1) \(f(x) = 0\)有實根落在0與1之間
(2) \(f(x) = 0\)有實根大於1
(3) \(f(x) = 0\)有實根小於\( - 1\)
(4) \(f(x) = 0\)有實根也有虛根
(5) \(f(x) = 10\)有實數解 。
【92學測補】
10. 設\(f(x)\)為三次實係數多項式,且知複數\(1 + \,i\)為\(f(x) = 0\)之一解。試問下列哪些敘述是正確的?
(1) \(f(1 - \,i) = 0\)
(2) \(f(2 + \,i) \ne 0\)
(3) 沒有實數\(x\)滿足\(f(x) = x\)
(4) 沒有實數\(x\)滿足\(f({x^3}) = 0\)
(5)若\(f(0) > 0\)且\(f(2) < 0\),則\(f(4) < 0\) 。
【93學測】
11. 試問方程式\({({x^2} + x + 1)^3} + 1 = 0\)有幾個相異實數解?
(1) 0個
(2) 1個
(3) 2個
(4) 3個
(5) 6個。
【95甲】
12. 設\(f(x)\)為一實係數三次多項式且其最高次項係數為1,已知\(f(1) = 1\),\(f(2) = 2\),\(f(5) = 5\),則\(f(x) = 0\)在下列哪些區間必定有實根?
(1) \((\, - \infty \;,\;0\,)\)
(2) \((\,0\;,\;1\,)\)
(3) \((\,1\;,\;2\,)\)
(4) \((\,2\;,\;5\,)\)
(5) \((\,5\;,\;\infty \,)\) 。
【96學測】
13. 設\(P(x)\)是一個五次實係數多項式。若\(P(x)\)除以\(x - 3\)的餘式是2,且商\(Q(x)\)是一個係數均為正數的多項式,試問下列哪些選項是正確的?
(1) \(P(x) = 0\)與\(Q(x) = 0\)有共同的實根
(2) 3是\(P(x) = 2\)唯一的實根
(3) \(P(x)\)不能被\(x - 4\)整除
(4) \(P(x) = 0\)一定有小於3的實根
(5) \(P(x)\)除以\((x - 3)(x + 3)\)的餘式也是2 。
【96甲】
14. 假設\(a,\;b\)是整數,且\(b \ne 0\)。已知\(c = \frac{a}{3} + \frac{{b\sqrt 2 }}{3}\,i\)是實係數一元二次方程式\({x^2} + kx + 1 = 0\)的一個解。請問下列哪些選項是正確的?
(1) \(\frac{1}{c}\)是上述方程式的另外一個解
(2) \(\frac{1}{c} = \frac{a}{3} - \frac{{b\sqrt 2 }}{3}\,i\)
(3) \(c + \frac{1}{c} = k\)
(4) \(k\)一定是整數
(5) \(a\)一定是奇數 。
【96乙】
15. 設\(f(x)\)為滿足下列條件的最低次實係數多項式:\(f(x)\)最高次項的係數為1,且\(3 - 2\,i\)、\(i\)、5皆為方程式\(f(x) = 0\)的解(其中\({i^2} = - 1\))。則\(f(x)\)之常數項為__________。
【99學測】
16. 設\(a\)、\(b\)為實數。已知坐標平面上拋物線\(y = {x^2} + ax + b\)與\(x\)軸交於\(P\)、\(Q\)兩點,且\(\overline {PQ} = 7\)。若拋物線\(y = {x^2} + ax + (b + 2)\)與\(x\)軸的兩交點為\(R\)、\(S\),則\(\overline {RS} = \)__________。
【99學測】
17. 設\(a,\;b,\;c,\;d\)都是20以內的正奇數,考慮五次整係數多項式函數
\(p(x) = {x^5} + a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + dx + 2\)。
(1) 試問滿足上述條件的五次整係數多項式函數\(p(x)\)共有多少個?(4分)
(2) 試求多項式方程式\(p(x) = {x^5} + 3{x^4} + 5{x^3} + 7{x^2} + 3x + 2\)的所有整數根。(8分) 【99乙】
18. 設\(f(x) = x(x - 1)(x + 1)\),請問下列哪些選項是正確的?
(1) \(f(\frac{1}{{\sqrt 2 }}) > 0\)
(2) \(f(x) = 2\)有整數解
(3) \(f(x) = {x^2} + 1\)有實數解
(4) \(f(x) = x\)有不等於零的有理數解
(5) 若\(f(a) = 2\),則\(f( - a) = 2\)。
【100學測】
19. 設\(f(x) = {x^4} - 5{x^3} + {x^2} + ax + b\)為實係數多項式,且知\(f(i) = 0\)(其中\({i^2} = - 1\))。請問下列哪些選項是多項式方程式\(f(x) = 0\)的根?
(1) \( - i\)
(2) 0
(3) 1
(4) \( - 5\)
(5) 5。
【101學測】
20. 已知實係數多項式方程式\({x^3} + a{x^2} + bx + 8 = 0\)的三根相同,請問\(b\)的值等於下列哪一個選項?
(1) 6
(2) 8
(3) 10
(4) 12
(5) 14。
【101乙】
21. 設\(a,\;b\)均為正整數,而方程式\({x^2} - ax + 15 = 0\)與\({x^2} - bx + 3b - 1 = 0\)有一共同根,且此共同根為質數,則\(b = \)__________。
【101乙】
22. 設\(a,\;b\)為實數且\((a + b\,i)(2 + 6\,i) = - 80\),其中\({i^2} = - 1\)。則\((\,a\;,\;b\,) = \)__________。【102學測】
23. 設\(f(x)\)為實係數二次多項式,且已知\(f(1) > 0\)、\(f(2) < 0\)、\(f(3) > 0\)。令\(g(x) = f(x) + (x - 2)(x - 3)\),請選出正確的選項。
(1) \(y = f(x)\)的圖形是開口向下的拋物線
(2) \(y = g(x)\)的圖形是開口向下的拋物線
(3) \(g(1) > f(1)\)
(4) \(g(x) = 0\)在1與2之間恰有一個實根
(5) 若\(\alpha \)為\(f(x) = 0\)的最大實根,則\(g(\alpha ) > 0\)。
【103學測】
24. 小鎮A距離一筆直道路6公里,並與道路上的小鎮B相距12公里。今欲在此道路上蓋一家超級市場使其與A,B等距,則此超級市場與A的距離須為__________公里。(化為最簡根式)。
【103學測】
25. 三次實係數多項式\(f(x)\)滿足\(f( - 3) > 0\),\(f( - 2) < 0\),\(f( - 1) > 0\),\(f(1) > 0\),\(f(2) = 0\)。請選出正確的選項。
(1) \(f(0) < 0\)
(2) \(f(x) = 0\)恰有一根介於\( - 3\)與\( - 2\)之間
(3) \(f(x) = 0\)恰有一根介於\( - 2\)與0之間
(4) \(f(x) = 0\)在0與1之間有根
(5) \(f(x) = 0\)在\( - 3\)與3之間恰有三個根
【103乙】
26. 設\(f(x)\)是首項係數為1的實係數二次多項式。請選出正確的選項。
(1) 若\(f(2) = 0\),則\(x - 2\)可整除\(f(x)\)
(2) 若\(f(2) = 0\),則\(f(x)\)為整係數多項式
(3) 若\(f(\sqrt 2 ) = 0\),則\(f( - \sqrt 2 ) = 0\)
(4) 若\(f(2i) = 0\),則\(f( - 2i) = 0\)
(5) 若\(f(2i) = 0\),則\(f(x)\)為整係數多項式
【104學測】
27. 設實係數多項式\(f(x)\)滿足\(f(1 + i) = 5\)與\(f(i) = 10\)(其中\(i = \sqrt { - 1} \)),且\(f(x)\)除以\(({x^2} - 2x + 2)({x^2} + 1)\)的餘式為\(g(x)\)。請選出正確的選項。
(1) \(g(1 + i) = 5\)
(2)\(f( - i) = - 10\)
(3) \(g(x)\)除以\({x^2} - 2x + 2\)的餘式是一次多項式
(4) \(g(x)\)除以\({x^2} - 2x + 2\)的商式是\(2x + 1\)
(5) \(g(x) = 2{x^3} - 7{x^2} + 2x + 3\)
【104甲】
28. 設\(a\)、\(b\)、\(c\)皆為正整數,考慮多項式\(f(x) = {x^4} + a{x^3} + b{x^2} + cx + 2\)。請選出正確的選項。
(1) \(f(x) = 0\)無正根
(2) \(f(x) = 0\)一定有實根
(3) \(f(x) = 0\)一定有虛根
(4) \(f(1) + f( - 1)\)的值是偶數
(5) 若\(a + c > b + 3\),則\(f(x) = 0\)有一根介於\( - 1\)與0之間
【105學測】

Ans:
1. (A)
2. 12
3. 2
4. 525
5. (B)
6. (A)(B)(D)
7. 15
8. (4)
9. (1)(2)(5)
10. (1)(2)(5)
11. (1)
12. (2)(4)
13. (3)(4)
14. (1)(2)(5)
15. \( - 65\)
16. \(\sqrt {41} \)
17. (1) 10000 (2) \( - 2\)
18. (3)
19. (1)(2)(5)
20. (4)
21. 12
22. \((\, - 4\;,\;12\,)\)
23. (3)(4)
24. \(4\sqrt 3 \)
25. (2)(3)(5)
26. (1)(4)(5)
27. (1)(4)
28. (1)(4)(5)


 

多項式不等式

1. 設\(f(x)\)為二次函數,且不等式\(f(x) > 0\)之解為\( - 2 < x < 4\),則\(f(2x) < 0\)之解為
(A) \( - 1 < x < 2\)
(B) \(x < - 1\)或\(x > 2\)
(C) \(x < - 2\)或\(x > 4\)
(D) \( - 4 < x < 8\)
(E) \(x < - 4\)或\(x > 8\) 。
【86推甄】

2. 試問不等式\(({x^2} - 4x + 2)(2x - 5)(2x - 37) \le 0\)有多少個整數解?答:__________。
【92學測補】

3. 以\(O\)表坐標平面的原點。給定一點\(A(\,4\;,\;3\,)\),而點\(B(\,x\;,\;0\,)\)在\(x\)軸上變動。若\(l(x)\)表\(\overline {AB} \)長,則\(\Delta OAB\)中兩邊長比值\(\frac{x}{{l(x)}}\)的最大值為__________。(化成最簡分數)
【95甲】

4. 給定二次多項式\(f(x) = {x^2} + ax + b\),已知多項式\({x^3} + 3{x^2} + 4x + 2\)除以\(f(x)\)其餘式為\(3x + 2\),多項式\({x^3} + {x^2} - x - 1\)除以\(f(x)\)其餘式為\(4x + 1\),請選出正確的選項。
(1) \(a = 3\)
(2) \(b = - 1\)
(3) 方程式\(f(x) = 0\)無實根
(4) \(f(x)\)的極小值為\(\frac{5}{4}\)
(5) \(f(x)\)除以\((x + 3)\)其餘式為1 。
【97乙】

5. 請問對於下列哪些選項,可以找到實數\(a\),使得選項裡面所有的數都同時滿足一元二次不等式\({x^2} + (2 - a)x - 2a < 0\)?
(1) \( - 1,\;0\)
(2) \(1,\;2,\;3,\; \cdots \cdots \)(所有的正整數)
(3) \( - 3,\; - 4,\; - 5,\; \cdots \cdots \)(所有小於\( - 2\)的整數)
(4) \(97,\;2008\)
(5) \( - \pi ,\;\pi \)(\(\pi \)是圓周率) 。
【97乙】

6. 關於多項式不等式:\({x^2}(x + 5)(x + 1)(x - 4)(x - 7) < (2x - 3)(x + 5)(x + 1)(x - 4)(x - 7)\)
下列哪些選項是它的一個解?
(1) \( - 2\pi \)
(2) \( - \pi \)
(3) \(\pi \)
(4) \(2\pi \)
【99乙】

7. 設二次實係數多項式函數\(f(x) = a{x^2} + 2ax + b\)在區間\( - 1 \le x \le 1\)上的最大值為7、最小值為3。試求數對\((\,a\;,\;b\,)\)的所有可能值。(13分)
【101乙】

Ans:

1. (B)

2. 17

3. \(\frac{5}{3}\)

4. (1)(5)

5. (1)(4)

6. (2)(4)

7. \((\,1\;,\;4\,)\)或\((\, - 1\;,\;6\,)\)

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sgod replied the topic: #603 4 年 1 個月 ago
關於多項式的問題可以在這快速回覆或者到討論區中的「中學數學」版中討論

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