對數
1. 設\(a > b > 1000\)。令\(p = \sqrt {{{\log }_7}a \cdot {{\log }_7}b} \),\(q = \frac{1}{2}({\log _7}a + {\log _7}b)\),\(r = {\log _7}(\frac{{a + b}}{2})\),則下列敘述何者正確?
(1) \(q = {\log _7}\sqrt {ab} \)
(2) \(q > r\)
(3) \(r < p < q\)
(4) \(p < q < r\)
(5) \(q < p < r\) 。
【85推甄】


2. 以下各數何者為正?
(1) \(\sqrt 2 - \sqrt(3){2}\)
(2) \({\log _2}3 - 1\)
(3) \({\log _3}2 - 1\)
(4) \({\log _{\frac{1}{2}}}3\)
(5) \({\log _{\frac{1}{3}}}\frac{1}{2}\) 。
【92學測】


3. 試問有多少個正整數\(n\)滿足\(100 \le {(1.5)^n} \le 500\)?
(1) 3個
(2) 4個
(3) 5個
(4) 6個
(5) 7個 。
【92學測補】


4. 設\(a\),\(b\),\(c\)為正整數,若\(a{\log _{520}}2 + b{\log _{520}}5 + c{\log _{520}}13 = 3\),則\(a + b + c = \)__________。
【93學測】


5. 陳老師證明了\({x^2} = {2^x}\)有兩個正實數解及一個負實數解後,進一步說,此方程式兩邊各取\({\log _2}\),得\(2{\log _2}x = x\);陳老師要同學討論此新的方程式有多少實數解?
小英說:恰有三個實數解;
小明說:恰有兩個正實數解;
小華說:最多只有兩個實數解;
小毛說:仍然有兩個正實數解及一個負實數解;
小芬說:沒有實數解。
請問哪些人說的話,可以成立?
(1) 小英
(2) 小明
(3) 小華
(4) 小毛
(5)小芬 。
【92乙】


6. 根據對數表,\(\log 2\)的近似值是0.3010,\(\log 3\)的近似值是0.4771。下列選項有哪些是正確的?
(1) \({10^9} > {9^{10}}\)
(2) \({10^{12}} < {12^{10}}\)
(3) \({10^{11}} > {11^{10}}\)
(4) 方程式\({10^x} = {x^{10}}\)有一負根 。
【93甲】


7. 設\(a\),\(b\)為正實數,已知\({\log _7}a = 11\),\({\log _7}b = 13\);試問\({\log _7}(a + b)\)之值最接近下列哪個選項?
(1) 12
(2) 13
(3) 14
(4) 23
(5) 24 。
【94學測】


8. 在坐標平面上,設\(P\)為\(y = 2 + x - {x^2}\)圖形上的一點。若\(P\)的\(x\)坐標為\({\log _3}10\),則\(P\)點的位置在
(1) 第一象限
(2) 第二象限
(3) 第三象限
(4) 第四象限
(5) 坐標軸上 。
【95甲】


9. 設\(a\)為大於1的實數,考慮函數\(f(x) = {a^x}\)與\(g(x) = {\log _a}x\),試問下列哪些選項是正確的?
(1) 若\(f(3) = 6\),則\(g(36) = 6\)
(2) \(\frac{{f(238)}}{{f(219)}} = \frac{{f(38)}}{{f(19)}}\)
(3) \(g(238) - g(219) = g(38) - g(19)\)
(4) 若\(P\),\(Q\)為\(y = g(x)\)的圖形上兩相異點,則直線\(PQ\)之斜率必為正數
(5) 若直線\(y = 5x\)與\(y = f(x)\)的圖形有兩個交點,則直線\(y = \frac{1}{5}x\)與\(y = g(x)\)的圖形也有兩個交點 。
【96學測】


10. 設實數\(x\)滿足\(0 < x < 1\),且\({\log _x}4 - {\log _2}x = 1\),則\(x = \)__________。(化成最簡分數)
【96學測】


11. 設\({a_1},\;{a_2},\;{a_3},\; \cdots \;,\;{a_{10}}\)是一等比數列,其首項\({a_1} > 1\)且公比\(r > 1\)。坐標平面上有一質點\(M\)自\((\,0\;,\;0\,)\)出發,依以下規則連續移動十次:第一次移動往右\(\log {a_1}\)單位,第二次移動向上\(\log {a_2}\)單位,第三次移動往右\(\log {a_3}\)單位,第四次移動向上\(\log {a_4}\)單位,依此類推直到第十次;即第\(2k - 1\)次的移動是往右\(\log {a_{2k - 1}}\)單位,接著第\(2k\)次的移動是向上\({\log _{2k}}\)單位。已知經過這十次的移動後,該質點\(M\)停在點\((\,5 + 5\log 2\;,\;5 + \frac{{15}}{2}\log 2\,)\)的位置上,試問首項\({a_1}\)與公比\(r\)組成的序對\((\,{a_1}\;,\;r\,)\)為以下哪一選項?
(1) \((\,\sqrt 2 \;,\;\sqrt 2 \,)\)
(2) \((\,2\sqrt 2 \;,\;\sqrt 5 \,)\)
(3) \((\,2\;,\;\sqrt 2 \,)\)
(4) \((\,5\;,\;\sqrt 5 \,)\)
(5) \((\,5\;,\;\sqrt 2 \,)\) 。
【96甲】


12. 若\((\,a\;,\;b\,)\)是對數函數\(y = \log x\)圖形上一點,則下列哪些選項中的點也在該對數函數的圖形上?
(1) \((\,1\;,\;0\,)\)
(2) \((\,10a\;,\;b + 1\,)\)
(3) \((\,2a\;,\;2b\,)\)
(4) \((\,\frac{1}{a}\;,\;1 - b\,)\)
(5) \((\,{a^2}\;,\;2b\,)\)。
【98乙】


13. 設\(a\)為一正實數且滿足\({a^{\sqrt 3 }} = \sqrt 3 \)。試問下列哪些選項是正確的?
(1) \({a^3} = 3\)
(2) \({\log _{\sqrt 3 }}a = \sqrt 3 \)
(3) \(a > 1\)
(4) \(a < {3^{\frac{1}{4}}}\)。
【99甲】


14. 關於指數函數或對數函數圖形的敘述,下列哪些選項是正確的?
(1) \(y = {2010^x}\)的圖形恆在\(y = {99^x}\)的上方
(2) \(y = {\log _{99}}x\)與\(y = {99^x}\)兩函數的圖形對稱於直線\(y = x\)
(3) \(y = {\log _{99}}x\)與\(y = {\log _{\frac{1}{{99}}}}x\)兩函數的圖形對稱於\(x\)軸
(4) \(y = {\log _{2010}}({x^2} - 10x + 33)\)的圖形與\(x\)軸相交。
【99乙】


15. 考慮坐標平面上滿足\({2^x} = {5^y}\)的點\(P(\,x\;,\;y\,)\),試問下列哪一個選項是錯誤的?
(1) \((\,0\;,\;0\,)\)是一個可能的\(P\)點
(2) \((\,\log 5\;,\;\log 2\,)\)是一個可能的\(P\)點
(3) 點\(P(\,x\;,\;y\,)\)滿足\(xy \ge 0\)
(4) 所有可能的點\(P(\,x\;,\;y\,)\)構成的圖形為一直線
(5) 點\(P\)的\(x,\;y\)坐標可以同時為正整數。
【100甲

 

16. 請問下面哪一個選項是正確的?
(1) \({3^7} < {7^3}\)
(2) \({5^{10}} < {10^5}\)
(3) \({2^{100}} < {10^{30}}\)
(4) \({\log _2}3 = 1.5\)
(5) \({\log _2}11 < 3.5\)。
【100學測】


17. 試求所有滿足\(\log ({x^3} - 12{x^2} + 41x - 20) \ge 1\)的\(x\)值之範圍。(6分)
【100甲】


18. 設\((\,\pi \;,\;r\,)\)為函數\(y = {\log _2}x\)圖形上之一點,其中\(\pi \)為圓周率,\(r\)為一實數。請問下列哪些選項是正確的?
(1) \((\,r\;,\;\pi \,)\)為函數\(y = {2^x}\)圖形上之一點
(2) \((\, - r\;,\;\pi \,)\)為函數\(y = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}\)圖形上之一點
(3) \((\,\frac{1}{\pi }\;,\;r\,)\)為函數\(y = {\log _{{\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle 1$}\lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle 2$}}}}x\)圖形上之一點
(4) \((\,r\;,\;2\pi \,)\)為函數\(y = {4^x}\)圖形上之一點。
【100乙】


19. 若正實數\(x,\;y\)滿足\({\log _{10}}x = 2.8\),\({\log _{10}}y = 5.6\),則\({\log _{10}}({x^2} + y)\)最接近下列哪一個選項的值?
(1) 2.8
(2) 5.6
(3) 5.9
(4) 8.4
(5) 11.2。
【101學測】


20. 設\(0 < x < 1\)。請選出正確的選項。
(1) \({x^2} < \sqrt x < x\)
(2) \({\log _{10}}({x^2}) < {\log _{10}}x < {\log _{10}}\sqrt x \)
(3) \({\log _2}({x^2}) < {\log _{10}}({x^2}) < {\log _2}x\)
(4) \({\log _{10}}({x^2}) < {\log _2}\sqrt x < {\log _{10}}x\)。
【101乙】


21. 設\(a > 1 > b > 0\),關於下列不等式,請選出正確的選項。
(1) \({( - a)^7} > {( - a)^9}\)
(2) \({b^{ - 9}} > {b^{ - 7}}\)
(3) \({\log _{10}}\frac{1}{a} > {\log _{10}}\frac{1}{b}\)
(4) \({\log _a}1 > {\log _b}1\)
(5) \({\log _a}b \ge {\log _b}a\)。
【102學測】


22. 坐標平面上,直線\(x = 2\)分別交函數\(y = {\log _{10}}x\)、\(y = {\log _2}x\)的圖形於\(P\)、\(Q\)兩點;直線\(x = 10\)分別交函數\(y = {\log _{10}}x\)、\(y = {\log _2}x\)的圖形於\(R\)、\(S\)兩點。試問四邊形\(PQRS\)的面積最接近下列哪一個選項?(\({\log _{10}}2 \approx 0.3010\))
(1) 10
(2) 11
(3) 12
(4) 13
(5) 14。
【102甲】


23. 請問下列哪一個選項等於\(\log \left( {{2^{\left( {{3^5}} \right)}}} \right)\)?
(1) \(5\log ({2^3})\)
(2) \(3 \times 5\log 2\)
(3) \(5\log 2 \times \log 3\)
(4) \(5(\log 2 + \log 3)\)
(5) \({3^5}\log 2\)。
【103學測】


24. 請問指數方程式\({2^{{{10}^x}}} = {10^6}\)的解\(x\)最接近下列哪一個選項?(\(\log 2 \approx 0.3010\)、\(\log 3 \approx 0.4771\)、\(\log 7 \approx 0.8451\))
(1) 1.1
(2) 1.2
(3) 1.3
(4) 1.4
(5) 1.5。
【103甲】


Ans:
1. (1)(4)
2. (1)(2)(5)
3. (2)
4. 15
5. (2)(3)
6. (3)(4)
7. (2)
8. (4)
9. (1)(2)(4)(5)
10. \(\frac{1}{4}\)
11. (5)
12. (1)(2)(5)
13. (3)
14. (2)(3)
15. (5)
16. (5)
17. \(1 \le x \le 5\)或\(6 \le x\)
18. (1)(2)(3)
19. (3)
20. (2)(4)
21. (1)(2)
22. (3)
23. (5)
24. (3)

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sgod 的個人頭像
sgod replied the topic: #605 3 年 6 個月 ago
關於指數與對數的問題可以在這快速回覆或者到討論區中的「中學數學」版中討論

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