指數與對數的應用
1. 設年利率為12.5%,若依複利計算,則至少要__________年(取整數年數),本利和才會超過本金的2倍(\({\log _{10}}2 = 0.3010\),\({\log _{10}}3 = 0.4771\))。 【86自】


2. 某甲向銀行貸款100萬元,約定從次月開始每月還給銀行1萬元,依月利率0.6%複利計算,則某甲需要__________年就可還清。(答案以四捨五入計算成整數,而\({\log _{10}}2 = 0.3010\),\({\log _{10}}1.006 = 0.0026\)) 【88自】


3. 1999年6月1日數學家利用超級電腦驗證出\({2^{6972593}} - 1\)是一個質數。若想要列印出此質數至少需要多少張A4紙?假定每張A4紙,可列印出3000個數字。在下列選項中,選出最接近的張數。(\({\log _{10}}2 \approx 0.3010\))
(A) 50
(B) 100
(C) 200
(D) 500
(E)700 。
【89推甄】


4. 目前國際使用芮氏規模來表示地震強度。設\(E(r)\)為地震芮氏規模\(r\)時,震央所釋放出來的能量,\(r\)與\(E(r)\)的關係如下:
\(\log E(r) = 5.24 + 1.44r\),
(1)某次地震其芮氏規模為4,試問其震央所釋放的能量\(E(4)\)為多少?
(2)試問芮氏規模6的地震,其震央所釋放的能量是芮氏規模4的地震震央所釋放能量之多少倍?(整數倍以下捨去,已知\({10^{1.44}} = 27.54\))
【90社】


5. 某甲自89年7月起,每月1日均存入銀行1000元,言明以月利率0.5%按月複利計息,到90年7月1日提出。某乙則於89年7月起,每單月(一月、三月、五月…)1日均存入銀行2000元,亦以月利率0.5%按月複利計息,到90年7月1日提出。一整年中,兩人都存入本金12000元。提出時,甲得本利和\(A\)元,乙得本利和\(B\)元。問下列選項何者為真?
(1) \(B > A\)
(2) \(A = 1000\left( {\sum\limits_{k = 1}^{12} {{{(\frac{{1005}}{{1000}})}^k}} } \right)\)
(3) \(B = 2000\left( {\sum\limits_{k = 1}^6 {{{(\frac{{1005}}{{1000}})}^{2k}}} } \right)\)
(4) \(A < 12000{(\frac{{1005}}{{1000}})^{12}}\)
(5) \(B < 12000{(\frac{{1005}}{{1000}})^{12}}\) 。
【91學測】


6. 某君於九十年初,在甲、乙、丙三家銀行各存入十萬元,各存滿一年後,分別取出。已知該年各銀行之月利率如下表,且全年十二個月皆依機動利率按月以複利計息。

甲銀行 乙銀行 丙銀行
1-4 0.3 0.3 0.3
5-8 0.3 0.4 0.2
9-12 0.3 0.2 0.4

假設存滿一年,某君在甲、乙、丙三家銀行存款的本利和分別為\(a\)、\(b\)、\(c\)元,請問下列哪些式子為真?
(1) \(a > b\)
(2) \(a > c\)
(3) \(b > c\)
(4) \(a = b = c\) 。
【91甲】


7. 前行政院長提出知識經濟,喊出10年內要讓臺灣double(加倍),一般小市民希望第11年開始的薪水加倍。如果每年調薪\(a\% \),其中\(a\)為整數,欲達成小市民的希望,那麼\(a\)的最小值為__________。(參考數值:\({\log _{10}}2 \buildrel\textstyle.\over= 0.3010\))

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
log(1 + 0.01x) 0.0043 0.0086 0.0128 0.0170 0.0212 0.0253 0.0294 0.0334 0.0374


【91乙】

 

8. 根據統計資料,在A小鎮當某件訊息發布後,t小時之內聽到該訊息的人口是全鎮人口的\(100(1 - {2^{ - kt}})\% \),其中k是某個大於0的常數。今有某訊息,假設在發布後3小時之內已經有70%的人口聽到該訊息。又設最快要T小時後,有99%的人口已聽到該訊息,則T最接近下列哪一個選項?
(1) 5小時
(2) \(7\frac{1}{2}\)小時
(3) 9小時
(4) \(11\frac{1}{2}\)小時
(5) 13小時 。
(已知\({\log _{10}}2 = 0.3010\),\({\log _{10}}3 = 0.4771\))
【92學測】


9. 已知不等式\(1.253 \times {10^{845}} < {7^{1000}} < 1.254 \times {10^{845}}\)成立。請選出正確的選項。
(1) \({\log _{10}}7 < 0.846\)
(2) \({\log _{10}}7 > 0.845\)
(3) \({7^{100}} < 5 \times {10^{84}}\)
(4) \({7^{10}} < 2 \times {10^8}\) 。
【92甲】


10. 統計學家克利夫蘭對人體的眼睛詳細研究後發現:我們的眼睛看到圖形面積的大小與此圖形實際面積的0.7次方成正比。例如:大圖形是小圖形的3倍,眼睛感覺到的只有\({3^{0.7}}\)(約2.16)倍。觀察某個國家地圖,感覺全國面積約為某縣面積的10倍,試問這國家的實際面積大約是該縣面積的幾倍? (已知\(\log 2 \buildrel\textstyle.\over= 0.3010,\;\;\;\log 3 \buildrel\textstyle.\over= 0.4771,\;\;\;\log 7 \buildrel\textstyle.\over= 0.8451\))
(1) 18倍
(2) 21倍
(3) 24倍
(4) 27倍
(5) 36倍 。
【93乙】


11. 聲音的強度是用每平方公尺多少瓦特\((W/{m^2})\)來衡量,一般人能感覺出聲音的最小強度為\({I_0} = {10^{ - 12}}\;(W/{m^2})\);當測得的聲音強度為\(I\)\((W/{m^2})\)時,所產生的噪音分貝數d為\(d(I) = 10 \cdot \log \frac{I}{{{I_0}}}\)。
(1)一隻蚊子振動翅膀測得的聲音強度為\({10^{ - 12}}(W/{m^2})\),求其產生的噪音分貝數。(2分)
(2)汽車製造廠測試發現,某新車以每小時60公里速度行駛時,測得的聲音強度為\({10^{ - 4}}(W/{m^2})\),試問此聲音強度產生的噪音為多少分貝?(4分)
(3)棒球比賽場中,若一支瓦斯汽笛獨鳴,測得的噪音為70分貝,則百支瓦斯汽笛同時同地合鳴,被測得的噪音大約為多少分貝?(6分)
【93乙】


12. 在1766年,天文學家波德提出有名的『波德法則』:行星與太陽的平均距離\(d\)(天文單位)可以用數學式子
\(d = \alpha + \beta \cdot {2^n}\)
表示。行星所對應的\(n\)值如下表所示:

行星 對應的
金星 0
地球 1
火星 2
木星 4
土星 5
天王星 6

(1) 設金星與太陽的平均距離為 d,請以\(\alpha \)及\(\beta \)表示d (2分)
(2)若d 為0.7天文單位,且火星與太陽的平均距離比金星與太陽的平均距離多0.9(天文單位),請求出\(\alpha \)及\(\beta \)(8分)
(3)承上題,請求出地球與太陽的平均距離(2分)
【93指考補】


13. 地震規模的大小通常用芮氏等級來表示。已知芮氏等級每增加1級,地震震幅強度約增加為原來的10倍,能量釋放強度則約增加為原來的32倍。現假設有兩次地震,所釋放的能量約相差100,000倍,依上述性質則地震震幅強度約相差幾倍?請選出最接近的答案。
(1) 10倍
(2) 100倍
(3) 1000倍
(4) 10000倍
【94甲】


14. 根據過去長期統計資料顯示:某公司推銷員的年資\(x\)(年),與每次推銷成功的機率\(y(x)\),滿足下列關係式:\(y(x) = \frac{{{2^{ - 3 + x}}}}{{1 + {2^{ - 3 + x}}}}\)
(1) 化簡\(r(x) = \frac{{y(x)}}{{1 - y(x)}}\),並說明\(r(x)\)的值隨\(x\)增大而增大(即\(r(x)\)為遞增函數)。(6分)
(2) 說明年資8年(含)以上的推銷員,每次推銷不成功的機率小於4%。(7分)
【94乙】


15. 在養分充足的情況下,細菌的數量會以指數函數的方式成長,假設細菌\(A\)的數量每兩個小時可以成長為兩倍,細菌\(B\)的數量每三個小時可以成長為三倍。若養分充足且一開始兩種細菌的數量相等,則大約幾小時後細菌\(B\)的數量除以細菌\(A\)的數量最接近10?
(1) 24小時
(2) 48小時
(3) 69小時
(4) 96小時
(5) 117小時 。
【95學測】


16. 某公司為了響應節能減碳政策,決定在五年後將公司該年二氧化碳排放量降為目前排放量的75%。公司希望每年依固定的比率(當年和前一年排放量的比)逐年減少二氧化碳的排放量。若要達到這項目標,則該公司每年至少要比前一年減少__________%的二氧化碳的排放量。(計算到小數點後第一位,以下四捨五入。)

【98學測】

sa3 2

17. 數學教科書所附的對數表中,\(\log 4.34 = 0.6375\)、\(\log 4.35 = 0.6385\)。根據\(\log 4.34\)和\(\log 4.35\)的查表值以內插法求\(\log 4.342\),設求得的值為\(p\),則下列哪一個選項是正確的?
(1) \(p = \frac{1}{2}(0.6375 + 0.6385)\)
(2) \(p = 0.2 \times 0.6375 + 0.8 \times 0.6385\)
(3) \(p = 0.8 \times 0.6375 + 0.2 \times 0.6385\)
(4) \(p = 0.6375 + 0.002\)
(5) \(p = 0.6385 - 0.002\)。
【98甲】


18. 陳先生三年前買了一輛剛出廠的新車買價100萬元;該汽車的價值在第一年後折舊20%,第二年以後每年折舊前一年車價的15%。陳先生現在想用這部車換新車,試問舊車可抵多少萬元?答:__________萬元。(萬元以下四捨五入) 【98乙】
19. 在密閉的實驗室中,開始時有某種細菌1千隻,並且以每小時增加8%的速率繁殖。如果依此速率持續繁殖,則100小時後細菌的數量最接近下列哪一個選項?
(1) 9千隻
(2) 108千隻
(3) 2200千隻
(4) 3200千隻
(5) 32000千隻。
【99學測】


20. 表為常用對數表\({\log _{10}}N\)的一部分:

請問\({10^{3.032}}\)最接近下列哪一個選項?
(1) 101
(2) 201
(3) 1007
(4) 1076
(5) 2012。
【101學測】

sa3 3


21. 觀察2的次方所形成的等比數列:\(2,\;{2^2},\;{2^3},\;{2^4},\; \cdots \),設其中出現的第一個13位數為\({2^n}\),則\(n = \)__________。(註:\({\log _{10}}2 \approx 0.3010\)) 【101乙】


22. 已知\(\log 2 \approx 0.3010\),\(\log 3 \approx 0.4771\)。
(1) 請以對數律計算\(\log 1.5\)(不必四捨五入)。(3分)
(2) 請以對數律計算\(\log {(1.5)^{60}}\)(不必四捨五入)。(3分)
(3) 請問\({(1.5)^{60}}\)的整數部分是幾位數?請說明理由。(3分)
(4) 請問\({(1.5)^{60}}\)的整數部分中,最左邊的數字是幾?請說明理由。(3分)

【102乙】


23. 小華準備向銀行貸款3百萬元當做創業基金,其年利率爲3%,約定三年期滿一次還清貸款的本利和。銀行貸款一般以複利(每年複利一次)計息還款,但給小華創業優惠改以單利計息還款。試問在此優惠下,小華在三年期滿還款時可以比一般複利計息少繳__________元。
【104學測】


24. 半導體產業的摩爾定律認為「積體電路板可容納的電晶體數目每兩年增加一倍」。用\(f(t)\)表示從\(t = 0\)開始,電晶體數目隨時間\(t\)變化的函數,並假設\(f(0) = 1000\)。下面選項中,請選出可以代表摩爾定律的公式。
(1) 若\(t\)以年為單位,則\(f(t) = 1000 + \frac{{1000}}{2}t\)
(2) 若\(t\)以月為單位, 則\(f(t) = 1000 + \frac{{1000}}{{24}}t\)
(3) 若\(t\)以年為單位,則\(f(t) = 1000 \cdot {(\sqrt 2 )^t}\)
(4) 若\(t\)以年為單位,則\(\log f(t) = 3 + \frac{{\log (\frac{{3t}}{2} + 1)}}{2}\)
(5) 若\(t\)以月為單位,則\(\log f(t) = 3 + \frac{{\log 2}}{{24}}t\)
【104乙】


25. 放射性物質的半衰期\(T\)定義為每經過時間\(T\),該物質的質量會衰退成原來的一半。鉛製容器中有兩種放射性物質\(A\)、\(B\),開始紀錄時容器中物質\(A\)的質量為物質\(B\)的兩倍,而120小時後兩種物質的質量相同。已知物質\(A\)的半衰期為7.5小時,請問物質\(B\)的半衰期為幾小時?
(1) 8小時
(2) 10 小時
(3) 12小時
(4) 15小時
(5) 20小時
【105學測】

 

Ans:
1. 6
2. 13
3. (E)
4. (1) \({10^{11}}\) (2) 758倍
5. (1)(2)(3)(4)(5)
6. (1)(2)
7. 8
8. (4)
9. (1)(2)(3)
10. (4)
11. (1) 0分貝 (2) 80分貝 (3) 90分貝
12. \(\alpha + \beta \) (2) \(\alpha = 0.4\),\(\beta = 0.3\) (3) 1(天文單位)
13. (3)
14. 略
15. (5)
16. 5.6
17. (3)
18. 58
19. (3)
20. (4)
21. 40
22. (1) 0.1761 (2) 10.566 (3) 11位數 (4) 3
23. 8181
24. (3)(5)
25. (1)

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sgod replied the topic: #605 3 年 6 個月 ago
關於指數與對數的問題可以在這快速回覆或者到討論區中的「中學數學」版中討論

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