數列與級數
1. 下圖表示長方形垛的疊法:

某水果販將橘子堆成長方形垛。若最底層長邊有10個橘子,短邊有5個,則此長方形垛最多有幾個橘子?
(1) 110
(2) 120
(3) 130
(4) 140
(E)150。
【84推甄】

sa4 1
2. 假設某鎮每年的人口數逐年成長,且成一等比數列。已知此鎮十年前有25萬人,現在有30萬人,那麼二十年後,此鎮人口應有______萬人。(求到小數點後一位)

【84推甄】


3. 有一個101項的等差數列\({a_1}\),\({a_2}\),\({a_3}\),…,\({a_{101}}\),其和為0,且\({a_{71}} = 71\)。問下列選項哪些正確?
(A) \({a_1} + {a_{101}} > 0\)
(B) \({a_2} + {a_{100}} < 0\)
(C) \({a_3} + {a_{99}} = 0\)
(D) \({a_{51}} = 51\)
(E) \({a_1} < 0\) 。
【85推甄】


4. 在等比數列\( < {a_n} > \)中,\({a_1} = 1\)\({a_4} = 2 - \sqrt 5 \)\({a_{n + 2}} = {a_{n + 1}} + {a_n}\)\(n \ge 1\)。則\( < {a_n} > \)的公比\( = \)__________

【87推甄】


5. 觀察下列\(3 \times 3\)與\(4 \times 4\)方格中的數字規律:

如果在\(10 \times 10\)的方格上,仿上面規律填入數字,則所填入的100個數字之總和為__________。

【88社】

sa4 2


6. 將自然數按下列規律排列,每一列比前一列多一個數,如下表所示:

試問第100列第3個數是多少?答:___________。

【89推甄】

1  1
2  23
3  456
4  78910
5  1112131415
…… ……


7. 假設世界人口自1980年起,50年內每年增長率固定,已知1987年世界人口達50億,1999年第60億人誕生於賽拉耶佛。根據這些資料推測,2023年世界人口數最接近下列哪一個數?
(A) 75億
(B) 80億
(C) 86億
(D) 92億
(E) 100億 。
【89推甄】


8. 某公司民國85年營業額為4億元,民國86年營業額為6億元,該年的成長率為50%。87、88、89三年的成長率皆相同,且民國89年的營業額為48億元。則該公司89年的成長率為__________%。

【91學測】


9. 用單位長的不銹鋼條焊接如下圖系列的四面體鐵架,圖中的小圈圈「。」表示焊接點,圖1有兩層共4個焊接點,圖2有三層共10個焊接點,圖3有四層共20個焊接點。試問依此規律,推算圖5有六層共多少焊接點?答:__________個。

【91乙】

sa4 3

10. 設數列\( < {a_n} > \)的第\(n\)\({a_n}\)\({a_n} = \frac{{1 + \sqrt {8n - 7} }}{2}\)\(n \ge 1\)),

(1) 依序列出\({a_2}\)\({a_3}\)\({a_4}\)\({a_5}\)\({a_6}\)\({a_7}\)的值。
(2)
\(k\)為一正整數,試說明\({k^2} - k\)必為偶數。
(3)
\(k\)為一正整數,試證明在數列\( < {a_n} > \)中,可以找到一個項\({a_m}\)使\({a_m} = k\)        

【91乙】


11. 若數列\( < {a_n} > \)滿足\({a_1} = \frac{1}{7}\)\({a_2} = \frac{3}{7}\)\({a_{n + 1}} = \frac{7}{2}{a_n}(1 - {a_n})\;(n \ge 1)\),則\({a_{101}} - {a_{100}} = \)__________
【92乙】


12. 已知一等差數列共有十項,且知奇數項之和為15,偶數項之和為30,則下列哪一選項為此數列之公差?
(1) 1
(2) 2
(3) 3
(4) 4
(5) 5 。
【93學測】


13. 利用公式\({1^3} + {2^3} + \cdot \cdot \cdot + {n^3} = {\left( {\frac{{n(n + 1)}}{2}} \right)^2}\),可計算出\({(11)^3} + {(12)^3} + \cdot \cdot \cdot + {(20)^3}\)之值為
(1) 41075
(2) 41095
(3) 41115
(4) 41135
(5) 41155 。
【94學測】


14. 下圖是從事網路工作者經常用來解釋網路運作的蛇形模型:

數字1出現在第1列;數字2,3出現在第2列;數字6,5,4(從左至右)出現在第3列;數字7,8,9,10出現在第4列;依此類推。試問第99列,從左至右算,第67個數字為__________。 【94乙】
15. 假設實數\({a_1}\),\({a_2}\),\({a_3}\),\({a_4}\)是一個等差數列,且滿足\(0 < {a_1} < 2\)及\({a_3} = 4\)。若定義\({b_n} = {2^{{a_n}}}\),則下列哪些選項是對的?
(1) \({b_1}\),\({b_2}\),\({b_3}\),\({b_4}\)是一個等比數列
(2) \({b_1} < {b_2}\)
(3) \({b_2} > 4\)
(4) \({b_4} > 32\)
(5) \({b_2} \times {b_4} = 256\) 。

【95學測】

sa4 4
16. 用黑、白兩種顏色的正方形地磚依照如下的規則拼成若干圖形:

拼第95個圖需用到__________塊白色地磚。

【95學測】

sa4 5


17. 某巨蛋球場E區共有25排座位,此區每一排都比其前一排多2個座位。小明坐在正中間那一排(即第13排),發現此排共有64個座位,則此球場E區共有__________個座位。
【96學測】


18. 已知\({a_1},\;{a_2},\;{a_3}\)為一等差數列,而\({b_1},\;{b_2},\;{b_3}\)為一等比數列,且此六數皆為實數。試問下列哪些選項是正確的?
(1) \({a_1} < {a_2}\)與\({a_2} > {a_3}\)可能同時成立
(2) \({b_1} < {b_2}\)與\({b_2} > {b_3}\)可能同時成立
(3) 若\({a_1} + {a_2} < 0\),則\({a_2} + {a_3} < 0\)
(4) 若\({b_1}{b_2} < 0\),則\({b_2}{b_3} < 0\)
(5) 若\({b_1},\;{b_2},\;{b_3}\)皆為正整數且\({b_1} < {b_2}\),則\({b_1}\)整除\({b_2}\)。
【97學測】


19. 有四個相異的正整數, 由小到大依序為\(k,\;l,\;m,\;n\),其和等於16 ,亦即\(0 < k < l < m < n\),\(k + l + m + n = 16\)。請問單獨再增加下列哪一個選項中的條件,可以保證\(k\)等於1?
(1) \(l\)是奇數,\(m\)是偶數
(2) \(l,\;m\)是偶數
(3) \(k,\;l,\;m,\;n\)是等差數列
(4) \(l,\;n\)是奇數
(5) \(l,\;m\)是奇數 。
【97乙】


20. 數列\({a_1} + 2,\; \cdots \;,\;{a_k} + 2k,\; \cdots \;,\;{a_{10}} + 20\)共有十項,且其和為240,則\({a_1} + \cdots + {a_k} + \cdots + {a_{10}}\)之值為
(1) 31
(2) 120
(3) 130
(4) 185
(5) 218 。
【98學測】


21. 將邊長為1公分的正立方體堆疊成一階梯形立體,如下圖所示,其中第1層(最下層)有10塊,第2層有9塊,…,依此類推。當堆疊完10層時,該階梯形立體的表面積(即該立體的前、後、上、下、左、右各表面的面積總和)為多少?
(1) 75平方公分
(2) 90平方公分
(3) 110平方公分
(4) 130平方公分
(5) 150平方公分。
【101學測】

sa4 6

22. 設實數組成的數列\(\left\langle {{a_n}} \right\rangle \)是公比為\( - 0.8\)的等比數列,實數組成的數列\(\left\langle {{b_n}} \right\rangle \)是首項為10的等差數列。已知\({a_9} > {b_9}\)且\({a_{10}} > {b_{10}}\)。請選出正確的選項。
(1) \({a_9} \times {a_{10}} < 0\)
(2) \({b_{10}} > 0\)
(3) \({b_9} > {b_{10}}\)
(4) \({a_9} > {a_{10}}\)
(5) \({a_8} > {b_8}\)。
【102學測】


23. 設\({a_1} = 1\)且\({a_1},\;{a_2},\;{a_3},\; \cdots \)為等差數列。請選出正確的選項。
(1) 若\({a_{100}} > 0\),則\({a_{1000}} > 0\)
(2) 若\({a_{100}} < 0\),則\({a_{1000}} < 0\)
(3) 若\({a_{1000}} > 0\),則\({a_{100}} > 0\)
(4) 若\({a_{1000}} < 0\),則\({a_{100}} < 0\)
(5) 若\({a_{1000}} - {a_{10}} = 10({a_{100}} - {a_1})\)。
【103學測】


24. 第1天獲得1元、第2天獲得2元、第3天獲得4 元、第4天獲得8元、依此每天所獲得的錢為前一天的兩倍,如此進行到第30天,試問這30天所獲得的錢,總數最接近下列哪一個選項?
(1) 10,000元
(2) 1,000,000元
(3) 100,000,000元
(4) 1,000,000,000元
(5) 1,000,000,000,000元
【104學測】

25. 設\( < {a_n} > \)為一等比數列。已知前十項的和為\(\sum\limits_{k = 1}^{10} {{a_k}} = 80\),前五個奇數項的和為\({a_1} + {a_3} + {a_5} + {a_7} + {a_9} = 120\),請選出首項\({a_1}\)的正確範圍。
(1) \({a_1} < 80\)
(2) \(80 \le {a_1} < 90\)
(3) \(90 \le {a_1} < 100\)
(4) \(100 \le {a_1} < 110\)
(5) \(110 \le {a_1}\)
【105學測】

26. 用大小一樣的鋼珠可以排成正三角形、正方形與正五邊形陣列,其排列的規律如下圖所示:

已知\(m\)個鋼珠恰好可以排成每邊\(n\)個鋼珠的正三角形陣列與正方形陣列各一個;且知若用這\(m\)個鋼珠去排成每邊\(n\)個鋼珠的正五邊形陣列時,就會多出9個鋼珠。則\(n = \)__________,\(m = \)__________。

【97甲】


27. 設\({a_1},\;{a_2},\; \cdots \;,\;{a_n},\; \cdots \)為一實數數列,且對所有的正整數\(n\)滿足\({a_{n + 1}} = \frac{{n(n + 1)}}{2} - {a_n}\)。請問下列哪些選項是正確的?
(1) 如果\({a_1} = 1\),則\({a_2} = 1\)
(2) 如果\({a_1}\)是整數,則此數列的每一項都是整數
(3) 如果\({a_1}\)是無理數,則此數列的每一項都是無理數
(4) \({a_2} \le {a_4} \le \cdots \le {a_{2n}} \le \cdots \)(\(n\)為正整數)
(5) 如果\({a_k}\)是奇數,則\({a_{k + 2}},\;{a_{k + 4}},\; \cdots \;,\;{a_{k + 2n}},\; \cdots \)都是奇數(\(n\)為正整數)。
【99學測】


28. 設\({({a_{n + 1}})^2} = \frac{1}{{\sqrt {10} }}{({a_n})^2}\),\(n\)為正整數,且知\({a_n}\)皆為正。令\({b_n} = \log {a_n}\),則數列\({b_1},\;{b_2},\;{b_3},\; \cdots \)為
(1) 公差為正的等差數列
(2) 公差為負的等差數列
(3) 公比為正的等比數列
(4) 公比為負的等比數列
(5) 既非等差亦非等比數列。
【100學測】


29. 每週同一時間點記錄某植物的成長高度,連續五週的數據為 \({a_1} = 1,\;{a_2} = 2,\;{a_3} = 6,\;{a_4} = 15,\;{a_5} = 31 \)。請問此成長高度數列滿足下列選項中哪一個式子?
(1) \({a_{t + 1}} = 3{a_t} - 1 \), \(t = 1,\;2,\;3,\;4 \)
(2) \({a_t} = t! \), \(t = 1,\;2,\;3,\;4,\;5 \)
(3) \({a_{t + 1}} = {a_t} + {t^2} \), \(t = 1,\;2,\;3,\;4 \)
(4) \({a_t} = {2^t} - 1 \), \(t = 1,\;2,\;3,\;4,\;5 \)
(5) \({a_{t + 1}} = t{a_t} + 1 \), \(t = 1,\;2,\;3,\;4 \)
【104學測】

Ans:
1. (3)
2. 43.2
3. (C)(E)
4. \(\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}\)
5. 385
6. 4953
7. (C)
8. 100
9. 56
10. 略
11. \(\frac{3}{7}\)
12. (3)
13. (1)
14. 4884
15. (1)(2)(3)(4)(5)
16. 478
17. 1600
18. (2)(4)
19. (2)(3)
20. (3)
21. (5)
22. (1)(3)
23. (2)(3)(5)
24. (4)
25. (4)

26. 9,126

27. (2)(3)(4)
28. (2)
29. (3)

 

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sgod replied the topic: #607 3 年 5 個月 ago
關於數列與級數的問題可以在這快速回覆或者到討論區中的「中學數學」版中討論

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