機率


1. 假設任意取得之統一發票,其號碼之個位數字為0,1,…,9中任一數字,且這些數出現之機率均相等。今自三不同場所,各取得一張統一發票,則三張發票號碼個位數字中
(1) 至少有一個為0之機率為__________。
(2) 至少有一個為0,且至少有一個為9之機率為__________。
【80自】


2. 一盒中有10個球,球上分別印有號碼1到10。今由盒中取4球,則四球之號碼中第二大數目是7的機率為__________。
【84社】


3. 已知編號為1,2,…,10的十盞路燈中,有三盞是故障的,則編號4與編號5都是故障的機率為__________。
【85社】


4. 當使用一儀器去測量一個高為70單位長的建築物50次,所得數據為

測量值 68單位長 69單位長 70單位長 71單位長 72單位長
次 數 5 15 10 15 5

根據此數據推測,假如再用此儀器測量該建築物三次,則三次測得的平均值為71單位長的機率為__________。
【88社】


5. 甲、乙兩人各擲一均勻骰子,約定如下:乙得6點時乙就贏;兩人同點時(非6點),甲贏;其餘情形,則以點數多者為贏。則甲贏的機率為___________。
【87自】


6. 設\({P_1}\)表示丟2個公正硬幣時,恰好出現1個正面的機率,\({P_2}\)表示擲2個均勻骰子,恰好出現1個偶數點的機率,\({P_3}\)表示丟4個公正硬幣時,恰好出現2個正面的機率。試問下列選項何者為真?
(A) \({P_1} = {P_2} = {P_3}\)
(B) \({P_1} = {P_2} > {P_3}\)
(C) \({P_1} = {P_3} < {P_2}\)
(D) \({P_1} = {P_3} > {P_2}\)
(E) \({P_3} > {P_2} > {P_1}\) 。
【89學測】


7. 袋中有六個乒乓球,分別編號為1,2,3,4,5,6。每次自袋中隨機抽取一球,然後將袋中編號為該球號碼之因數或倍數者一併自袋中取出(例如第一次抽中2號球,則將1號、2號、4號、6號四球皆取出),再進行下一次的抽取。試問最後一次抽取時,袋中只剩5號球的機率是多少?
(A)\(\frac{7}{{18}}\)
(B)\(\frac{9}{{18}}\)
(C)\(\frac{{11}}{{18}}\)
(D)\(\frac{{13}}{{18}}\)
(E)\(\frac{{15}}{{18}}\) 。
【89自】


8. 某課外活動社團共有20位同學參加,已知其中高一、高二、高三同學所占比例分別為55%、25%、20%。若由該社團中任選兩人,則此兩人是不同年級學生的機率是__________。
【90社】


9. 彩票公司每天開獎一次,從1、2、3三個號碼中隨機開出一個。開獎時,如果開出的號碼和前一天相同,就要重開,直到開出與前一天不同的號碼為止。如果在第一天開出的號碼是3,則在第五天開出號碼同樣是3的機率是__________(以最簡分數表示)。
【92甲】


10. 樂透是由1~42個號碼開出6個號碼,請問開出的6個號碼都是偶數的機率,最接近下列哪一個值?
(1) \(\frac{1}{2}\)
(2) \(\frac{6}{{42}}\)
(3) \(\frac{1}{{{2^3}}}\)
(4) \(\frac{1}{{12}}\)
(5) \(\frac{1}{{{2^6}}}\) 。
【92乙】


11. 某校要從高一的「忠、孝、仁、愛」四個班級中隨機選取一個班級進行數學抽測。考慮甲、乙兩種抽樣方法:甲方法是從四個班級的導師中隨機選取一人, 被選中導師的班級為抽測班級;乙方法是從所有高一學生中隨機選取一名學生,被選中學生的班級為抽測班級。若各班人數都不相同,其中「愛」班人數最多。則下列敘述有哪些是正確的?
(1) 甲方法中,每位高一學生被抽測的機率相等
(2) 乙方法中,每位高一學生被抽測的機率相等
(3) 甲方法中,四個班級被抽測的機率相等
(4) 乙方法中,四個班級被抽測的機率相等
(5) 「愛」班被抽測的機率,使用甲方法較使用乙方法高。
【93乙】


12. 阿貴和阿美及其他8名同學共10名學生輪到本周擔任值日生。本周5個上課日每天從尚未當過的同學中抽籤選出2位輪值。則阿貴和阿美同一天擔任值日生的機率為__________。 (以最簡分數表示)
【93乙】


13. 台北銀行最早發行的樂透彩(俗稱小樂透)的玩法是「42選6」:購買者從01~42中任選六個號碼,當這六個號碼與開出的六個號碼完全相同(不計次序)時即得頭獎;台北銀行曾考慮改發行「39選5」的小小樂透:購買者從01~39中任選五個號碼,如果這五個號碼與開出的五個號碼完全相同(不計次序)則得頭獎。假設原來的小樂透中頭獎的機率是\(R\),而曾考慮發行的小小樂透中頭獎的機率是\(r\)。試問比值\(\frac{r}{R}\)最接近下列哪個選項?
(1) 3
(2) 5
(3) 7
(4) 9
(5) 11 。
【94學測】


14. 在右圖的棋盤方格中,隨機任意取兩個格子。選出的兩個格子不在同行(有無同列無所謂)的機率為
(1) \(\frac{1}{{20}}\)
(2) \(\frac{1}{4}\)
(3) \(\frac{3}{4}\)
(4) \(\frac{3}{5}\)
(5) \(\frac{4}{5}\) 。
【95學測】

sa6 1

15. 擲一枚均勻硬幣4次,恰好出現\(n\)次正面的機率記為\({a_n}\);擲一枚均勻硬幣8次,恰好出現\(n\)次正面的機率記為\({b_n}\)。試問以下哪些選項是正確的?
(1) \({a_2} = \frac{1}{2}\)
(2) \({a_2} = {b_4}\)
(3) \({b_2} = {b_6}\)
(4) \({a_3} > {b_3}\)
(5) \({b_0},\;{b_1},\;{b_2},\; \cdots ,\;{b_8}\)中的最大值是\({b_4}\) 。
【95甲】


16. 不透明箱內有編號分別為1至9的九個球,每次隨機取出一個,記錄其編號後放回箱內:以\(P(n)\)表示前\(n\)次取球的編號之總和為偶數的機率。已知存在常數\(r,\;s\)使得\(P(n + 1) = r + sP(n)\)對任意正整數\(n\)都成立,則\(r = \)__________,\(s = \)__________。
【95甲】


17. 某棒球比賽有實力完全相當的甲乙丙丁四隊參加,先將四隊隨機抽籤分成兩組比賽,兩組的勝隊再參加冠亞軍決賽,如下圖:

根據過去的紀錄,所有隊伍比賽時各隊獲勝的機率均為0.5。則冠亞軍決賽由甲、乙兩隊對戰的機率為__________(四捨五入到小數三位)。
【96乙】

sa6 2
18. 有一個不公正的骰子,投擲的時候,二點、三點、四點、五點和六點出現的機率都是\({\log _{10}}\left( {\frac{3}{2}} \right)\),今以\(a\)表\({\log _{10}}\left( {\frac{3}{2}} \right)\),以\(b\)表投擲的時候一點出現的機率,請選出正確的選項。
(1) \(a > 0\)
(2) \(a > 1\)
(3) \(b < \frac{1}{6}\)
(4) \(b < {\log _{10}}\left( {\frac{4}{3}} \right)\)
(5) \(a > b\) 。
【97乙】


19. 從集合{\(\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}a&b\\0&c\end{array}} \right]\)|\(a\),\(b\),\(c\)為0,1,2或3}中隨機抽取一個矩陣,其行列式為0的機率等於__________。(化為最簡分數)
【97乙】


20. 甲、乙、丙三所高中的一年級分別有3、4、5個班級。從這12個班級中隨機選取一班參加國文抽考,再從未被抽中的11個班級中隨機選取一班參加英文抽考。則參加抽考的兩個班級在同一所學校的機率最接近以下哪個選項?
(1) 21%
(2) 23%
(3) 25%
(4) 27%
(5) 29% 。
【98學測】


21. 箱子裡有30顆紅球,20顆藍球。小明從箱子中隨機抽出1顆球,記錄球的顏色後放回。重複此動作5次,並依序記錄。下列各選項都是小明可能呈現的紀錄,試問哪一選項發生的機率最大?
(1) 紅紅紅紅紅
(2) 藍藍藍藍藍
(3) 紅紅藍紅紅
(4) 紅藍紅藍紅
(5) 藍紅紅藍紅 。
【98乙】


22. 不透明箱中置有編號分別為1、2、3、6、8的球各一顆。同時自箱中隨機取出三顆球,則此三球編號之和大於14的機率為下列哪一個選項?
(1) \(\frac{1}{5}\)
(2) \(\frac{3}{{10}}\)
(3) \(\frac{2}{5}\)
(4) \(\frac{1}{2}\)
(5) \(\frac{3}{5}\)。
【99甲】


23. 高三甲班共有20位男生、15位女生,需推派3位同學參加某項全校性活動。班會中大家決定用抽籤的方式決定參加人選。若每個人中籤的機率相等,則推派的三位同學中有男也有女的機率為__________。
【100學測】


24. 某種疾病有甲、乙、丙三種檢測方法。若受檢者檢測反應為陽性,以符號「+」表示,反之則記為「-」。一個受檢者接受三種檢測方法呈現之結果共有\({A_1},\; \cdots \;,\;{A_8}\)八種不同的可能情況,例如事件\({A_1}\)表示該受檢者以三種方法檢測反應皆為陽性,其餘類推(如下表):

\({A_1}\) \({A_2}\) \({A_3}\) \({A_4}\) \({A_5}\) \({A_6}\) \({A_7}\) \({A_8}\)
方法甲
方法乙
方法丙


以\(P({A_1}),\; \cdots \;,\;P({A_8})\)分別代表事件\({A_1},\; \cdots \;,\;{A_8}\)發生之機率。請問下列哪些選項是正確的?
(1) \(P({A_1} \cup {A_2}) = P({A_1}) + P({A_2})\)
(2) 以方法乙檢測結果為陽性的機率是\(P({A_1}) + P({A_2}) + P({A_4}) + P({A_6})\)
(3) 以方法甲與方法乙檢測,結果一致的機率是\(P({A_1}) + P({A_2})\)
(4) 以方法甲、乙、丙檢測, 結果一致的機率是\(P({A_1})\)。
【100乙】


25. 某訓練班招收100名學員,以報到先後順序賦予1到100的學號。開訓一個月之後,班主任計畫從100位學員中抽出50位來參加時事測驗。他擬定了四個抽籤方案:
方案一:在1到50號中,隨機抽出25位學員;同時在51到100號中,也隨機抽出25位學員,共50位學員參加測驗
方案二:在1到60號中,隨機抽出32位學員;同時在61到100號中,也隨機抽出18位學員,共50位學員參加測驗
方案三:將100位學員平均分成50組;在每組2人中,隨機抽出1人,共50位學員參加測驗
方案四:擲一粒公正的骰子:如果出現的點數是偶數,則由學號是偶數的學員參加測驗;反之,則由學號是奇數的學員參加測驗
請選出正確的選項。
(1) 方案一中,每位學員被抽中的機率相等
(2) 方案二中,每位學員被抽中的機率相等
(3) 方案三中,每位學員被抽中的機率相等
(4) 方案四中,每位學員被抽中的機率相等。
【100乙】


26. 某校數學複習考有400位同學參加,評分後校方將此400位同學依總分由高到低排序:前100人為A組,次100人為B組,再次100人為C組,最後100人為D組。校方進一步逐題分析同學答題情形,將各組在填充第一題(考排列組合)和填充第二題(考空間概念)的答對率列表如下:

A B C D
第一題答對率 100% 80% 70% 20%
第二題答對率 100% 80% 30% 0%


請選出正確的選項。
(1) 第一題答錯的同學,不可能屬於B組
(2) 從第二題答錯的同學中隨機抽出一人,此人屬於B組的機率大於0.5
(3) 全體同學第一題的答對率比全體同學第二題的答對率高15%
(4) 從C組同學中隨機抽出一人,此人第一、二題都答對的機率不可能大於0.3。
【100乙】


27. 將1、2、3、4四個數字隨機填入右下方\(2 \times 2\)的方格中,每個方格中恰填一數字,但數字可重複使用。試問事件「A方格的數字大於B方格的數字、且C方格的數字大於D方格的數字」的機率為多少?
(1) \(\frac{1}{{16}}\)
(2) \(\frac{9}{{64}}\)
(3) \(\frac{{25}}{{64}}\)
(4) \(\frac{9}{{256}}\)
(5) \(\frac{{25}}{{256}}\)。

sa6 3
【100甲】

28. 箱中有編號分別為\(0,\;1,\;2,\; \cdots \;,\;9\)的十顆球。隨機抽取一球,將球放回後,再隨機抽取一球。請問這兩球編號相減的絕對值為下列哪一個選項時,其出現的機率最大?
(1) 0
(2) 1
(3) 4
(4) 5
(5) 9。
【101學測】


29. 作某項科學實驗共有三種可能結果\(A\)、\(B\)、\(C\),其發生的機率分別為\({P_A} = {\log _2}a\)、\({P_B} = {\log _4}a\)、\({P_C} = {\log _8}a\);其中\(a\)為一正實數。試問\({P_A}\)為下列哪一個選項?
(1) \(\frac{5}{9}\)
(2) \(\frac{6}{{11}}\)
(3) \(\frac{7}{{13}}\)
(4) \(\frac{8}{{15}}\)
(5) \(\frac{9}{{17}}\)。
【101甲】


30. 某個城市的普查(全面調查)發現60%的高中生有打工的經驗,也發現70%的高中生有意願就讀大學。如果使用簡單隨機抽樣,由該城市的高中生中抽出一位同學。請選出正確的選項。
(1) 被抽出同學有意願就讀大學的機率為0.7
(2) 被抽出同學有打工的經驗、且有意願就讀大學的機率至多為0.6
(3) 被抽出同學有打工的經驗、且有意願就讀大學的機率至少為0.35
(4) 被抽出同學有打工的經驗、但是無意願就讀大學的機率為0.18。
【101乙】


31. 考慮所有由1、2、3、4、5、6各一個與三個0所排成形如\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0&a&b\\c&0&d\\e&f&0\end{array}} \right]\)對角線均為0的三階方陣。今隨機選取這樣一個方陣,試問其行列式值\(\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}0&a&b\\c&0&d\\e&f&0\end{array}\,} \right|\)為奇數的機率為下列哪一個選項?
(1) \(\frac{1}{{20}}\)
(2) \(\frac{1}{{10}}\)
(3) \(\frac{1}{2}\)
(4) \(\frac{9}{{10}}\)
(5) \(\frac{{19}}{{20}}\)。
【102甲】


32. 在遊戲中,阿玲拿到如右的數字卡。主持人隨機從1至9號求中同時取出三球,若這三球的號碼中任兩都不在卡片上的同一行也不在卡片上的同一列時就得獎,則阿玲得獎的機率為__________。(化成最簡分數)

sa6 4
【103甲】


33. 針對某50人的班級調查喝飲料的習慣,發現其中習慣半糖(糖份減半)的有37人,而習慣去冰(不加冰塊)的有28人。現在若隨機抽問該班一位同學,他喝飲料的習慣是半糖且去冰的機率有可能是下列哪些選項?
(1) 0.28
(2) 0.46
(3) 0.56
(4) 0.66
(5) 0.74
【104乙】


Ans:
1. (1) 0.271 (2) 0.054
2. \(\frac{3}{{14}}\)
3. \(\frac{1}{{15}}\)
4. \(\frac{9}{{125}}\)
5. \(\frac{5}{9}\)
6. (B)
7. (A)
8. \(\frac{{119}}{{190}}\)
9. \(\frac{3}{8}\)
10. (5)
11. (1)(3)
12. \(\frac{1}{9}\)
13. (4)
14. (5)
15. (3)(4)(5)
16. \(\frac{5}{9}\),\(\frac{{ - 1}}{9}\)
17. 0.167
18. (1)(3)(4)(5)
19. \(\frac{7}{{16}}\)
20. (5)
21. (1)
22. (2)
23. \(\frac{{90}}{{119}}\)
24. (1)(2)
25. (1)(3)(4)
26. (3)(4)
27. (2)
28. (2)
29. (2)
30. (1)(2)
31. (2)
32. \(\frac{1}{{14}}\)
33. (2)(3)

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sgod replied the topic: #612 3 年 2 星期 ago
關於機率的問題可以在這快速回覆或者到討論區中的「中學數學」版中討論

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