條件機率與貝氏定理


1. 某人上班有甲、乙兩條路線可供選擇,早上定時從家裡出發,走甲路線有\(\frac{1}{{10}}\)的機率會遲到,走乙路線則有\(\frac{1}{5}\)的機會遲到。無論走哪一條路線,只要不遲到,下次就走同一條路線,否則就換另一條路線。假設他第一天走甲路線,則第三天也走甲路線的機率為___________。

【86推甄】


2. 擲三粒均勻骰子一次,則在至少出現一粒4點的條件下,其點數和為偶數的機率為__________。

【86自】


3. 交通規則測驗時,答對有兩種可能,一種是會做而答對,一種是不會做但猜對。已知小華練習交通規則筆試測驗,會做的機率是0.8。現有一題5選1的交通規則選擇題,設小華會做就答對,不會做就亂猜。已知此題小華答對,試問在此條件之下,此題小華是因會做而答對(不是亂猜)的機率是多少?答:__________。(以最簡分數表示)
【89推甄】


4. 根據過去紀錄知,某電腦工廠檢驗其產品的過程中,將良品檢驗為不良品的機率為0.20,將不良品檢驗為良品的機率為0.16。又知該產品中,不良品占5%,良品占95%。若一件產品被檢驗為良品,但該產品實際上為不良品之機率為__________。(小數點後第三位四捨五入)

【90推甄】


5. 醫療主管機關在持續追蹤某傳染病多年後,發現如果體檢受檢人感染該傳染病,就一定可以檢測出來。但是卻有4%的機率,將一不患該傳染病之受檢者誤檢為患有該病。已知全部男性人口中有0.2%的機率患有此病。現於兵役體檢時進行檢測,若該梯次役男共有十萬人受檢,而且某役男被告知患有該病。請問下列哪些敘述為真?
(1) 該役男確實染病的機率大於3%
(2) 該役男確實染病的機率大於4%
(3) 該役男確實染病的機率大於5%
(4) 該役男確實染病的機率大於90% 。
【91甲】


6. 宴會在場的50位賓客有人偷了主人的珠寶,由於賓客身上都沒有珠寶,而且他們都不承認偷竊。警方決定動用測謊器,並且只問客人一個問題:「你有沒有偷珠寶?」。已知若某人說謊,則測謊器顯示他說謊的機率為99%;若某人誠實,則測謊器顯示他誠實的機率是90%。下列敘述何者正確:
(1) 設竊賊只有一人。當賓客受測時,測謊器顯示賓客說謊的機率大於10%。
(2) 設竊賊只有一人。當測謊器顯示一賓客說謊時,該賓客正是竊賊的機率大於50%。
(3) 設竊賊只有一人,當測謊器顯示一賓客誠實時,該賓客卻是竊賊的機率小於20%。
(4) 當測謊器顯示一賓客說謊時,該賓客是竊賊的機率,並不因竊賊人數多少而改變。
【94甲】

 

7. 全班男女生共51人,票選畢業旅行的目的地,每人限投一票,結果如右表。現以簡單隨機抽樣,抽出兩人,若這兩人都是女生,則這兩人都想去墾丁的機率是__________(以四捨五入取到小數兩位)。

墾丁 10 10
澎湖 6 10
花東 9 6

【94甲】



8. 某公司共有6個工廠,各工廠的產量都一樣,且所生產的產品都放進同一倉庫中。由過去的經驗知道,第\(k\)個工廠的產品不良率為\(\frac{k}{{50}}\),其中\(k = 1,\;2,\;3,\;4,\;5,\;6\),為了檢驗倉庫中這一批產品的品質,從倉庫中任意抽出一件,若為不良品,則此不良品是來自第五個工廠的機率為__________。(化為最簡分數)

【96甲】


9. 某地區12歲以上人口吸煙的比率為28%。今將12歲以上人口區分為中老年、青壯年及青少年三類,所佔比率各為30%、45%及25%。已知中老年與青壯年人口中吸煙的比率各為25%與30%,請問青少年人口中吸煙的比率為多少?選出正確的選項:
(1) 24%
(2) 28%
(3) 32%
(4) 36%
(5) 40% 。
【96甲】


10. 甲、乙、丙三人參加一投擲公正銅板的遊戲,每一局三人各擲銅板1次;在某局中,當有一人投擲結果與其他二人不同時,此人就出局且遊戲終止;否則就進入下一局,並依前述規則繼續進行,直到有人出局為止。試問下列哪些選項是正確的?
(1) 第一局甲就出局的機率是\(\frac{1}{3}\)
(2) 第一局就有人出局的機率是\(\frac{1}{2}\)
(3) 第三局才有人出局的機率是\(\frac{3}{{64}}\)
(4) 已知到第十局才有人出局,則甲出局的機率是\(\frac{1}{3}\)
(5) 該遊戲在終止前,至少玩了六局的機率大於\(\frac{1}{{1000}}\) 。
【97甲】


11. 某實驗室欲評估血液偵測老年癡呆症技術的誤判率(即偵測錯誤的機率)。共有760人接受此血液偵測技術實驗,實驗前已知樣本中有735人未患老年癡呆症。實驗後,血液偵測判斷為未患老年癡呆症者有665人,其中真正未患老年癡呆症有660人。試問此血液偵測技術的誤判率為__________。(化成最簡分數)
【98乙】


12. 擲一均勻硬幣,若連續三次出現同一面就停止。設:
\(a\)為恰好投擲三次停止的機率;
\(b\)為在第一次是反面的情況下,恰好在第四次停止的條件機率;
\(c\)為在第一、二次都是反面的情況下,恰好在第五次停止的條件機率。
則下列哪一個選項是正確的?
(1) \(a = b = c\)
(2) \(a > b > c\)
(3) \(a < b < c\)
(4) \(a < b = c\)
(5) \(a > b = c\)。
【98甲】


13. 袋子裡有3顆白球,2顆黑球。由甲、乙、丙三人依序各抽取1顆球,抽取後不放回。若每顆球被取出的機會相等,請問在甲和乙抽到相同顏色球的條件下,丙抽到白球之條件機率為何?
(1) \(\frac{1}{3}\)
(2) \(\frac{5}{{12}}\)
(3) \(\frac{1}{2}\)
(4) \(\frac{3}{5}\)
(5) \(\frac{2}{3}\)。
【102學測】


14. 不透明袋中有3白3紅共6個球,球大小形狀相同,僅顏色相異。甲、乙、丙、丁、戊5人依甲第一、乙第二、… …、戊第五的次序,從袋中各取一球,取後不放回。試問在甲、乙取出不同色球的條件下,戊取得紅球的機率為__________。(化為最簡分數)

【104學測】


15. 一個抽獎活動依排隊順序抽獎,輪到抽獎的人有一次抽獎機會,抽獎方式為丟擲一枚公正銅板,正面為中獎,反面為沒中獎。獎品有三份,活動直到三份獎品都被抽中為止。則在排第四位的人可以抽獎的情況下,排第五位的人可以抽獎的條件機率為__________。(化成最簡分數)

【99甲】


16. 符號\(P(C)\)代表事件\(C\)發生的機率,符號\(P(C|D)\)代表在事件\(D\)發生的條件下,事件\(C\)發生的機率。今設\(A,\;B\)為樣本空間中的兩個事件,已知\(P(A) = P(B) = 0.6\)。請選出正確的選項。
(1) \(P(A \cup B) = 1\)
(2) \(P(A \cap B) = 0.2\)
(3) \(P(A|B) = 1\)
(4) \(P(A|B) = P(B|A)\)
(5) \(A,\;B\)是獨立事件。
【100乙】


17. 某公司員工中有15%為行政人員,35%為技術人員,50%為研發人員。這些員工中60%的行政人員有大學文憑 40%的技術人員有大學文憑80%的研發人員有大學文憑。從有大學文憑的員工中隨機抽選一人,他(或她)是技術人員的機率是下列哪一個選項?
(1) \(\frac{2}{9}\)
(2) \(\frac{1}{3}\)
(3) \(\frac{4}{9}\)
(4) \(\frac{1}{5}\)
(5) \(\frac{2}{5}\)。
【101甲】


18. 某疾病可分為兩種類型:第一類占70%,可藉由藥物A治療,其每一次療程的成功率為70%,且每一次療程的成功與否互相獨立;其餘為第二類,藥物A治療方式完全無效。在不知道患者所患此疾病的類型,且用藥物A第一次療程失敗的情況下,進行第二次療程成功的條件機率最接近下列哪一個選項?
(1) 0.25
(2) 0.3
(3) 0.35
(4) 0.4
(5) 0.45。
【103學測】


19. 請選出正確的選項。
(1) 隨機亂數表的任一列中,0到9各數字出現的次數皆相同
(2) 擲一枚均勻的銅板10次,若前5次出現3次正面與2次反面,則後5次必定出現2次正面與3次反面
(3) 投擲一枚均勻的銅板2次,在正面至少出現1次的條件下,2次都出現正面的條件機率等於\(\frac{1}{3}\)
(4) 投擲6顆公正的骰子,1、2、3、4、5、6點都出現的機率小於\(\frac{1}{6}\)
(5) 從一副52張的撲克牌(紅黑各有26張)中,隨機抽取相異的兩張,這兩張牌都是紅色的機率為\(\frac{1}{4}\)
【103乙】


20. 有兩組供機器運作的配件A、B,其單獨發生故障的機率分別為0.1、0.15。只有當A, B都發生故障時,此機器才無法運作。A、B兩配件若用串接方式,前面故障會導致後面故障,但若後面故障則不會影響前面的故障情形;若用並列方式,則故障情形互不影響。若考慮以下三種情形:
(一) 將B串接於A之後
(二) 將A串接於B之後
(三) 將A, B獨立並列
在情況(一)、(二)、(三)之下,機器無法運作的機率分別為\({p_1}\)、\({p_2}\)、\({p_3}\)。請選出正確的選項。
(1) \({p_1} > {p_2} > {p_3}\)
(2) \({p_2} > {p_1} > {p_3}\)
(3) \({p_3} > {p_2} > {p_1}\)
(4) \({p_3} > {p_1} > {p_2}\)
(5) \({p_1} = {p_2} > {p_3}\)
【104學測】


21. 被診斷為不孕症的患者,可分為兩類:第一類為可藉人工方式受孕;其餘患者為第二類,無法藉由人工方式受孕。第一類在不孕症的患者中所佔比例為\(p\)(\(0 < p < 1\)),而每做一次人工受孕成功的機率為\(q\)(\(0 < q < 1\)),且每次成功與否互相獨立。不孕症的患者除非人工受孕成功,否則無法得知是屬於哪一類的患者。請選出正確的選項。
(1) 不孕症的患者,第一次人工受孕失敗的機率為\((1 - p)(1 - q)\)
(2) 在人工受孕失敗一次的情況下,屬於第二類不孕症患者的條件機率為\(\frac{{1 - p}}{{1 - pq}}\)
(3) 若醫學進步,讓人工受孕成功的機率\(q\)提高了,則在人工受孕失敗一次的情況下,屬於第二類不孕症患者的條件機率會降低
(4) 在第一類的患者中,做一次人工受孕就成功的機率大於做兩次才成功的機率
(5) 若醫學進步,讓人工受孕成功的機率\(q\)提高了,則在第一類的患者中,做一次人工受孕就成功的機率會增加,而做兩次才成功的機率會降低
【104甲】


22. 某校數學教師針對高三學生隨機選出30名男學生及20名女學生,做新教材適應性的調查,每一位學生都要填答,且只能填答適應或不適應。結果有35名學生填答無法適應新教材內容。假設學生性別與適應狀況獨立,請完成下列表格,使其最能符合上述假設。
【104乙】

                 適應狀況

性別

適應 不適應(35人)
男生(30人) __________ __________
女生(20人) __________ __________

 

23. 甲、乙、丙、丁四位男生各騎一台機車約\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)四位女生一起出遊,他們約定讓四位女生依照\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)的順序抽鑰匙來決定搭乘哪位男生的機車。其中除了\(B\)認得甲的機車鑰匙,並且絕對不會選取之外,每個女生選取這些鑰匙的機會都均等。請選出正確的選項。
(1) \(A\)抽到甲的鑰匙的機率大於\(C\)抽到甲的鑰匙的機率
(2) \(C\)抽到甲的鑰匙的機率大於\(D\)抽到甲的鑰匙的機率
(3) \(A\)抽到乙的鑰匙的機率大於\(B\)抽到乙的鑰匙的機率
(4) \(B\)抽到丙的鑰匙的機率大於\(C\)抽到丙的鑰匙的機率
(5) \(C\)抽到甲的鑰匙的機率大於\(C\)抽到乙的鑰匙的機率
【105學測】

Ans:
1. \(\frac{{83}}{{100}}\)
2. \(\frac{{46}}{{91}}\)
3. \(\frac{{20}}{{21}}\)
4. 0.01
5. (1)(2)
6. (1)(3)
7. 0.15
8. \(\frac{5}{{21}}\)
9. (2)
10. (3)(4)
11. \(\frac{2}{{19}}\)
12. (5)
13. (3)
14. \(\frac{1}{2}\)
15. \(\frac{{11}}{{14}}\)
16. (4)
17. (1)
18. (2)
19. (3)(4)
20. (2)
21. (2)(4)
22. 9,21,6,14
23. (4)(5)

Log in to comment

sgod 的個人頭像
sgod replied the topic: #612 4 年 1 個月 ago
關於機率的問題可以在這快速回覆或者到討論區中的「中學數學」版中討論

Share this post

Submit to FacebookSubmit to Google PlusSubmit to Twitter