二維數據分析


1. 下圖為某年級國文、英文、歷史三科成績分布情形的直方圖。根據該圖,下列哪些推論是合理的?

sa7 6
(A) 歷史的平均分數比國文的平均分數低
(B) 歷史的平均分數最低
(C) 英文的標準差比國文的標準差小
(D) 英文的標準差最大
(E) 「國文與歷史之相關係數」比「國文與英文之相關係數」高。

【85推甄】


2. 下圖中,有五組數據,每組各有\(A\),\(B\),\(C\),\(D\),\(E\),\(F\)等六個資料點 設各組的相關係數由左至右分別為\({r_1}\),\({r_2}\),\({r_3}\),\({r_4}\),\({r_5}\),則下列關係式何者為真?
(A) \({r_1} = {r_2}\)
(B) \({r_2} < {r_3}\)
(3) \({r_3} > {r_4}\)
(4) \({r_3} < {r_5}\)
(5) \({r_4} = {r_5}\)。

sa7 7
【86推甄】


3. 有學生十人(甲、乙、…、癸),其期考數學成績與該學期數學課缺課,如下表如示:

學 生
缺課數 1 2 3 3 4 3 5 6 3 0
成 績 100 90 90 80 70 70 60 60 80 100

設兩者的相關係數為r,則
(A) \( - 1 \le r \le - 0.6\)
(B) \( - 0.6 < r < - 0.2\)
(C) \( - 0.2 \le r \le 0.2\)
(D) \(0.2 < r < 0.6\)
(E) \(0.6 \le r \le 1\) 。
【86自】


4. 右圖表兩組數據\(x\),\(y\)的分布圖,試問其相關係數\(r\)最接近下列何值?

sa7 8
(A) 1
(B) 0.5
(C) 0
(D) \( - 0.5\)
(E) \( - 1\)。
【88社】

5. 令\(X\)代表每個高中生平均每天研讀數學的時間(以小時計),則\(W = 7(24 - X)\)代表每個高中生平均每周花在研讀數學以外的時間。令\(Y\)代表每個高中生數學學科能力測驗的成績。設\(X\),\(Y\)之相關係數為\({R_{XY}}\),\(W\),\(Y\)之相關係數為\({R_{WY}}\),則\({R_{XY}}\)與\({R_{WY}}\)兩數之間的關係,下列選項何者為真?
(A) \({R_{WY}} = 7(24 - {R_{XY}})\)
(B) \({R_{WY}} = 7{R_{XY}}\)
(C) \({R_{WY}} = - 7{R_{XY}}\)
(D) \({R_{WY}} = {R_{XY}}\)
(E) \({R_{WY}} = - {R_{XY}}\) 。
【90推甄】


6. 某班的50名學生參加一項考試,考題共有100題,全為5選1的單選題。計分法共有\(X\)、\(Y\)兩種;若某學生有\(N\)題放棄沒答,\(R\)題答對,\(W\)題答錯,則\(X = R - \frac{W}{4}\),\(Y = R + \frac{N}{5}\)。試問下列敘述哪些是正確的?
(A) 同一學生的\(X\)分數不可能大於\(Y\)分數
(B) 全班\(X\)分數的算術平均數不可能大於\(Y\)分數的算術平均數
(C) 任兩學生\(X\)分數的差之絕對值不可能大於\(Y\)分數的差之絕對值
(D) 用\(X\)分數將全班排名次的結果與用\(Y\)分數排名次是完全相同的
(E) 兩種分數的相關係數為1 。
【90自】


7. 英國某實驗室研究一金屬圓柱(原高70.5英寸)在不同負重下對柱高的影響,其實驗結果如下:

\((\,0\;,\;70.5\,)\) \((\,2\;,\;69.4\,)\) \((\,4\;,\;68.4\,)\) \((\,6\;,\;67.2\,)\) \((\,8\;,\;66.3\,)\) \((\,10\;,\;65.5\,)\) \((\,12\;,\;64.4\,)\)


將此筆資料的相關係數記為\(r\),以最小平方法決定的直線斜率記為\(m\)。現為提供台灣廠商資料,將單位轉換為公噸(1英噸等於1.016公噸)及公分(1英寸等於2.54公分),若單位換算後該資料的相關係數記為\(R\),以最小平方法決定的直線斜率記為\(M\)。下列關係有哪些是正確的?
(1) \(r \cdot m > 0\)
(2) \(r > 0\)
(3) \(r = R\)
(4) \(m = M\)。
【93甲補】


8. 某校高三共有300位學生,數學科第一次段考、第二次段考成績分別以\(X\)、\(Y\)表示,且每位學生的成績用0至100評分。若這兩次段考數學科成績的相關係數為0.016,試問下列哪些選項是正確的?
(1) \(X\)與\(Y\)的相關情形可以用散布圖表示
(2) 這兩次段考的數學成績適合用直線\(X = a + bY\)表示\(X\)與\(Y\)的相關情形(\(a,\;b\)為常數,\(b \ne 0\))
(3) \(X + 5\)與\(Y + 5\)的相關係數仍為0.016
(4) \(10X\)與\(10Y\)的相關係數仍為0.016
(5) 若\(X' = \frac{{X - \overline X }}{{{S_X}}}\)、\(Y' = \frac{{Y - \overline Y }}{{{S_Y}}}\),其中\(\overline X \)、\(\overline Y \)分別為\(X\)、\(Y\)的平均數,\({S_X}\)、\({S_Y}\)分別為\(X\)、\(Y\)的標準差,則\(X'\)與\(Y'\)的相關係數仍為0.016 。

【96甲】


9. 某人進行一實驗來確定某運動之距離\(d\)與時間\(t\)的平方或立方成正比,所得數據如下:

sa7 9

為探索該運動的距離與時間之關係,令\(x = {\log _2}t\),\(y = {\log _2}d\),即將上述的數據\((\,t\;,\;d\,)\)分別取以2為底的對數變換,例如:\((\,2\;,\;53.65\,)\)變換後成為\((\,1\;,\;5.74\,)\)。已知變換後的數據\((\,{x_1}\;,\;{y_1}\,),\;(\,{x_2}\;,\;{y_2}\,),\; \cdots \;,\;(\,{x_9}\;,\;{y_9}\,)\)之散佈圖及以最小平方法所求得變數\(y\)對變數\(x\)的最適合直線(或稱迴歸直線)為\(y = a + bx\),如圖所示:

sa7 10
試問下列哪些選項是正確的?
(1) 若\(d = 14.88\),則\(3 < {\log _2}d < 4\)
(2) \(x\)與\(y\)的相關係數小於0.2
(3) 由上圖可以觀察出\(b > 2.5\)
(4) 由上圖可以觀察出\(a > 2\)
(5) 由上圖可以確定此運動之距離與時間的立方約略成正比 。
【97甲】

10. A,B,C,D是四組資料的散佈圖,如圖所示。利用最小平方法計算它們的迴歸直線,發現有兩組資料的迴歸直線相同,試問是哪兩組?

sa7 11 1sa7 11 2sa7 11 3sa7 11 4
(1) A、B
(2) A、C
(3) A、D
(4) B、C
(5) B、D。
【98乙】

11. 經濟學者分析某公司服務年資相近的員工之「年薪」與「就學年數」的資料,得到這樣的結論:『員工就學年數每增加一年,其年薪平均增加8萬5千元』。試問上述結論可直接從下列哪些選項中的統計量得到?
1) 「年薪」之眾數與「就學年數」之眾數
(2) 「年薪」之全距與「就學年數」之全距
(3) 「年薪」之平均數與「就學年數」之平均數
(4) 「年薪」與「就學年數」之相關係數
(5) 「年薪」對「就學年數」之迴歸直線斜率。
【98乙】


12. 調查某國家某一年5個地區的香煙與肺癌之相關性,所得到的數據為\((\,{x_i}\;,\;{y_i}\,)\),\(i = 1,\;2,\;3,\;4,\;5\),其中變數\(X\)表示每人每年香煙消費量(單位:十包),\(Y\)表示每十萬人死於肺癌的人數。若已計算出下列數值:
\(\begin{array}{l}\sum\limits_{i = 1}^5 {{x_i}} = 135\;,\quad \quad \sum\limits_{i = 1}^5 {{x_i}^2} = 3661\;,\quad \quad \sum\limits_{i = 1}^5 {{x_i}} {y_i} = 2842\;,\\\sum\limits_{i = 1}^5 {{y_i}} = 105\;,\quad \quad \sum\limits_{i = 1}^5 {{y_i}^2} = 2209\;,\end{array}\)
則\(X\)與\(Y\)的相關係數\(r = \)__________。
【99乙】
(參考說明:相關係數\(r = \frac{{\sum\limits_{i = 1}^n {({x_i} - \bar x)({y_i} - \bar y)} }}{{\sqrt {\sum\limits_{i = 1}^n {{{({x_i} - \bar x)}^2}} } \cdot \sqrt {\sum\limits_{i = 1}^n {{{({y_i} - \bar y)}^2}} } }} = \frac{{\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}{y_i} - n \cdot \bar x \cdot \bar y} }}{{\sqrt {\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}^2 - n \cdot {{\bar x}^2}} } \cdot \sqrt {\sum\limits_{i = 1}^n {{y_i}^2 - n \cdot {{\bar y}^2}} } }}\))


13. 已知以下各選項資料的迴歸直線(最適合直線)皆相同且皆為負相關,請選出相關係數最小的選項。
(1)

x 2 3 5
y 1 13 1

(2)

x 2 3 5
y 3 10 2


(3)

x 2 3 5
y 5 7 3


(4)

x 2 3 5
y 9 1 5


(5)

x 2 3 5
y 7 4 4

【102學測】

14. 某研究所處理個人申請入學,其甄選總成績係採計測驗A分數及測驗B分數各占50%。50位申請同學依甄選總成績高低排序,錄取前20名。現依准考證號碼順序,將這些同學的成績列表如下:(例如,第一位同學的測驗A分數及測驗B分數分別為93分及28分)

測驗A 93 98 100 100 100 98 96 96 98 96 96 98 98
測驗B 28 50 59 22 52 67 30 15 46 11 72 21 59
測驗A 93 100 100 100 100 98 98 96 98 100 96 100 96
測驗B 24 13 53 33 61 57 55 26 35 40 9 60 23
測驗A 96 96 96 100 100 96 98 98 91 100 96 100 98
測驗B 66 29 34 58 55 35 16 28 28 72 51 39 40
測驗A 98 96 96 93 98 96 98 98 98 98 93    
測驗B 18 43 8 38 32 53 38 53 30 54 72    


所有學生測驗A分數的平均數為97.38,而測驗B分數的平均數為40.22。現從甄選總成績、測驗A分數及測驗B分數之中任選兩種成績作散佈圖,圖甲及圖乙為其中之二;兩圖中各有50個資料點,每一點代表一位同學;兩個橫軸與縱軸之單位長可能皆不相同。請選出正確的選項。

sa7 12
(1) 圖乙的橫軸為測驗A分數
(2) 圖乙的縱軸為甄選總成績
(3) 圖甲的橫軸為甄選總成績
(4) 若只以測驗B分數高低錄取20位同學(不採計測驗A分數),錄取的同學與以甄選總成績高低錄取的同學完全相同
(5) 甄選總成績的平均數為97.38及40.22的平均數。

【102乙】


15. 小明參加某次路跑10公里組的比賽,下表爲小明手錶所記錄之各公里的完成時間、平均心率及步數:

  完成時間 平均心律 步數
第一公里 5:00 161 990
第二公里 4:50 162 1000
第三公里 4:50 165 1005
第四公里 4:55 162 995
第五公里 4:40 171 1015
第六公里 4:41 170 1005
第七公里 4:35 173 1050
第八公里 4:35 181 1050
第九公里 4:40 171 1050
第十公里 4:34 188 1100


在這10公里的比賽過程,請依據上述數據,選出正確的選項。
(1) 由每公里的平均心率得知小明最高心率爲188
(2) 小明此次路跑,每步距離的平均小於1公尺
(3) 每公里完成時間和每公里平均心率的相關係數爲正相關
(4) 每公里步數和每公里平均心率的相關係數爲正相關
(5) 每公里完成時間和每公里步數的相關係數爲負相關
【104學測】
16. 下表是某國在2009 年至2015 年間, 運動選手的人數統計:

年份 男生 女生
2009 3410 1950
2010 3420 2000
2011 3540 2240
2012 3710 2370
2013 3830 2650
2014 3920 2780
2015 3990 2860


關於該國運動選手, 請根據這張表選出正確的敘述。
(1) 從2009年到2015年,男運動選手增加的總人數比女運動選手增加的總人數多
(2) 從2009年到2015年,平均一年增加了580名男運動選手
(3) 從2009年到2015年,男女運動選手人數差距逐年持續縮小
(4) 如果分別計算男女運動選手人數對年份的迴歸直線(最適直線),則男生的直線斜率小於女生的直線斜率
(5) 在2009年到2015年共7年中, 全國平均一年有超過6000名運動選手
【104乙】

Ans:
1. (A)(B)(D)
2. (A)(B)(E)
3. (A)
4. (C)
5. (E)
6. (A)(B)(D)(E)
7. (1)(3)
8. (1)(3)(4)(5)
9. (1)(4)
10. (4)
11. (5)
12. 875
13. (5)
14. (1)(2)(4)(5)
15. (2)(4)(5)
16. (4)(5)

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sgod replied the topic: #614 3 年 11 個月 ago
關於數據分析的問題可以在這快速回覆或者到討論區中的「中學數學」版中討論

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