直角三角形邊角關係與廣義角


1. 設\(\Delta ABC\)的三頂點\(A\),\(B\),\(C\)所對邊的邊長分別為\(a\),\(b\),\(c\),\(\overline {AH} \)為高,則\(\overline {AH} \)之長為 (A) \(b \cdot \sin B\) (B) \(c \cdot \sin C\) (C) \(b \cdot \sin C\) (D) \(c \cdot \sin B\) (E) \(a \cdot \sin A\) 。
【88推甄】

2. 在平面上有一正方形\(ABCD\),\(AB\)、\(BC\)、\(CD\)、\(DA\)的延長線分別交直線\(L\)於\(P\)、\(Q\)、\(R\)、\(S\)。已知\(PR = 3\)、\(QS = 4\),則正方形\(ABCD\)的邊長為__________。
【91學測補】

sa8 1

3. 某人在\(O\)點測量到遠處有一物件作等速直線運動。開始時該物位置在\(P\)點,一分鐘後,其位置在\(Q\)點,且\(\angle POQ = {90^ \circ }\)。再過一分鐘後,該物位置在\(R\)點,且\(\angle QOR = {30^ \circ }\)。請以最簡分數表示\({\tan ^2}(\angle OPQ) = \)__________。
【91甲】

4. 如下圖所示,一個大的正八角星的頂點為周圍八個全等的小正八角星中心,相鄰的兩個小八角星有一個共同的頂點。觀察圖中虛線部分,設小八角星頂點\(C\)到其中心\(A\)距離為\(a\),大八角星頂點\(A\)到其中心的距離\(O\)為\(b\)。試問\(a:b\)的比值為__________。
【91乙】

sa8 2

5. 下圖是由三個直角三角形堆疊而成的圖形,且\(\overline {OD} = 8\)。問:直角三角形\(OAB\)的高\(\overline {AB} \)為何? (1) 1 (2) \(\sqrt 6 - \sqrt 2 \) (3) \(\sqrt 7 - 1\) (4) \(\sqrt 3 \) (5) 2
【95學測】

sa8 3

6. 試問下列哪些選項中的數是有理數?
(1) 3.1416
(2) \(\sqrt 3 \)
(3) \({\log _{10}}\sqrt 5 + {\log _{10}}\sqrt 2 \)
(4) \(\frac{{\sin {{15}^ \circ }}}{{\cos {{15}^ \circ }}} + \frac{{\cos {{15}^ \circ }}}{{\sin {{15}^ \circ }}}\)
(5) 方程式\({x^3} - 2{x^2} + x - 1 = 0\)的唯一實根 。
【98學測】

7. 設圓\(O\)之半徑為24,\(\overline {OC} = 26\),\(\overline {OC} \)交圓\(O\)於\(A\)點,\(\overline {CD} \)切圓\(O\)於\(D\)點,\(B\)為\(A\)點到\(\overline {OD} \)的垂足,如右邊的示意圖。則\(\overline {AB} = \)__________。(化為最簡分數)
【103學測】

sa8 4


8. 下圖為汽車迴轉示意圖。汽車迴轉時,將方向盤轉動到極限,以低速讓汽車進行轉向圓周運動,汽車轉向時所形成的圓周的半徑就是迴轉半徑,如圖中的\(\overline {BC} \)即是。已知在低速前進時,圖中\(A\)處的輪胎行進方向與\(\overline {AC} \)垂直,\(B\)處的輪胎行進方向與\(\overline {BC} \)垂直。在圖中, 已知軸距\(\overline {AB} \)為2.85公尺,方向盤轉到極限時,輪子方向偏了28度, 試問此車的迴轉半徑\(\overline {BC} \)為__________公尺。(小數點後第一位以下四捨五入,\(\sin {28^ \circ } \approx 0.4695,\;\cos {28^ \circ } \approx 0.8829\))
【104學測】

sa8 5


9. 在\(\Delta ABC\)中,下列哪些選項的條件有可能成立?
(1) \(\sin A = \sin B = \sin C = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
(2) \(\sin A\),\(\sin B\),\(\sin C\)均小於\(\frac{1}{2}\)
(3) \(\sin A\),\(\sin B\),\(\sin C\)均大於\(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
(4) \(\sin A = \sin B = \sin C = \frac{1}{2}\)
(5) \(\sin A = \sin B = \frac{1}{2}\),\(\sin C = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) 。
【91學測】

10. 如下圖\(\angle BAC = \theta \),\(\angle ABD = \angle ACD = {90^ \circ }\),\(\overline {AB} = a\),\(\overline {BD} = b\)。下列選項何者可以表示\(\overline {CD} \)?
(1) \(a\sin \theta + b\cos \theta \)
(2) \(a\sin \theta - b\cos \theta \)
(3) \(a\cos \theta - b\sin \theta \)
(4) \(a\cos \theta + b\sin \theta \)
(5) \(a\sin \theta + b\tan \theta \) 。

sa8 6

【93乙】

11. 請問\(\sin {73^ \circ }\)、\(\sin {146^ \circ }\)、\(\sin {219^ \circ }\)、\(\sin {292^ \circ }\)、\(\sin {365^ \circ }\)這五個數值的中位數是哪一個?
(1) \(\sin {73^ \circ }\)
(2) \(\sin {146^ \circ }\)
(3) \(\sin {219^ \circ }\)
(4) \(\sin {292^ \circ }\)
(5) \(\sin {365^ \circ }\)
【105學測】

Ans:
1. (C)(D)
2. \(\frac{{12}}{5}\)
3. \(\frac{3}{4}\)
4. \(\frac{{\sqrt {2 - \sqrt 2 } }}{2}\)
5. (4)
6. (1)(3)(4)
7. \(\frac{{120}}{{13}}\)
8. 6.1
9. (1)(2)(5)
10. (2)
11. (5)

 

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sgod replied the topic: #616 3 年 3 個月 ago
關於三角函數的問題可以在這快速回覆或者到討論區中的「中學數學」版中討論

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