正弦定理與餘弦定理

 


1. 已知圓內接四邊形的各邊長為\(\overline {AB} = 1\),\(\overline {BC} = 2\),\(\overline {CD} = 3\),\(\overline {DA} = 4\),則對角線\(\overline {BD} \)的長度為__________。
【86推甄】

2. 一個正三角形的面積為36,今截去三個角(如下圖),使成為正六邊形,此正六邊形的面積為__________。
【88推甄】

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3. 已知四邊形\(ABCD\)中,\(\overline {AB} = 8\),\(\overline {CD} = 8\),\(\overline {AD} = 3\)且\(\angle ABC = \angle ADC = {60^ \circ }\),試求\(\overline {BC} \)之長。
【89社】

4. \(\Delta ABC\)中,\(\overline {BC} \)邊上兩點\(D\)、\(E\)分別與\(A\)連線。假設\(\angle ACB = \angle ADC = {45^ \circ }\),三角形\(ABC\),\(ABD\),\(ABE\)的外接圓直徑分別為\(c\),\(d\),\(e\)。請問下列何者為真?
(1) \(c < e < d\)
(2) \(d < e < c\)
(3) \(e < c\),\(d < c\)
(4) \(d = c < e\)
(5) \(d = c > e\) 。
【91學測補】

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5. 如圖所示\(\Delta ABC\)中,\(D\)為邊\(\overline {BC} \)上一點,且\(\overline {AB} = \overline {AC} = 5\),\(\overline {AD} = 4\),\(\overline {BD} = 2\),\(\overline {DC} = a\)。則\(a = \)____________。
【92乙】

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6. 設\(\Delta ABC\)為一等腰直角三角形,\(\angle BAC = {90^ \circ }\),若\(P\),\(Q\)為斜邊\(\overline {BC} \)的三等分點,則\(\tan \angle PAQ = \)__________。(化成最簡分數)
【93學測】

 

7. 銳角三角形\(ABC\),\(D\)為\(\overline {BC} \)上一點,令\(\overline {AC} = b\)、\(\overline {AB} = c\)、\(\overline {BD} = d\)、\(\overline {CD} = e\)。假設\({c^2} - {d^2} = {b^2} - {e^2}\),求證\(\overline {AD} \)與\(\overline {BC} \)垂直。(12分)
【93甲補】

8. 如下圖所示,在\(\Delta ABC\)中,\(\angle BAC\)的平分線\(AD\)交對邊\(\overline {BC} \)於\(D\);已知\(\overline {BD} = 3\),\(\overline {DC} = 6\),且\(\overline {AB} = \overline {AD} \),則\(\cos \angle BAD\)之值為__________。
【94學測】

sa8 10

9. 如圖所示,\(ABCD\)為圓內接四邊形:若\(\angle DBC = {30^ \circ }\),\(\angle ABD = {45^ \circ }\),\(\overline {CD} = 6\),則線段\(\overline {AD} = \)__________。
【95學測】

sa8 11

10. 在三角形\(ABC\)中,若\(D\)點在\(\overline {BC} \)邊上,且\(\overline {AB} = 7\),\(\overline {AC} = 13\),\(\overline {BD} = 7\),\(\overline {CD} = 8\),則\(\overline {AD} = \)__________。
【95學測】

11. 嘌呤是構成人體基因的重要物質,它的化學結構式主要是由一個正五邊形與一個正六邊形構成(令它們的邊長均為1)的平面圖形,如下圖所示:

試問以下哪些選項是正確的?
(1) \(\angle BAC = {54^ \circ }\)
(2) \(O\)是\(\Delta ABC\)的外接圓圓心
(3) \(\overline {AB} = \sqrt 3 \)
(4) \(\overline {BC} = 2\sin {66^ \circ }\) 。
【95乙】

sa8 12

12. 在\(\Delta ABC\)中,\(M\)為\(\overline {BC} \)邊之中點,若\(\overline {AB} = 3\),\(\overline {AC} = 5\),且\(\angle BAC = {120^ \circ }\),則\(\tan \angle BAM = \)__________。(化成最簡分數)
【96學測】

13. 設\(f(x) = {x^3} - 6{x^2} - x + 30\),且\(a,\;b\)是方程式\(f(x) = 0\)的兩正根。
(1) (3分) 求解三次方程式\(f(x) = 0\)。
(2) (8分) 若\(\Delta ABC\)中,\(\overline {AC} = a\),\(\overline {BC} = 3\),\(\angle ACB = {120^ \circ }\),且\(D,\;E\)是\(\overline {AB} \)上兩點,滿足\(\overline {BD} = \overline {BC} \),\(\overline {AE} = \overline {AC} \),試求\(\Delta CDE\)的面積。
【96甲】

14. 在與水平面成\({10^ \circ }\)的東西向山坡上,鉛直(即與水平面垂直)立起一根旗竿。當陽光從正西方以俯角\({60^ \circ }\)平行投射在山坡上時,旗竿的影子長為11公尺,如下圖所示(其中箭頭表示陽光投射的方向,而粗黑線段表示旗竿的影子)。

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試問旗竿的長度最接近以下哪一選項?
(1) 19.1公尺
(2) 19.8公尺
(3) 20.7公尺
(4) 21.1公尺
(5) 21.7公尺 。

參考數值:
\(\sin {10^ \circ } \approx 0.174\),\(\sin {20^ \circ } \approx 0.342\),\(\cos {10^ \circ } \approx 0.985\),\(\cos {20^ \circ } \approx 0.940\),\(\sqrt 3 \approx 1.732\)。
【97甲】

15. 設\(\Delta ABC\)的三高分別為\(\overline {AD} = 6\),\(BE = 4\),\(\overline {CF} = 3\)
(1) (6 分) 試證:\(\Delta ABC\)是一鈍角三角形。
(2) (8 分) 試求\(\Delta ABC\)的面積。
【97甲】

16. 若三角形\(ABC\)的\(\overline {AB} = 8\)、\(\overline {AC} = 4\sqrt 5 \)及\(\cos \angle BAC = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\),則\(\sin \angle ACB = \)__________。(化為最簡分數)
【97乙】

17. 假設甲、乙、丙三鎮兩兩之間的距離皆為20公里。兩條筆直的公路交於丁鎮,其中之一通過甲、乙兩鎮而另一通過丙鎮。今在一比例精準的地圖上量得兩公路的夾角為\({45^ \circ }\),則丙、丁兩鎮間的距離約為
(1) 24.5公里
(2) 25公里
(3) 25.5公里
(4) 26公里
(5) 26.5公里 。
【98學測】

18. 在\(\Delta ABC\)中,\(\overline {AB} = 10\),\(\overline {AC} = 9\),\(\cos \angle BAC = \frac{3}{8}\)。設點\(P\)、\(Q\)分別在邊\(AB\)、\(AC\)上使得\(\Delta APQ\)之面積為\(\Delta ABC\)面積之一半,則\(\overline {PQ} \)之最小可能值為__________。(化成最簡分數)
【98學測】

19. 在\(\Delta ABC\)中,已知\(\overline {AB} = 5\),\(\cos \angle ABC = - \frac{3}{5}\),且其外接圓半徑為\(\frac{{13}}{2}\),則\(\sin \angle BAC = \)__________。(化成最簡分數)
【99甲】

20. 四邊形\(ABCD\)中,\(\overline {AB} = 1\),\(\overline {BC} = 5\),\(\overline {CD} = 5\),\(\overline {DA} = 7\),且\(\angle DAB = \angle BCD = {90^ \circ }\),則對角線\(\overline {AC} \)長為__________。
【100學測】

21. 在邊長為13的正三角形\(ABC\)上各邊分別取一點\(P,\;Q,\;R\),使得\(APQR\)形成一平行四邊形,如下圖所示:若平行四邊形\(APQR\)的面積為\(20\sqrt 3 \),則線段\(PR\)的長度為__________。
【101學測】

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22. 在\(\Delta ABC\)中,\(D\)為\(\overline {BC} \)邊上一點且\(\overline {AD} \)平分\(\angle BAC\)。已知\(\overline {BD} = 5\)、\(\overline {DC} = 7\),且\(\angle ABC = {60^ \circ }\)。
(1) 試求\(\sin \angle ACB\)之值。(4分)
(2) 試求\(\sin \angle BAC\)之值。(4分)
(3) 試求\(\overline {AB} \)邊之長。(4分)
【101甲】

23. 如圖,正三角形\(ABC\)的邊長為1,並且\(\angle 1 = \angle 2 = \angle 3 = {15^ \circ }\)。已知\(\sin {15^ \circ } = \frac{{\sqrt 6 - \sqrt 2 }}{4}\),則正三角形\(DEF\)的邊長為__________。(化為最簡根式)
【103學測】

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24. 在(凸)四邊形\(ABCD\)中,已知\(\overline {AB} = 3\),\(\overline {BC} = 4\),\(\overline {CD} = 3\),\(\overline {DA} = x\),且對角線\(\overline {AC} = 4\)。請選出正確的選項:
(1) \(\cos \angle ABC \ge \frac{3}{7}\)
(2) \(\cos \angle BAD > \cos \angle ABC\)
(3) \(x\)可能為1
(4) \(x < \frac{{13}}{2}\)
(5) 若\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)四點共圓,則\(x = \frac{7}{4}\)
【103甲】

25. 有一時鐘的時針長度為5公分,分針長度為8公分。假設時針針尖每分鐘所移動的弧長都相等。
(1) 試求時針針尖每分鐘所移動的弧長。(3分)
(2) 已知時針針尖與分針針尖距離為7公分,求時針和分針所夾的角度。(4分)
(3) 試問在六點與六點半之間,時針針尖與分針針尖的距離最接近7公分是在六點幾分(取至最接近的整數分鐘)?(4分)
【104甲】

26. 在\(\Delta ABC\)中,已知\(\angle A = {20^ \circ }\)、\(\overline {AB} = 5\)、\(\overline {BC} = 4\)。請選出正確的選項。
(1) 可以確定\(\angle B\)的餘弦值
(2) 可以確定\(\angle C\)的正弦值
(3) 可以確定\(\Delta ABC\)的面積
(4) 可以確定\(\Delta ABC\)的內切圓半徑
(5) 可以確定\(\Delta ABC\)的外接圓半徑
【105學測】

Ans:
1. \(\sqrt {\frac{{77}}{5}} \)
2. 24
3. 3或5
4. (5)
5. \(\frac{9}{2}\)
6. \(\frac{3}{4}\)
7. 略
8. \(\frac{3}{4}\)
9. \(\sqrt {72} \)
10. 7
11. (2)(3)(4)
12. \(5\sqrt 3 \)
13. (1) 5,3,\( - 2\) (2) \(\frac{{15\sqrt 3 }}{{28}}\)
14. (3)
15. (2) \(\frac{{16\sqrt {15} }}{5}\)
16. \(\frac{4}{5}\)
17. (1)
18. \(\frac{{15}}{2}\)
19. \(\frac{{33}}{{65}}\)
20. \(\sqrt {32} \)
21. 7
22. (1) \(\frac{{5\sqrt 3 }}{{14}}\) (2) \(\frac{{4\sqrt 3 }}{7}\) (3) \(\frac{{15}}{2}\)
23. \(\frac{{\sqrt 6 }}{2} - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
24. (4)(5)
25. (1) \(\frac{\pi }{{72}}\)公分 (2) \({60^ \circ }\) (3) 22
26. (2)(5)

 

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sgod replied the topic: #616 3 年 8 個月 ago
關於三角函數的問題可以在這快速回覆或者到討論區中的「中學數學」版中討論

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