直線方程式及其圖形


1. 不共點的三直線之方程式分別為\(\left\{ \begin{array}{l}ax - 4y = 1\\(a + 1)x + 3y = 2\\x - 2y = 3\end{array} \right.\),其中\(a\)為實數。試問\(a\)為何值時,上述三直線會圍出一個直角三角形?
(1) \( - 8\)
(2) \( - 4\)
(3) 1
(4) 3
(5) 5。
【87推甄】

2. 一位海盜欲將三件珠寶埋藏在一個島上的三個地方,海盜就以島上的一棵大王椰子樹為中心,由大王椰子樹向東走12步埋他的第一件珠寶;由大王椰子樹向東走4步,再往北走\(a\)步埋他的第二件珠寶;最後由大王椰子樹向東走\(a\)步,再往南走8步埋他的第三件珠寶。事隔多年之後,海盜僅記得及埋藏珠寶的三個地方在同一直線上。那麼\(a = \)___________。
【88推甄】

3. 在坐標平面上,根據方程式\(x + 5y - 7 = 0\),\(2x + y + 4 = 0\),\(x - y - 1 = 0\)畫出三條直線\({L_1}\),\({L_2}\),\({L_3}\),如圖所示。試選出方程式與直線間正確的配置?
(1) \({L_1}:x + 5y - 7 = 0\);\({L_2}:2x + y + 4 = 0\);\({L_3}:x - y - 1 = 0\)
(2) \({L_1}:x - y - 1 = 0\);\({L_2}:x + 5y - 7 = 0\);\({L_3}:2x + y + 4 = 0\)
(3) \({L_1}:2x + y + 4 = 0\);\({L_2}:x + 5y - 7 = 0\);\({L_3}:x - y - 1 = 0\)
(4) \({L_1}:x - y - 1 = 0\);\({L_2}:2x + y + 4 = 0\);\({L_3}:x + 5y - 7 = 0\)
(5) \({L_1}:2x + y + 4 = 0\);\({L_2}:x - y - 1 = 0\);\({L_3}:x + 5y - 7 = 0\)
【89推甄】

sa9 1

4. 在某海防觀測站的東方12海浬處有\(A\)、\(B\)兩艘船相會之後,\(A\)船以每小時12海浬的速度往南航行,\(B\)船以每小時3海浬的速度向北航行。問幾小時後,觀測站及\(A\)、\(B\)兩船恰成一直角三角形?答:__________小時。
【89推甄】

5. 在坐標平面上,\(A(\,150\;,\;200\,)\),\(B(\,146\;,\;203\,)\),\(C(\, - 4\;,\;3\,)\),\(O(\,0\;,\;0\,)\),則下列選項何者為真?
(1) 四邊形\(ABCO\)是一個平行四邊形
(2) 四邊形\(ABCO\)是一個長方形
(3) 四邊形\(ABCO\)的兩對角線互相垂直
(4) 四邊形\(ABCO\)的對角線\(AC\)長度大於251
(5) 四邊形\(ABCO\)的面積為1250 。
【90推甄】

6. 設平面上已有兩點\((\,0\;,\;0\,)\),\((\,a\;,\;b\,)\),其中\(a \ne b\)而且\(a\)與\(b\)皆不為零。現在要選第三點,使得以此三點為頂點之三角形為等腰,則下列哪些點可選為第三點?
(A) \((\,b\;,\;a\,)\)
(B) \((\, - b\;,\;a\,)\)
(C) \((\,a - b\;,\;b - a\,)\)
(D) \((\,0\;,\;2b\,)\)
(E) \((\,2a\;,\;0\,)\)
【90自】

7. 如下圖,兩直線\({L_1}\)、\({L_2}\)之方程式分別為\({L_1}:x + ay + b = 0\),\({L_2}:x + cy + d = 0\);試問下列哪些選項是正確的?
(1) \(a > 0\)
(2) \(b > 0\)
(3) \(c > 0\)
(4) \(d > 0\)
(5) \(a > c\) 。
【92學測】

sa9 2

8. 在坐標平面上,一道光線通過原點\(O\)後,沿著\(y\)軸射向直線\(L:y = \frac{1}{2}x + 1\),碰到直線\(L\)後,假設光線依光學原理(入射角等於反射角)反射後通過\(x\)軸上的\(R\)點,則\(R\)點的\(x\)坐標為__________。 (化為最簡分數)
【92學測補】

9. 如下圖所示,坐標平面上一鳶形\(ABCD\),其中\(A,\;C\)在\(y{\rm{ - }}\)軸上,\(B,\;D\)在\(x{\rm{ - }}\)軸上,且\(\overline {AB} = \overline {AD} = 2\),\(\overline {BC} = \overline {CD} = 4\),\(\overline {AC} = 5\)。令\({m_{AB}}\)、\({m_{BC}}\)、\({m_{CD}}\)、\({m_{DA}}\)分別表直線\(AB\)、\(BC\)、\(CD\)、\(DA\)之斜率。試問以下哪些敘述成立?
(1) 此四數值中以\({m_{AB}}\)為最大
(2) 此四數值中以\({m_{BC}}\)為最小
(3) \({m_{BC}} = - {m_{CD}}\)
(4) \({m_{AB}} \times {m_{BC}} = - 1\)
(5) \({m_{CD}} + {m_{DA}} > 0\)
【94學測】

sa9 3

10. 在坐標平面上,正方形\(ABCD\)的四個頂點坐標分別為\(A(\,0\;,\;1\,)\),\(B(\,0\;,\;0\,)\),\(C(\,1\;,\;0\,)\),\(D(\,1\;,\;1\,)\)。設\(P\)為正方形\(ABCD\)內部的一點,若\(\Delta PDA\)與\(\Delta PBC\)的面積比為\(1:2\),且\(\Delta PAB\)與\(\Delta PCD\)的面積比為\(2:3\),則\(P\)點的坐標為___________。(化成最簡分數)
【94學測】

11. 小明玩戰爭網路遊戲,在螢幕上有一坐標平面,飛機P以等速直線前進,在坐標\((\, - 12\;,\;4\,)\)的位置被發現,經過1秒後到達坐標\((\, - 10\;,\;4\,)\),再經1秒後,小明從原點選一方向發射一飛彈R,假設R也以直線前進且速率跟P相同,而且R剛好擊中P。試求R擊中P時的坐標\((\,a\;,\;b\,)\)為___________。【94乙】

12. 給定平面上三點\((\, - 6\;,\; - 2\,)\),\((\,2\;,\; - 1\,)\),\((\,1\;,\;2\,)\)。若有第四點和此三點形成一菱形(四邊長皆相等),則第四點的坐標為__________。
【95學測】

13. 設\(A(\,0\;,\;0\,)\),\(B(\,10\;,\;0\,)\),\(C(\,10\;,\;6\,)\),\(D(\,0\;,\;6\,)\)為坐標平面上的四個點。如果直線\(y = m(x - 7) + 4\)將四邊形\(ABCD\)分成面積相等的兩塊,那麼\(m = \)__________。
【95學測】

14. 珈慶杯撞球大賽的勝負是這樣決定的:裁判將寬16公分、長7公分的千元鈔票貼邊放置在長方形球台的左下角,如右圖所示。甲、乙兩參賽者分別擊球,球靜止位置離鈔票中心點較近者獲勝。
甲、乙擊球後,裁判拿尺仔細量得甲所擊球停在離球台左緣23公分,離球台下邊39.5公分處;乙所擊球停在離球台左緣40公分,離球台下邊27.5公分處。

sa9 4

(1) 已知\(\sqrt {1521} \)是一個正整數,求此正整數。(3分)
(2) 求甲所擊球停止位置與鈔票中心點的距離。(答案必須以最簡單的形式表示)(4分)(3) 如果你是裁判,你會裁定甲或乙獲勝?理由為何?(6分)
【95乙】

15. 試問共有多少個正整數\(n\)使得坐標平面上通過\(A(\, - n\;,\;0\,)\)與點\(B(\,0\;,\;2\,)\)的直線亦通過點\(P(\,7\;,\;k\,)\),其中\(k\)為某一正整數?
(1) 2個
(2) 4個
(3) 6個
(4) 8個
(5) 無窮多個 。
【96學測】

16. 某別墅有一個由四塊正方形的玻璃拼成的田字形窗戶,窗外路燈的光線(假設路燈是一個點光源)透過窗戶在地板上形成一個變形的田字形光影。在地板上建置一個直角坐標系,發現田字形光影外框的四個頂點的坐標分別為\((\, - 4\;,\;40\,)\),\((\,16\;,\;0\,)\),\((\,16\;,\;40\,)\)和\((\,28\;,\;16\,)\)。求田字形窗戶的中心投影在地板上的坐標。(13分)
【96乙】

17. 坐標平面上四條直線\({L_1},\;{L_2},\;{L_3},\;{L_4}\)與\(x\)軸、\(y\)軸及直線\(y = x\)的相關位置如圖所示,其\({L_1}\)與\({L_3}\)垂直,而\({L_3}\)與\({L_4}\)平行。設\({L_1},\;{L_2},\;{L_3},\;{L_4}\)的方程式分別為\(y = {m_1}x\),\(y = {m_2}x\),\(y = {m_3}x\)以及\(y = {m_4}x + c\)。試問下列哪些選項是正確的?
(1) \({m_3} > {m_2} > {m_1}\)
(2) \({m_1} \cdot {m_4} = - 1\)
(3) \({m_1} < - 1\)
(4) \({m_2} \cdot {m_3} < - 1\)
(5) \(c > 0\) 。
【98學測】

sa9 5

18. 設\(A(\,1\;,\;1\,)\),\(B(\,3\;,\;5\,)\),\(C(\,5\;,\;3\,)\),\(D(\,0\;,\; - 7\,)\),\(E(\,2\;,\; - 3\,)\)及\(F(\,8\;,\; - 6\,)\)為坐標平面上的六個點。若直線\(L\)分別與三角形\(ABC\)及三角形\(DEF\)各恰有一個交點,則\(L\)的斜率之最小可能值為__________。
【101學測】

19. 坐標平面上有三點\(O(\,0\;,\;0\,),\;A(\,11\;,\;2\,),\;B(\,23\;,\;18\,)\)。直線\(L\)通過\(A\)點且與線段\(\overline {AB} \)垂直。
(1) 求直線\(L\)上與\(A\)點距離為5的兩點\(C,\;D\)之坐標。(8分)
(2) 求\(\Delta OCD\)的面積。(4分)
【103乙】

Ans:
1. (1)(2)(4)(5)
2. 16
3. (4)
4. 2
5. (1)(2)(5)
6. (A)(B)(C)(D)(E)
7. (4)(5)
8. \(\frac{4}{3}\)
9. (2)(3)(5)
10. \((\,\frac{2}{5}\;,\;\frac{2}{3}\,)\)
11. \((\, - 3\;,\;4\,)\)
12. \((\,9\;,\;3\,)\)
13. \(\frac{1}{2}\)
14. (1) 39 (2) 39 (3) 甲
15. (2)
16. \((\,16\;,\;25\,)\)
17. (2)(3)(4)
18. \( - 3\)
19. (1) \((\,15\;,\; - 1\,)\),\((\,7\;,\;5\,)\) (2) 41

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