線性規劃

1. 如下圖所示之四邊形,其四邊之直線方程式各為\(x + y = 6\),\(x - y = 3\),\(3x + y = 3\),\(x - 2y = - 8\),則四邊形區域(含邊界)可用下列哪一組不等式表示?
(A) \(x + y \ge 6\),\(x - y \le 3\),\(3x + y \ge 3\),\(x - 2y \ge - 8\)
(B) \(x + y \le 6\),\(x - y \ge 3\),\(3x + y \ge 3\),\(x - 2y \ge - 8\)
(C) \(x + y \le 6\),\(x - y \le 3\),\(3x + y \le 3\),\(x - 2y \ge - 8\)
(D) \(x + y \le 6\),\(x - y \le 3\),\(3x + y \ge 3\),\(x - 2y \le - 8\)
(E) \(x + y \le 6\),\(x - y \le 3\),\(3x + y \ge 3\),\(x - 2y \ge - 8\)
【86自】

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2. 設聯立不等式\(\left\{ \begin{array}{l} - 1 \le x + y \le 3\\ - 2 \le 2x + y \le 4\end{array} \right.\)的解\((\,x\;,\;y\,)\)形成的區域為\(R\)。
(1) 試在坐標平面上畫出\(R\)。
(2) 在\(R\)中,求\(3x + y\)的最大值。
【86社】

3. 某歌唱訓練班根據以往的經驗得知:每花10萬元在報章雜誌上替歌手打廣告可以提升歌手的形象指數5點,知名度指數10點;反之,若是在電臺上,同樣花10萬元替歌手打廣告,則可以提升歌手的形象指數6點,知名度指數4點。根據市場調查發現成為名歌星的形象指數至少160點,知名度指數亦至少160點,而且綜合指數(形象指數與知名度指數的和)至少360點。試問:歌唱訓練班要讓一位新歌手(假設其形象指數與知名度指數皆為0)成為名歌星至少應該花多少廣告費?這些廣告費報章雜誌與電臺應各分配多少,效果最好。(請在坐標平面上畫圖求解)
【91乙】

4. 在一個牽涉到兩個未知量\(x\),\(y\)的線性規劃作業中,有三個限制條件。坐標平面上符合這三個限制條件的區域是一個三角形區域。假設目標函數\(ax + by\)(\(a\),\(b\)是常數)在此三角形的一個頂點\((\,19\;,\;12\,)\)上取得最大值31,而在另一個頂點\((\,13\;,\;10\,)\)取得最小值23。
現因業務需要,加入第四個限制條件,結果符合所有限制條件的區域變成一個四邊形區域,頂點少了\((\,19\;,\;12\,)\),新增了\((\,17\;,\;13\,)\)和\((\,16\;,\;11\,)\)。在這四個限制條件下,請選出正確的選項。 (1) \(ax + by\)的最大值發生在\((\,17\;,\;13\,)\) (2) \(ax + by\)的最小值發生在\((\,16\;,\;11\,)\)
(3) \(ax + by\)的最大值是30 (4) \(ax + by\)的最小值是27。
【92甲】

5. 某公司所生產的產品,存放在甲、乙兩倉庫分別有50單位、40單位,現在市場A、市場B分別的需求量是20單位、30單位,下表是各倉庫運輸到各市場的每單位運輸成本:

市場A 市場B
倉庫甲 500 450
倉庫乙 400 300


在滿足A、B市場的需求下,最節省的運輸成本為__________元。
【92乙】

6. 為預防禽流感,營養師吩咐雞場主人每天必須從飼料中提供至少84單位的營養素A、至少72單位的營養素B和至少60單位的營養素C給他的雞群。這三種營養素可由兩種飼料中獲得,且知第一種飼料每公斤售價5元並含有7單位的營養素A,3單位的營養素B與3單位的營養素C;第二種飼料每公斤售價4元並含有2單位的營養素A,6單位的營養素B與2單位的營養素C。
(1) 若雞場主人每天使用\(x\)公斤的第一種飼料與\(y\)公斤的第二種飼料就能符合營養師吩
咐,則除了\(x \ge 0\),\(y \ge 0\)兩個條件外,寫下\(x\),\(y\)必須滿足的不等式組。(3分)
(2) 若雞場主人想以最少的飼料成本來達到雞群的營養要求,則\(x\),\(y\)的值為何?最少的
飼料成本又是多少?(10分)
【95乙】

7. 建築公司在房市熱絡時推出甲、乙兩型熱門預售屋。企劃部門的規劃如下:甲型屋每棟地價成本為500萬元,建築費用為900萬元,乙型屋每棟地價成本為200萬元,建築費用為1500萬元,公司在資金部分限制地價總成本上限為3500萬元,所有建築費用的上限為1億2000萬元;無論甲型或乙型售出,每棟獲利皆為500萬元,假設推出的預售屋皆可售出,請問推出甲、乙兩型預售屋各幾棟,公司才可得到最大利潤。(13分)
【97乙】

8. 某公司召聘新員工,共有1600人應徵參加筆試。筆試場地借用甲大學的教室,該校可租借的大教室有50間,每間可容納40人,每間租金500元;小教室有60間,每間可容納20人,每間租金150元。考慮監考人員的限制,筆試教室不能超過60間。試問租借大教室__________間,小教室__________間,來進行筆試,最省租借場地費用。
【98乙】

9. 已知一個線性規劃問題的可行解區域為四邊形\(ABCD\)及其內部,其中\(A(\,4\;,\;0\,)\),\(B(\,8\;,\;10\,)\),\(C(\,6\;,\;14\,)\),\(D(\,2\;,\;6\,)\),為坐標平面上的四個點。若目標函數\(k = ax + by + 32\)(\(a,\;b\)為實數)在四邊形\(ABCD\)的邊界上一點\((\,4\;,\;10\,)\)有最小值18,則\(a = \)__________,\(b = \)__________。
【99乙】

10. 一線性規劃問題的可行解區域為坐標平面上由點\(A(\,0\;,\;30\,)\)、\(B(\,18\;,\;27\,)\)、\(C(\,20\;,\;0\,)\)、\(D(\,2\;,\;3\,)\)所圍成的平行四邊形及其內部。已知目標函數\(ax + by\)(其中\(a,\;b\)為常數)在\(D\)點有最小值48,則此目標函數在同個可行解區域的最大值為__________。
【100乙】

11. 設\(a,\;b\)為實數。已知坐標平面上滿足聯立不等式\(\left\{ \begin{array}{l}x + y \ge 0\\x + y \le 6\\2x - y \ge 0\\y \ge ax - b\end{array} \right.\)的區域是一個菱形。
(1) 試求此菱形之邊長。(4分)
(2) 試求\(a,\;b\)。(8分)
【100乙】

12. 某公司生產兩種商品,均以同型的箱子裝運,其中甲商品每箱重20公斤,乙商品每箱重10公斤。公司出貨時,每趟貨車最多能運送100箱,最大載重為1600公斤。設甲商品每箱的利潤為1200元,乙商品每箱的利潤為1000元。
(1) 設公司調配運送時,每趟貨車裏的甲商品為\(x\)箱,乙商品為\(y\)箱。試列出\(x,\;y\)必須滿足的聯立不等式。(2分)
(2) 當\(x,\;y\)的值各為多少時,可使每趟貨車出貨所能獲得的利潤為最大?此時利潤為多少元?(11分)
【101乙】

13. 坐標平面上兩點\((\,4\;,\;1\,)\)和\((\,5\;,\;9\,)\)在直線\(3x - y - k = 0\)的兩側,其中\(k\)為整數。請選出正確的選項。 (1) 滿足上式的\(k\)最少有5個 (2) 所有滿足上式的\(k\)的總和是35 (3) 所有滿足上式的\(k\)中,最小的是7 (4) 所有滿足上式的\(k\)的平均是9 (5) 所有滿足上式的\(k\)中,奇數與偶數的個數相同。【102乙】

14. 某工廠使用三種貴金屬元素合成兩種合金,其中每單位的甲合金是由5公克的\(A\)金屬、3公克的\(B\)金屬以及3公克的\(C\)金屬組成,而每單位的乙合金是由3公克的\(A\)金屬、6公克的\(B\)金屬與3公克的\(C\)金屬所組成。已知甲、乙合金每單位的獲利分別為600、700元。若工廠此次進了1000公克的\(A\)金屬、1020公克的\(B\)金屬與660公克的\(C\)金屬投入生產這兩種合金,試問甲、乙兩種合金各應生產多少單位,才能獲得最大利潤?又此時利潤為多少?(12分)
【102乙】

15. 某工廠可以買甲、乙兩種規格的鐵板來製作「熊大」徽章、「兔兔」徽章和「饅頭人」徽章。每塊甲規格的鐵板可以製作8個「熊大」徽章、4個「兔兔」徽章及8個「饅頭人」徽章,每塊乙規格的鐵板可以製作4個「熊大」徽章、4個「兔兔」徽章及16個「饅頭人」徽章。已知甲規格的鐵板每塊的成本為400元,乙規格的鐵板每塊的成本為320元;然而零售商需要28個「熊大」徽章、20個「兔兔」徽章及48個「饅頭人」徽章。為了滿足零售商的需求,設工廠要買進\(x\)塊甲規格鐵板、\(y\)塊乙規格鐵板,其中\(x\)和\(y\)為非負整數,由下列步驟,求出何時才能達到最低成本。
(1) 寫出此問題的線性規劃不等式及目標函數。(4分)
(2) 求可行解區域的所有頂點的坐標。(4分)
(3) 工廠所需最低成本為多少元?(4分)
【103乙】

16. 一線性規劃問題的可行解區域為坐標平面上的正八邊形\(ABCDEFGH\)及其內部,如右圖。已知目標函數\(ax + by + 3\)(其中\(a,\;b\)為實數)的最大值只發生在\(B\)點。請問當目標函數改為\(3 - bx - ay\)時,最大值會發生在下列哪一點? (1) \(A\) (2) \(B\) (3) \(C\) (4) \(D\) (5) \(E\)

【104學測】

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17. 某航空公司因機械故障而停飛,致使平安旅行社原來預定搭此航空公司班機返台的25位旅客,被迫滯留在當地。領隊經詢問後得知,另外三家航空公司飛往台灣近期的機位已滿,都必須等待,當時有三種方案可以將旅客送回台灣如下表(表中的數據是以每人為單位)。例如\(A\)方案,旅行社必須負擔每人4500元的食宿費加上400元的轉機價差。

方案 食宿費 轉機價差 返台所需等待時間
\(A\)轉搭甲航空公司的班機 4500 400 3
\(B\)轉搭乙航空公司的班機 5500 200 4
\(C\)轉搭丙航空公司的班機 8000   0 6


註:轉機價差是指「轉搭其他航空公司的班機」所需補的票價差額。
領隊向旅行社報告後,旅行社同意領隊可以使用下列經費來解決此事件:食宿費總共最多150000元,轉搭其他航空公司班機的轉機價差總共最多8000元。試問在經費允許的條件下,要如何分配採用\(A\)、\(B\)、\(C\)這三種方案的人數,才能使全部旅客返回台灣所用的等待總人天數最少?所謂等待總人天數是採用各方案的人數乘以等待的天數之總和,例如:若採用\(A\)、\(B\)、\(C\)方案的人數分別為8、10、7人,則等待總人天數為\(8 \times 3 + 10 \times 4 + 7 \times 6 = 106\)(人天)。如果領隊規劃\(x\)人轉搭甲航空公司的班機、\(y\)人轉搭乙航空公司的班機,其餘的旅客轉搭丙航空公司的班機,由下列步驟,求出全部旅客返回台灣所用的最少等待總人天數。
(1) 寫出此問題的線性規劃不等式及目標函數。(4分)
(2) 求可行解區域的所有頂點的坐標。(4分)
(3) 求全部旅客返回台灣所用的最少等待總人天數。(4分)
【104乙】

18. 設\(a\)為一實數,已知在第一象限滿足聯立不等式\(\left\{ \begin{array}{l}x - 3y \le a\\x + 2y \le 14\end{array} \right.\)的所有點所形成之區域面積為\(\frac{{213}}{5}\)平方單位,則\(a = \)___________。
【105學測】

19. 某農業公司計畫向政府承租一筆平地和一筆山坡地,分別種植平地作物\(A\)和山坡地作物\(B\)。已知平地每一單位面積的年租金是30萬元,山坡地每一單位面積的年租金是20萬元;公司一年能夠提供土地租金的上限是80萬元。平地作物\(A\)的種植成本每單位面積一年是40萬元,山坡地作物\(B\)的種植成本每單位面積一年是50萬元;公司一年能夠提供種植成本的上限是130萬元。每年收成後,作物\(A\)每單位面積的利潤是120萬元,作物\(B\)每單位面積的利潤是90萬元。請問公司一年應租平地和山坡地各多少單位面積,收成後可以獲得最大利潤?又此時的最大利潤為何?(12分)
(註:所租土地的面積並不限制一定要是整數單位。)
【105乙】

Ans:
1. (E)
2. (2)
3. 報章雜誌140萬元,電台150萬元,花費最小值為290萬元
4. (1)(3)
5. 18000
6. (1) \(\left\{ \begin{array}{l}7x + 2y \ge 84\\x + 2y \ge 24\\3x + 2y \ge 60\end{array} \right.\) (2) \((\,x\;,\;y\,) = (\,18\;,\;3\,)\),成本為102元
7. 甲、乙兩型各推5棟
8. 20,40
9. 14,\( - 7\)
10. 432
11. (1) \(2\sqrt 5 \) (2) \(a = 2\),\(b = 3\sqrt {10} \)
12. (1) \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0,\;y \ge 0\\x,\;y \in Z\\x + y \le 100\\20x + 10y \le 1600\end{array} \right.\) (2) 當\((\,x\;,\;y\,) = (\,60\;,\;40\,)\)時,有最大利潤112000元
13. (3)(5)
14. 當甲生產100單位且乙生產120單位時,有最大利潤144000元
15. (1) \(\left\{ \begin{array}{l}x,\;y \ge 0\\x,y \in Z\\2x + y \ge 7\\x + y \ge 5\\x + 2y \ge 6\end{array} \right.\),目標函數為\(400x + 300y\) (2) \((\,0\;,\;7\,)\),\((\,2\;,\;3\,)\),\((\,4\;,\;1\,)\),\((\,6\;,\;0\,)\) (3) 1760元
16. (1)
17. (1) \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0,\;y \ge 0,\;x,y \in Z\\x + y \le 25\\2x + y \le 40\\7x + 5y \ge 100\end{array} \right.\),目標函數為\(f(\,x\;,\;y\,) = 150 - 3x - 2y\) (2) \((\,0\;,\;20\,)\),\((\,0\;,\;25\,)\),\((\,15\;,\;10\,)\),\((\,20\;,\;0\,)\),\((\,\frac{{100}}{7}\;,\;0\,)\) (3) 85人天
18. 6
19. 平地2單位,山坡地1單位可獲得最大利潤330萬元

 

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