圓與直線的關係


1. 一圓的方程式為\({x^2} + {y^2} - 8x + 4y - 5 = 0\),考慮此圓任意兩條互相垂直切線的交點,所有這種交點所成圖形的方程式為__________。
【87社】

2. 在坐標平面上\((\,7\;,\;5\,)\)處有一光源,將圓\({x^2} + {(y - 1)^2} = 1\)投射到\(x\)軸的影長為__________。
【89社】

3. 工匠在窗子外邊想做一個圓弧型的花台,此花台在窗口的中央往外伸出72公分,窗口的寬度是168公分。則此圓弧的圓半徑為__________公分。
【91學測】

sa9 8

4. 坐標平面上的圓\(C:{(x - 7)^2} + {(y - 8)^2} = 9\)上有__________個點與原點的距離正好是整數值。
【93學測】

5. 在坐標平面上,選出與圓\({(x - 3)^2} + {(y - 4)^2} = {5^2}\)相切的直線:
(1) \(3x + 4y = 5\)
(2) \(3x + 4y = 0\)
(3) \(4x + 3y = 5\)
(4) \(4x + 3y = 0\)
(5) \(4x + 3y = 1\)。
【95乙】

6. 設\(\Gamma :{x^2} + {y^2} - 10x + 9 = 0\)為坐標平面上的圓。試問下列哪些選項是正確的?
(1) \(\Gamma \)的圓心坐標為\((\,5\;,\;0\,)\)
(2) \(\Gamma \)上的點與直線\(L:3x + 4y - 15 = 0\)的最遠距離等於4
(3) 直線\({L_1}:3x + 4y + 15 = 0\)與\(\Gamma \)相切
(4) \(\Gamma \)上恰有兩個點與直線\({L_2}:3x + 4y = 0\)的距離等於2
(5) \(\Gamma \)上恰有四個點與直線\({L_3}:3x + 4y - 5 = 0\)的距離等於2。
【97學測】

7. 試問坐標平面上共有幾條直線,會使得點\(O(\,0\;,\;0\,)\)到此直線之距離為1,且點\(A(\,3\;,\;0\,)\)到此直線之距離為2?
(1) 1條
(2) 2條
(3) 3條
(4) 4條
(5) 無窮多條 。
【98學測】

8. 設\(R\)代表坐標平面上由下列兩個不等式所定義的區域,
\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} \le 4\\y \ge 1\end{array} \right.\)
求函數\(x + y\)在區域\(R\)上的最大值與最小值。(13分)
【98甲】

9. 考慮坐標平面上以\(O(\,0\;,\;0\,)\)、\(A(\,3\;,\;0\,)\)、\(B(\,0\;,\;4\,)\)為頂點的三角形,令\({C_1}\)、\({C_2}\)分別為\(\Delta OAB\)的外接圓、內切圓。請問下列哪些選項是正確的?
(1) \({C_1}\)的半徑為2
(2) \({C_1}\)的圓心在直線\(y = x\)上
(3) \({C_1}\)的圓心在直線\(4x + 3y = 12\)上
(4) \({C_2}\)的圓心在直線\(y = x\)上
(5) \({C_2}\)的圓心在直線\(4x + 3y = 6\)上。
【100學測】

10. 坐標平面上,一圓與直線\(x - y = 1\)以及直線\(x - y = 5\)所截的弦長皆為14。則此圓的面積為__________\(\pi \)。
【102學測】

11. 令\(A(\, - 2\;,\;0\,)\)、\(B(\,0\;,\;1\,)\)、\(C(\,2\;,\;1\,)\)、\(D(\,4\;,\;3\,)\)為坐標平面上四點。請選出正確的選項。
(1) 恰有一直線通過\(A\)、\(B\)、\(C\)三點
(2) 恰有一圓通過\(A\)、\(B\)、\(D\)三點
(3) 恰有一個二次多項式函數的圖形通過\(B\)、\(C\)、\(D\)三點
(4) 恰有一個三次多項式函數的圖形通過\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)四點
(5) 可找到兩平行直線,其聯集包含\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)四點。
【102甲】

12. 設\(m\)為實數。若圓\({x^2} + {y^2} + 4x - 7y + 10 = 0\)與直線\(y = m(x + 3)\)在坐標平面上的兩個交點位於不同的象限,而滿足此條件的\(m\)之最大範圍為\(a < m < b\),則\(a = \)__________、\(b = \)__________。(化成最簡分數)
【102甲】

13. 在坐標平面上,以\((\,1\;,\;1\,)\),\((\, - 1\;,\;1\,)\),\((\, - 1\;,\; - 1\,)\)及\((\,1\;,\; - 1\,)\)等四個點為頂點的正方形,與圓\({x^2} + {y^2} + 2x + 2y + 1 = 0\)有幾個交點?
(1) 1個
(2) 2個
(3) 3個
(4) 4個
(5) 0個。
【103學測】

14. 在坐標平面上,圓\({x^2} + {y^2} + 2x - 2y + 1 = 0\)與\(y = \left| {2x + 1} \right|\)的圖形有幾個交點?
(1) 1個
(2) 2個
(3) 3個
(4) 4個
(5) 0個。
【103甲】

15. 坐標平面上有一以原點\(O\)為圓心的圓\(C\),交直線\(x - y + 1 = 0\)於\(Q,\;R\)兩點。已知圓\(C\)上有一點\(P\)使得\(\Delta PQR\)為一正三角形。請選出正確的選項。
(1) \(O\)點與\(P\)點皆在\(\overline {QR} \)的中垂線上
(2) \(P\)點在第三象限
(3) \(\overline {QR} \)的中點坐標為\((\, - \frac{1}{3}\;,\;\frac{2}{3}\,)\)
(4) 圓\(C\)的方程式為\({x^2} + {y^2} = 2\)
(5) 直線\(x - y - 1 = 0\)為圓\(C\)在\(P\)點的切線
【104甲】

16. 坐標平面上兩圖形\({\Gamma _1},\;{\Gamma _2}\)的方程式分別為:\({\Gamma _1}:{(x + 1)^2} + {y^2} = 1\)、\({\Gamma _2}:{(x + y)^2} = 1\)。請問\({\Gamma _1},\;{\Gamma _2}\)共有幾個交點?
(1) 1個
(2) 2個
(3) 3個
(4) 4個
(5) 0個
【105學測】

Ans:
1. \({(x - 4)^2} + {(y + 2)^2} = 50\)
2. \(\frac{{16}}{3}\)
3. 85
4. 12
5. (2)
6. (1)(2)(4)
7. (3)
8. 最大值為\(2\sqrt 2 \),最小值為\(1 - \sqrt 3 \)
9. (3)(4)
10. 51
11. (3)(4)(5)
12. \(\frac{2}{3}\),\(\frac{5}{3}\)
13. (2)
14. (4)
15. (1)(4)
16. (2)

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