直線方程式及其圖形


1. 不共點的三直線之方程式分別為\(\left\{ \begin{array}{l}ax - 4y = 1\\(a + 1)x + 3y = 2\\x - 2y = 3\end{array} \right.\),其中\(a\)為實數。試問\(a\)為何值時,上述三直線會圍出一個直角三角形?
(1) \( - 8\)
(2) \( - 4\)
(3) 1
(4) 3
(5) 5。
【87推甄】

2. 一位海盜欲將三件珠寶埋藏在一個島上的三個地方,海盜就以島上的一棵大王椰子樹為中心,由大王椰子樹向東走12步埋他的第一件珠寶;由大王椰子樹向東走4步,再往北走\(a\)步埋他的第二件珠寶;最後由大王椰子樹向東走\(a\)步,再往南走8步埋他的第三件珠寶。事隔多年之後,海盜僅記得及埋藏珠寶的三個地方在同一直線上。那麼\(a = \)___________。
【88推甄】

3. 在坐標平面上,根據方程式\(x + 5y - 7 = 0\),\(2x + y + 4 = 0\),\(x - y - 1 = 0\)畫出三條直線\({L_1}\),\({L_2}\),\({L_3}\),如圖所示。試選出方程式與直線間正確的配置?
(1) \({L_1}:x + 5y - 7 = 0\);\({L_2}:2x + y + 4 = 0\);\({L_3}:x - y - 1 = 0\)
(2) \({L_1}:x - y - 1 = 0\);\({L_2}:x + 5y - 7 = 0\);\({L_3}:2x + y + 4 = 0\)
(3) \({L_1}:2x + y + 4 = 0\);\({L_2}:x + 5y - 7 = 0\);\({L_3}:x - y - 1 = 0\)
(4) \({L_1}:x - y - 1 = 0\);\({L_2}:2x + y + 4 = 0\);\({L_3}:x + 5y - 7 = 0\)
(5) \({L_1}:2x + y + 4 = 0\);\({L_2}:x - y - 1 = 0\);\({L_3}:x + 5y - 7 = 0\)
【89推甄】

sa9 1

4. 在某海防觀測站的東方12海浬處有\(A\)、\(B\)兩艘船相會之後,\(A\)船以每小時12海浬的速度往南航行,\(B\)船以每小時3海浬的速度向北航行。問幾小時後,觀測站及\(A\)、\(B\)兩船恰成一直角三角形?答:__________小時。
【89推甄】

5. 在坐標平面上,\(A(\,150\;,\;200\,)\),\(B(\,146\;,\;203\,)\),\(C(\, - 4\;,\;3\,)\),\(O(\,0\;,\;0\,)\),則下列選項何者為真?
(1) 四邊形\(ABCO\)是一個平行四邊形
(2) 四邊形\(ABCO\)是一個長方形
(3) 四邊形\(ABCO\)的兩對角線互相垂直
(4) 四邊形\(ABCO\)的對角線\(AC\)長度大於251
(5) 四邊形\(ABCO\)的面積為1250 。
【90推甄】

6. 設平面上已有兩點\((\,0\;,\;0\,)\),\((\,a\;,\;b\,)\),其中\(a \ne b\)而且\(a\)與\(b\)皆不為零。現在要選第三點,使得以此三點為頂點之三角形為等腰,則下列哪些點可選為第三點?
(A) \((\,b\;,\;a\,)\)
(B) \((\, - b\;,\;a\,)\)
(C) \((\,a - b\;,\;b - a\,)\)
(D) \((\,0\;,\;2b\,)\)
(E) \((\,2a\;,\;0\,)\)
【90自】

7. 如下圖,兩直線\({L_1}\)、\({L_2}\)之方程式分別為\({L_1}:x + ay + b = 0\),\({L_2}:x + cy + d = 0\);試問下列哪些選項是正確的?
(1) \(a > 0\)
(2) \(b > 0\)
(3) \(c > 0\)
(4) \(d > 0\)
(5) \(a > c\) 。
【92學測】

sa9 2

8. 在坐標平面上,一道光線通過原點\(O\)後,沿著\(y\)軸射向直線\(L:y = \frac{1}{2}x + 1\),碰到直線\(L\)後,假設光線依光學原理(入射角等於反射角)反射後通過\(x\)軸上的\(R\)點,則\(R\)點的\(x\)坐標為__________。 (化為最簡分數)
【92學測補】

9. 如下圖所示,坐標平面上一鳶形\(ABCD\),其中\(A,\;C\)在\(y{\rm{ - }}\)軸上,\(B,\;D\)在\(x{\rm{ - }}\)軸上,且\(\overline {AB} = \overline {AD} = 2\),\(\overline {BC} = \overline {CD} = 4\),\(\overline {AC} = 5\)。令\({m_{AB}}\)、\({m_{BC}}\)、\({m_{CD}}\)、\({m_{DA}}\)分別表直線\(AB\)、\(BC\)、\(CD\)、\(DA\)之斜率。試問以下哪些敘述成立?
(1) 此四數值中以\({m_{AB}}\)為最大
(2) 此四數值中以\({m_{BC}}\)為最小
(3) \({m_{BC}} = - {m_{CD}}\)
(4) \({m_{AB}} \times {m_{BC}} = - 1\)
(5) \({m_{CD}} + {m_{DA}} > 0\)
【94學測】

sa9 3

10. 在坐標平面上,正方形\(ABCD\)的四個頂點坐標分別為\(A(\,0\;,\;1\,)\),\(B(\,0\;,\;0\,)\),\(C(\,1\;,\;0\,)\),\(D(\,1\;,\;1\,)\)。設\(P\)為正方形\(ABCD\)內部的一點,若\(\Delta PDA\)與\(\Delta PBC\)的面積比為\(1:2\),且\(\Delta PAB\)與\(\Delta PCD\)的面積比為\(2:3\),則\(P\)點的坐標為___________。(化成最簡分數)
【94學測】

11. 小明玩戰爭網路遊戲,在螢幕上有一坐標平面,飛機P以等速直線前進,在坐標\((\, - 12\;,\;4\,)\)的位置被發現,經過1秒後到達坐標\((\, - 10\;,\;4\,)\),再經1秒後,小明從原點選一方向發射一飛彈R,假設R也以直線前進且速率跟P相同,而且R剛好擊中P。試求R擊中P時的坐標\((\,a\;,\;b\,)\)為___________。【94乙】

12. 給定平面上三點\((\, - 6\;,\; - 2\,)\),\((\,2\;,\; - 1\,)\),\((\,1\;,\;2\,)\)。若有第四點和此三點形成一菱形(四邊長皆相等),則第四點的坐標為__________。
【95學測】

13. 設\(A(\,0\;,\;0\,)\),\(B(\,10\;,\;0\,)\),\(C(\,10\;,\;6\,)\),\(D(\,0\;,\;6\,)\)為坐標平面上的四個點。如果直線\(y = m(x - 7) + 4\)將四邊形\(ABCD\)分成面積相等的兩塊,那麼\(m = \)__________。
【95學測】

14. 珈慶杯撞球大賽的勝負是這樣決定的:裁判將寬16公分、長7公分的千元鈔票貼邊放置在長方形球台的左下角,如右圖所示。甲、乙兩參賽者分別擊球,球靜止位置離鈔票中心點較近者獲勝。
甲、乙擊球後,裁判拿尺仔細量得甲所擊球停在離球台左緣23公分,離球台下邊39.5公分處;乙所擊球停在離球台左緣40公分,離球台下邊27.5公分處。

sa9 4

(1) 已知\(\sqrt {1521} \)是一個正整數,求此正整數。(3分)
(2) 求甲所擊球停止位置與鈔票中心點的距離。(答案必須以最簡單的形式表示)(4分)(3) 如果你是裁判,你會裁定甲或乙獲勝?理由為何?(6分)
【95乙】

15. 試問共有多少個正整數\(n\)使得坐標平面上通過\(A(\, - n\;,\;0\,)\)與點\(B(\,0\;,\;2\,)\)的直線亦通過點\(P(\,7\;,\;k\,)\),其中\(k\)為某一正整數?
(1) 2個
(2) 4個
(3) 6個
(4) 8個
(5) 無窮多個 。
【96學測】

16. 某別墅有一個由四塊正方形的玻璃拼成的田字形窗戶,窗外路燈的光線(假設路燈是一個點光源)透過窗戶在地板上形成一個變形的田字形光影。在地板上建置一個直角坐標系,發現田字形光影外框的四個頂點的坐標分別為\((\, - 4\;,\;40\,)\),\((\,16\;,\;0\,)\),\((\,16\;,\;40\,)\)和\((\,28\;,\;16\,)\)。求田字形窗戶的中心投影在地板上的坐標。(13分)
【96乙】

17. 坐標平面上四條直線\({L_1},\;{L_2},\;{L_3},\;{L_4}\)與\(x\)軸、\(y\)軸及直線\(y = x\)的相關位置如圖所示,其\({L_1}\)與\({L_3}\)垂直,而\({L_3}\)與\({L_4}\)平行。設\({L_1},\;{L_2},\;{L_3},\;{L_4}\)的方程式分別為\(y = {m_1}x\),\(y = {m_2}x\),\(y = {m_3}x\)以及\(y = {m_4}x + c\)。試問下列哪些選項是正確的?
(1) \({m_3} > {m_2} > {m_1}\)
(2) \({m_1} \cdot {m_4} = - 1\)
(3) \({m_1} < - 1\)
(4) \({m_2} \cdot {m_3} < - 1\)
(5) \(c > 0\) 。
【98學測】

sa9 5

18. 設\(A(\,1\;,\;1\,)\),\(B(\,3\;,\;5\,)\),\(C(\,5\;,\;3\,)\),\(D(\,0\;,\; - 7\,)\),\(E(\,2\;,\; - 3\,)\)及\(F(\,8\;,\; - 6\,)\)為坐標平面上的六個點。若直線\(L\)分別與三角形\(ABC\)及三角形\(DEF\)各恰有一個交點,則\(L\)的斜率之最小可能值為__________。
【101學測】

19. 坐標平面上有三點\(O(\,0\;,\;0\,),\;A(\,11\;,\;2\,),\;B(\,23\;,\;18\,)\)。直線\(L\)通過\(A\)點且與線段\(\overline {AB} \)垂直。
(1) 求直線\(L\)上與\(A\)點距離為5的兩點\(C,\;D\)之坐標。(8分)
(2) 求\(\Delta OCD\)的面積。(4分)
【103乙】

Ans:
1. (1)(2)(4)(5)
2. 16
3. (4)
4. 2
5. (1)(2)(5)
6. (A)(B)(C)(D)(E)
7. (4)(5)
8. \(\frac{4}{3}\)
9. (2)(3)(5)
10. \((\,\frac{2}{5}\;,\;\frac{2}{3}\,)\)
11. \((\, - 3\;,\;4\,)\)
12. \((\,9\;,\;3\,)\)
13. \(\frac{1}{2}\)
14. (1) 39 (2) 39 (3) 甲
15. (2)
16. \((\,16\;,\;25\,)\)
17. (2)(3)(4)
18. \( - 3\)
19. (1) \((\,15\;,\; - 1\,)\),\((\,7\;,\;5\,)\) (2) 41


線性規劃

1. 如下圖所示之四邊形,其四邊之直線方程式各為\(x + y = 6\),\(x - y = 3\),\(3x + y = 3\),\(x - 2y = - 8\),則四邊形區域(含邊界)可用下列哪一組不等式表示?
(A) \(x + y \ge 6\),\(x - y \le 3\),\(3x + y \ge 3\),\(x - 2y \ge - 8\)
(B) \(x + y \le 6\),\(x - y \ge 3\),\(3x + y \ge 3\),\(x - 2y \ge - 8\)
(C) \(x + y \le 6\),\(x - y \le 3\),\(3x + y \le 3\),\(x - 2y \ge - 8\)
(D) \(x + y \le 6\),\(x - y \le 3\),\(3x + y \ge 3\),\(x - 2y \le - 8\)
(E) \(x + y \le 6\),\(x - y \le 3\),\(3x + y \ge 3\),\(x - 2y \ge - 8\)
【86自】

sa9 6

2. 設聯立不等式\(\left\{ \begin{array}{l} - 1 \le x + y \le 3\\ - 2 \le 2x + y \le 4\end{array} \right.\)的解\((\,x\;,\;y\,)\)形成的區域為\(R\)。
(1) 試在坐標平面上畫出\(R\)。
(2) 在\(R\)中,求\(3x + y\)的最大值。
【86社】

3. 某歌唱訓練班根據以往的經驗得知:每花10萬元在報章雜誌上替歌手打廣告可以提升歌手的形象指數5點,知名度指數10點;反之,若是在電臺上,同樣花10萬元替歌手打廣告,則可以提升歌手的形象指數6點,知名度指數4點。根據市場調查發現成為名歌星的形象指數至少160點,知名度指數亦至少160點,而且綜合指數(形象指數與知名度指數的和)至少360點。試問:歌唱訓練班要讓一位新歌手(假設其形象指數與知名度指數皆為0)成為名歌星至少應該花多少廣告費?這些廣告費報章雜誌與電臺應各分配多少,效果最好。(請在坐標平面上畫圖求解)
【91乙】

4. 在一個牽涉到兩個未知量\(x\),\(y\)的線性規劃作業中,有三個限制條件。坐標平面上符合這三個限制條件的區域是一個三角形區域。假設目標函數\(ax + by\)(\(a\),\(b\)是常數)在此三角形的一個頂點\((\,19\;,\;12\,)\)上取得最大值31,而在另一個頂點\((\,13\;,\;10\,)\)取得最小值23。
現因業務需要,加入第四個限制條件,結果符合所有限制條件的區域變成一個四邊形區域,頂點少了\((\,19\;,\;12\,)\),新增了\((\,17\;,\;13\,)\)和\((\,16\;,\;11\,)\)。在這四個限制條件下,請選出正確的選項。 (1) \(ax + by\)的最大值發生在\((\,17\;,\;13\,)\) (2) \(ax + by\)的最小值發生在\((\,16\;,\;11\,)\)
(3) \(ax + by\)的最大值是30 (4) \(ax + by\)的最小值是27。
【92甲】

5. 某公司所生產的產品,存放在甲、乙兩倉庫分別有50單位、40單位,現在市場A、市場B分別的需求量是20單位、30單位,下表是各倉庫運輸到各市場的每單位運輸成本:

市場A 市場B
倉庫甲 500 450
倉庫乙 400 300


在滿足A、B市場的需求下,最節省的運輸成本為__________元。
【92乙】

6. 為預防禽流感,營養師吩咐雞場主人每天必須從飼料中提供至少84單位的營養素A、至少72單位的營養素B和至少60單位的營養素C給他的雞群。這三種營養素可由兩種飼料中獲得,且知第一種飼料每公斤售價5元並含有7單位的營養素A,3單位的營養素B與3單位的營養素C;第二種飼料每公斤售價4元並含有2單位的營養素A,6單位的營養素B與2單位的營養素C。
(1) 若雞場主人每天使用\(x\)公斤的第一種飼料與\(y\)公斤的第二種飼料就能符合營養師吩
咐,則除了\(x \ge 0\),\(y \ge 0\)兩個條件外,寫下\(x\),\(y\)必須滿足的不等式組。(3分)
(2) 若雞場主人想以最少的飼料成本來達到雞群的營養要求,則\(x\),\(y\)的值為何?最少的
飼料成本又是多少?(10分)
【95乙】

7. 建築公司在房市熱絡時推出甲、乙兩型熱門預售屋。企劃部門的規劃如下:甲型屋每棟地價成本為500萬元,建築費用為900萬元,乙型屋每棟地價成本為200萬元,建築費用為1500萬元,公司在資金部分限制地價總成本上限為3500萬元,所有建築費用的上限為1億2000萬元;無論甲型或乙型售出,每棟獲利皆為500萬元,假設推出的預售屋皆可售出,請問推出甲、乙兩型預售屋各幾棟,公司才可得到最大利潤。(13分)
【97乙】

8. 某公司召聘新員工,共有1600人應徵參加筆試。筆試場地借用甲大學的教室,該校可租借的大教室有50間,每間可容納40人,每間租金500元;小教室有60間,每間可容納20人,每間租金150元。考慮監考人員的限制,筆試教室不能超過60間。試問租借大教室__________間,小教室__________間,來進行筆試,最省租借場地費用。
【98乙】

9. 已知一個線性規劃問題的可行解區域為四邊形\(ABCD\)及其內部,其中\(A(\,4\;,\;0\,)\),\(B(\,8\;,\;10\,)\),\(C(\,6\;,\;14\,)\),\(D(\,2\;,\;6\,)\),為坐標平面上的四個點。若目標函數\(k = ax + by + 32\)(\(a,\;b\)為實數)在四邊形\(ABCD\)的邊界上一點\((\,4\;,\;10\,)\)有最小值18,則\(a = \)__________,\(b = \)__________。
【99乙】

10. 一線性規劃問題的可行解區域為坐標平面上由點\(A(\,0\;,\;30\,)\)、\(B(\,18\;,\;27\,)\)、\(C(\,20\;,\;0\,)\)、\(D(\,2\;,\;3\,)\)所圍成的平行四邊形及其內部。已知目標函數\(ax + by\)(其中\(a,\;b\)為常數)在\(D\)點有最小值48,則此目標函數在同個可行解區域的最大值為__________。
【100乙】

11. 設\(a,\;b\)為實數。已知坐標平面上滿足聯立不等式\(\left\{ \begin{array}{l}x + y \ge 0\\x + y \le 6\\2x - y \ge 0\\y \ge ax - b\end{array} \right.\)的區域是一個菱形。
(1) 試求此菱形之邊長。(4分)
(2) 試求\(a,\;b\)。(8分)
【100乙】

12. 某公司生產兩種商品,均以同型的箱子裝運,其中甲商品每箱重20公斤,乙商品每箱重10公斤。公司出貨時,每趟貨車最多能運送100箱,最大載重為1600公斤。設甲商品每箱的利潤為1200元,乙商品每箱的利潤為1000元。
(1) 設公司調配運送時,每趟貨車裏的甲商品為\(x\)箱,乙商品為\(y\)箱。試列出\(x,\;y\)必須滿足的聯立不等式。(2分)
(2) 當\(x,\;y\)的值各為多少時,可使每趟貨車出貨所能獲得的利潤為最大?此時利潤為多少元?(11分)
【101乙】

13. 坐標平面上兩點\((\,4\;,\;1\,)\)和\((\,5\;,\;9\,)\)在直線\(3x - y - k = 0\)的兩側,其中\(k\)為整數。請選出正確的選項。 (1) 滿足上式的\(k\)最少有5個 (2) 所有滿足上式的\(k\)的總和是35 (3) 所有滿足上式的\(k\)中,最小的是7 (4) 所有滿足上式的\(k\)的平均是9 (5) 所有滿足上式的\(k\)中,奇數與偶數的個數相同。【102乙】

14. 某工廠使用三種貴金屬元素合成兩種合金,其中每單位的甲合金是由5公克的\(A\)金屬、3公克的\(B\)金屬以及3公克的\(C\)金屬組成,而每單位的乙合金是由3公克的\(A\)金屬、6公克的\(B\)金屬與3公克的\(C\)金屬所組成。已知甲、乙合金每單位的獲利分別為600、700元。若工廠此次進了1000公克的\(A\)金屬、1020公克的\(B\)金屬與660公克的\(C\)金屬投入生產這兩種合金,試問甲、乙兩種合金各應生產多少單位,才能獲得最大利潤?又此時利潤為多少?(12分)
【102乙】

15. 某工廠可以買甲、乙兩種規格的鐵板來製作「熊大」徽章、「兔兔」徽章和「饅頭人」徽章。每塊甲規格的鐵板可以製作8個「熊大」徽章、4個「兔兔」徽章及8個「饅頭人」徽章,每塊乙規格的鐵板可以製作4個「熊大」徽章、4個「兔兔」徽章及16個「饅頭人」徽章。已知甲規格的鐵板每塊的成本為400元,乙規格的鐵板每塊的成本為320元;然而零售商需要28個「熊大」徽章、20個「兔兔」徽章及48個「饅頭人」徽章。為了滿足零售商的需求,設工廠要買進\(x\)塊甲規格鐵板、\(y\)塊乙規格鐵板,其中\(x\)和\(y\)為非負整數,由下列步驟,求出何時才能達到最低成本。
(1) 寫出此問題的線性規劃不等式及目標函數。(4分)
(2) 求可行解區域的所有頂點的坐標。(4分)
(3) 工廠所需最低成本為多少元?(4分)
【103乙】

16. 一線性規劃問題的可行解區域為坐標平面上的正八邊形\(ABCDEFGH\)及其內部,如右圖。已知目標函數\(ax + by + 3\)(其中\(a,\;b\)為實數)的最大值只發生在\(B\)點。請問當目標函數改為\(3 - bx - ay\)時,最大值會發生在下列哪一點? (1) \(A\) (2) \(B\) (3) \(C\) (4) \(D\) (5) \(E\)

【104學測】

sa9 7

17. 某航空公司因機械故障而停飛,致使平安旅行社原來預定搭此航空公司班機返台的25位旅客,被迫滯留在當地。領隊經詢問後得知,另外三家航空公司飛往台灣近期的機位已滿,都必須等待,當時有三種方案可以將旅客送回台灣如下表(表中的數據是以每人為單位)。例如\(A\)方案,旅行社必須負擔每人4500元的食宿費加上400元的轉機價差。

方案 食宿費 轉機價差 返台所需等待時間
\(A\)轉搭甲航空公司的班機 4500 400 3
\(B\)轉搭乙航空公司的班機 5500 200 4
\(C\)轉搭丙航空公司的班機 8000   0 6


註:轉機價差是指「轉搭其他航空公司的班機」所需補的票價差額。
領隊向旅行社報告後,旅行社同意領隊可以使用下列經費來解決此事件:食宿費總共最多150000元,轉搭其他航空公司班機的轉機價差總共最多8000元。試問在經費允許的條件下,要如何分配採用\(A\)、\(B\)、\(C\)這三種方案的人數,才能使全部旅客返回台灣所用的等待總人天數最少?所謂等待總人天數是採用各方案的人數乘以等待的天數之總和,例如:若採用\(A\)、\(B\)、\(C\)方案的人數分別為8、10、7人,則等待總人天數為\(8 \times 3 + 10 \times 4 + 7 \times 6 = 106\)(人天)。如果領隊規劃\(x\)人轉搭甲航空公司的班機、\(y\)人轉搭乙航空公司的班機,其餘的旅客轉搭丙航空公司的班機,由下列步驟,求出全部旅客返回台灣所用的最少等待總人天數。
(1) 寫出此問題的線性規劃不等式及目標函數。(4分)
(2) 求可行解區域的所有頂點的坐標。(4分)
(3) 求全部旅客返回台灣所用的最少等待總人天數。(4分)
【104乙】

18. 設\(a\)為一實數,已知在第一象限滿足聯立不等式\(\left\{ \begin{array}{l}x - 3y \le a\\x + 2y \le 14\end{array} \right.\)的所有點所形成之區域面積為\(\frac{{213}}{5}\)平方單位,則\(a = \)___________。
【105學測】

19. 某農業公司計畫向政府承租一筆平地和一筆山坡地,分別種植平地作物\(A\)和山坡地作物\(B\)。已知平地每一單位面積的年租金是30萬元,山坡地每一單位面積的年租金是20萬元;公司一年能夠提供土地租金的上限是80萬元。平地作物\(A\)的種植成本每單位面積一年是40萬元,山坡地作物\(B\)的種植成本每單位面積一年是50萬元;公司一年能夠提供種植成本的上限是130萬元。每年收成後,作物\(A\)每單位面積的利潤是120萬元,作物\(B\)每單位面積的利潤是90萬元。請問公司一年應租平地和山坡地各多少單位面積,收成後可以獲得最大利潤?又此時的最大利潤為何?(12分)
(註:所租土地的面積並不限制一定要是整數單位。)
【105乙】

Ans:
1. (E)
2. (2)
3. 報章雜誌140萬元,電台150萬元,花費最小值為290萬元
4. (1)(3)
5. 18000
6. (1) \(\left\{ \begin{array}{l}7x + 2y \ge 84\\x + 2y \ge 24\\3x + 2y \ge 60\end{array} \right.\) (2) \((\,x\;,\;y\,) = (\,18\;,\;3\,)\),成本為102元
7. 甲、乙兩型各推5棟
8. 20,40
9. 14,\( - 7\)
10. 432
11. (1) \(2\sqrt 5 \) (2) \(a = 2\),\(b = 3\sqrt {10} \)
12. (1) \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0,\;y \ge 0\\x,\;y \in Z\\x + y \le 100\\20x + 10y \le 1600\end{array} \right.\) (2) 當\((\,x\;,\;y\,) = (\,60\;,\;40\,)\)時,有最大利潤112000元
13. (3)(5)
14. 當甲生產100單位且乙生產120單位時,有最大利潤144000元
15. (1) \(\left\{ \begin{array}{l}x,\;y \ge 0\\x,y \in Z\\2x + y \ge 7\\x + y \ge 5\\x + 2y \ge 6\end{array} \right.\),目標函數為\(400x + 300y\) (2) \((\,0\;,\;7\,)\),\((\,2\;,\;3\,)\),\((\,4\;,\;1\,)\),\((\,6\;,\;0\,)\) (3) 1760元
16. (1)
17. (1) \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0,\;y \ge 0,\;x,y \in Z\\x + y \le 25\\2x + y \le 40\\7x + 5y \ge 100\end{array} \right.\),目標函數為\(f(\,x\;,\;y\,) = 150 - 3x - 2y\) (2) \((\,0\;,\;20\,)\),\((\,0\;,\;25\,)\),\((\,15\;,\;10\,)\),\((\,20\;,\;0\,)\),\((\,\frac{{100}}{7}\;,\;0\,)\) (3) 85人天
18. 6
19. 平地2單位,山坡地1單位可獲得最大利潤330萬元

 




圓與直線的關係


1. 一圓的方程式為\({x^2} + {y^2} - 8x + 4y - 5 = 0\),考慮此圓任意兩條互相垂直切線的交點,所有這種交點所成圖形的方程式為__________。
【87社】

2. 在坐標平面上\((\,7\;,\;5\,)\)處有一光源,將圓\({x^2} + {(y - 1)^2} = 1\)投射到\(x\)軸的影長為__________。
【89社】

3. 工匠在窗子外邊想做一個圓弧型的花台,此花台在窗口的中央往外伸出72公分,窗口的寬度是168公分。則此圓弧的圓半徑為__________公分。
【91學測】

sa9 8

4. 坐標平面上的圓\(C:{(x - 7)^2} + {(y - 8)^2} = 9\)上有__________個點與原點的距離正好是整數值。
【93學測】

5. 在坐標平面上,選出與圓\({(x - 3)^2} + {(y - 4)^2} = {5^2}\)相切的直線:
(1) \(3x + 4y = 5\)
(2) \(3x + 4y = 0\)
(3) \(4x + 3y = 5\)
(4) \(4x + 3y = 0\)
(5) \(4x + 3y = 1\)。
【95乙】

6. 設\(\Gamma :{x^2} + {y^2} - 10x + 9 = 0\)為坐標平面上的圓。試問下列哪些選項是正確的?
(1) \(\Gamma \)的圓心坐標為\((\,5\;,\;0\,)\)
(2) \(\Gamma \)上的點與直線\(L:3x + 4y - 15 = 0\)的最遠距離等於4
(3) 直線\({L_1}:3x + 4y + 15 = 0\)與\(\Gamma \)相切
(4) \(\Gamma \)上恰有兩個點與直線\({L_2}:3x + 4y = 0\)的距離等於2
(5) \(\Gamma \)上恰有四個點與直線\({L_3}:3x + 4y - 5 = 0\)的距離等於2。
【97學測】

7. 試問坐標平面上共有幾條直線,會使得點\(O(\,0\;,\;0\,)\)到此直線之距離為1,且點\(A(\,3\;,\;0\,)\)到此直線之距離為2?
(1) 1條
(2) 2條
(3) 3條
(4) 4條
(5) 無窮多條 。
【98學測】

8. 設\(R\)代表坐標平面上由下列兩個不等式所定義的區域,
\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} \le 4\\y \ge 1\end{array} \right.\)
求函數\(x + y\)在區域\(R\)上的最大值與最小值。(13分)
【98甲】

9. 考慮坐標平面上以\(O(\,0\;,\;0\,)\)、\(A(\,3\;,\;0\,)\)、\(B(\,0\;,\;4\,)\)為頂點的三角形,令\({C_1}\)、\({C_2}\)分別為\(\Delta OAB\)的外接圓、內切圓。請問下列哪些選項是正確的?
(1) \({C_1}\)的半徑為2
(2) \({C_1}\)的圓心在直線\(y = x\)上
(3) \({C_1}\)的圓心在直線\(4x + 3y = 12\)上
(4) \({C_2}\)的圓心在直線\(y = x\)上
(5) \({C_2}\)的圓心在直線\(4x + 3y = 6\)上。
【100學測】

10. 坐標平面上,一圓與直線\(x - y = 1\)以及直線\(x - y = 5\)所截的弦長皆為14。則此圓的面積為__________\(\pi \)。
【102學測】

11. 令\(A(\, - 2\;,\;0\,)\)、\(B(\,0\;,\;1\,)\)、\(C(\,2\;,\;1\,)\)、\(D(\,4\;,\;3\,)\)為坐標平面上四點。請選出正確的選項。
(1) 恰有一直線通過\(A\)、\(B\)、\(C\)三點
(2) 恰有一圓通過\(A\)、\(B\)、\(D\)三點
(3) 恰有一個二次多項式函數的圖形通過\(B\)、\(C\)、\(D\)三點
(4) 恰有一個三次多項式函數的圖形通過\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)四點
(5) 可找到兩平行直線,其聯集包含\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)四點。
【102甲】

12. 設\(m\)為實數。若圓\({x^2} + {y^2} + 4x - 7y + 10 = 0\)與直線\(y = m(x + 3)\)在坐標平面上的兩個交點位於不同的象限,而滿足此條件的\(m\)之最大範圍為\(a < m < b\),則\(a = \)__________、\(b = \)__________。(化成最簡分數)
【102甲】

13. 在坐標平面上,以\((\,1\;,\;1\,)\),\((\, - 1\;,\;1\,)\),\((\, - 1\;,\; - 1\,)\)及\((\,1\;,\; - 1\,)\)等四個點為頂點的正方形,與圓\({x^2} + {y^2} + 2x + 2y + 1 = 0\)有幾個交點?
(1) 1個
(2) 2個
(3) 3個
(4) 4個
(5) 0個。
【103學測】

14. 在坐標平面上,圓\({x^2} + {y^2} + 2x - 2y + 1 = 0\)與\(y = \left| {2x + 1} \right|\)的圖形有幾個交點?
(1) 1個
(2) 2個
(3) 3個
(4) 4個
(5) 0個。
【103甲】

15. 坐標平面上有一以原點\(O\)為圓心的圓\(C\),交直線\(x - y + 1 = 0\)於\(Q,\;R\)兩點。已知圓\(C\)上有一點\(P\)使得\(\Delta PQR\)為一正三角形。請選出正確的選項。
(1) \(O\)點與\(P\)點皆在\(\overline {QR} \)的中垂線上
(2) \(P\)點在第三象限
(3) \(\overline {QR} \)的中點坐標為\((\, - \frac{1}{3}\;,\;\frac{2}{3}\,)\)
(4) 圓\(C\)的方程式為\({x^2} + {y^2} = 2\)
(5) 直線\(x - y - 1 = 0\)為圓\(C\)在\(P\)點的切線
【104甲】

16. 坐標平面上兩圖形\({\Gamma _1},\;{\Gamma _2}\)的方程式分別為:\({\Gamma _1}:{(x + 1)^2} + {y^2} = 1\)、\({\Gamma _2}:{(x + y)^2} = 1\)。請問\({\Gamma _1},\;{\Gamma _2}\)共有幾個交點?
(1) 1個
(2) 2個
(3) 3個
(4) 4個
(5) 0個
【105學測】

Ans:
1. \({(x - 4)^2} + {(y + 2)^2} = 50\)
2. \(\frac{{16}}{3}\)
3. 85
4. 12
5. (2)
6. (1)(2)(4)
7. (3)
8. 最大值為\(2\sqrt 2 \),最小值為\(1 - \sqrt 3 \)
9. (3)(4)
10. 51
11. (3)(4)(5)
12. \(\frac{2}{3}\),\(\frac{5}{3}\)
13. (2)
14. (4)
15. (1)(4)
16. (2)

Log in to comment

Share this post

Submit to FacebookSubmit to Google PlusSubmit to Twitter