單元02 基礎題類題

1. 求出滿足下列條件之一次函數：
   (1) 過點\((\, - 2\;,\;3\,)\)且斜率為\( - \frac{3}{2}\)之直線方程式為__________。
   (2) 過點\((\, - 2\;,\;1\,)\)與\((\,2\;,\;3\,)\)的直線方程式為__________。

2. 直線\(L\)交\(x\)軸於\(A\)，且\(L\)的斜率為\( - \frac{{12}}{5}\)，\(Q\)為\(L\)上一點，而\(Q\)在\(x\)軸上的投影點為\(P\)，若\(\overline {AQ} = 5\)，則\(\overline {AP}  = \)__________。

3. 某次數學考試，班上同學成績最高為50分，最低為10分，老師決定用一個一次函數來加分，已知10分調整為60分，50分調整為100分，則：
   (1) 此一次函數為__________。
   (2) 若魯伕原來成績為32分，則調整後變為__________。

4. 設某沙漠地區某一段時間的溫度函數為\(f(t) = - 2{t^2} + 8t + 13\)，其中\(1 \le t \le 5\)，則這段時間內該地區的最大溫差為（單選）
   (1) 9  (2) 16  (3) 18  (4) 21  (5) 25

5. 若函數\(y = a{x^2} + bx + c\)之圖形交\(x\)軸於\((\,2\;,\;0\,)\)，\((\,4\;,\;0\,)\)兩點，且其最小值為\( - 1\)，則序組\((\,a\;,\;b\;,\;c\,) = \)__________。

6. 設多項式\(f(x)\)以\(3x + 1\)除之得餘式為\( - 9\)，則：
   (1) 以\(x + \frac{1}{3}\)除\(f(x)\)之餘式為__________。
   (2) 以\(x + \frac{1}{3}\)除\({x^2} \cdot f(x)\)之餘式為__________。

7. 設\(f(x)\)為一多項式且次數不低於3，若\(f(x)\)除以\((x - 1)(x - 3)\)得餘式為\(2x + 1\)，\(f(x)\)除以\((x - 2)(x + 3)\)得餘式為\(5x - 1\)，則\(f(x)\)除以\((x - 1)(x - 2)\)之餘式為__________。

8. 若多項式\({x^2} - 2x - 3\)能整除\({x^4} - {x^3} + p{x^2} - 7x + q\)，則\(p = \)__________，\(q = \)__________。

9. 已知二次多項式\(f(x)\)滿足\(f(0) = - 1\)，\(f(1) = 1\)，\(f(2) =  - 1\)，則\(f(3) = \)__________。

10. 設\(a\)，\(b\)為實數且\(\left( {a + b\,i} \right) \cdot \left( {1 + 2\,i} \right) = 5 - 10\,i\)，其中\({i^2} = - 1\)，則數對\((\,a\;,\;b\,) = \)__________。

11. \(2{x^3} + 5{x^2} + 3x + 2\)之整係數一次因式為__________。

12. 若\(f(x) = 2{x^4} + a{x^3} + b{x^2} + cx + 6\)，其中\(a\)，\(b\)，\(c\)皆為正整數，則下列哪些不可能為\(f(x)\)的因式？（多選）
    (1) \(x + 2\)  (2) \(x + 4\) (3) \(2x - 1\)  (4) \(2x - 3\)  (5) \(3x + 2\)

13. 設\(f(x)\)為滿足下列條件的最低次實係數多項式：\(f(x)\)最高次項的係數為1，且\(2 + 5\,i\)，\( - i\)，3皆為方程式\(f(x) = 0\)的解（其中\({i^2} = - 1\)）。則\(f(x)\)之常數項為__________。

14. 設\(f(x) = {x^3} - 9{x^2} + 23x - 14\)，試問方程式\(f(x) = 0\)在下列哪兩個整數之間有實根？（多選）
    (1) 0與1之間 (2) 1與2之間  (3) 2與3之間  (4) 3與4之間  (5) 4與5之間

15. 若\(1 + 2\,i\)為\({x^2} + ax + 10 = 0\)之一根，則\(a = \)__________。

16. 若\(\alpha \)，\(\beta \)為二次方程式\({x^2} + 3x - 1 = 0\)的兩根，則\(|\alpha - \beta |\; = \)__________。

17. 設\(x\)為實數，求下列不等式之解：
    (1) \({x^2} - 2x - 3 > 0\)：__________。
    (2) \( - {x^2} + 2x + 1 \ge 0\)：__________。
    (3) \( - 2{x^3} + 5{x^2} + 4x - 3 < 0\)：__________。
    (4) \(\frac{1}{{x + 3}} \le 1\)：__________。

18. 設\(x\)為實數，求下列不等式之解：
    (1) \({(x - 1)^2}{(x + 1)^3}(x - 3){(x - 5)^4} \ge 0\)：__________。
    (2) \({(x - 1)^2}{(x + 1)^3}(x - 3){(x - 5)^4} > 0\)：__________。

19. 設\(x\)為實數，若二次函數\(f(x) = k{x^2} + (k - 1)x + k\)之值恆為負，則\(k\)的範圍為__________。

Ans:

1. (1) \(y = - \frac{3}{2}x\) (2) \(y = \frac{1}{2}x + 2\)  

2. \(\frac{{25}}{{13}}\) 

3. (1) \(y = x + 50\) (2) 82  

4. (3) 

5. \((\,1\;,\; - 6\;,\;8\,)\)

6. (1) \( - 9\) (2) \( - 1\)

7. \(6x - 3\) 

8. \( - 3\)，\( - 6\)  

9. \( - 7\) 

10. \((\, - 3\;,\; - 4\,)\)

11. \(x + 2\)

12. (2)(3)(4)(5)  

13. \( - 87\)  

14. (1)(4)(5)  

15. \( - 3 + 2\,i\)

16. \(\sqrt {13} \)

17. (1) \(x < - 1\)或\(x > 3\) (2) \(1 - \sqrt 2  \le x \le 1 + \sqrt 2 \) (3) \( - 1 < x < \frac{1}{2}\)或\(x > 3\)(4) \(x <  - 3\)或\(x \ge  - 2\)  

18. (1) \(x \le  - 1\)或\(x \ge 3\)或\(x = 1\) (2) \(x <  - 1\)或\(x > 3\)且\(x \ne 5\)

19. \(k < - 1\)

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