單元02 基礎題類題
- 求出滿足下列條件之一次函數：
(1) 過點\((\, - 2\;,\;3\,)\)且斜率為\( - \frac{3}{2}\)之直線方程式為__________。
(2) 過點\((\, - 2\;,\;1\,)\)與\((\,2\;,\;3\,)\)的直線方程式為__________。 - 直線\(L\)交\(x\)軸於\(A\)，且\(L\)的斜率為\( - \frac{{12}}{5}\)，\(Q\)為\(L\)上一點，而\(Q\)在\(x\)軸上的投影點為\(P\)，若\(\overline {AQ} = 5\)，則\(\overline {AP} = \)__________。
- 某次數學考試，班上同學成績最高為50分，最低為10分，老師決定用一個一次函數來加分，已知10分調整為60分，50分調整為100分，則：
(1) 此一次函數為__________。
(2) 若魯伕原來成績為32分，則調整後變為__________。 - 設某沙漠地區某一段時間的溫度函數為\(f(t) = - 2{t^2} + 8t + 13\)，其中\(1 \le t \le 5\)，則這段時間內該地區的最大溫差為（單選）
(1) 9 (2) 16 (3) 18 (4) 21 (5) 25 - 若函數\(y = a{x^2} + bx + c\)之圖形交\(x\)軸於\((\,2\;,\;0\,)\)，\((\,4\;,\;0\,)\)兩點，且其最小值為\( - 1\)，則序組\((\,a\;,\;b\;,\;c\,) = \)__________。
- (1) 以下是以綜合除法計算多項式\(6{x^3} + 13{x^2} + 3x - 3\)除以\(x + \frac{1}{2}\)時的算式，
請將算式中的空格填上正確數字後，計算出此題的商式為__________與
餘式為__________。
(2) 計算多項式\(6{x^3} + 13{x^2} + 3x - 3\)除以\(2x + 1\)的商式為__________與餘式為
__________。 - 設多項式\(f(x)\)以\(3x + 1\)除之得餘式為\( - 9\)，則：
(1) 以\(x + \frac{1}{3}\)除\(f(x)\)之餘式為__________。
(2) 以\(x + \frac{1}{3}\)除\({x^2} \cdot f(x)\)之餘式為__________。 - 設\(f(x)\)為一多項式且次數不低於3，若\(f(x)\)除以\((x - 1)(x - 3)\)得餘式為\(2x + 1\)，\(f(x)\)除以\((x - 2)(x + 3)\)得餘式為\(5x - 1\)，則\(f(x)\)除以\((x - 1)(x - 2)\)之餘式為__________。
- 若多項式\({x^2} - 2x - 3\)能整除\({x^4} - {x^3} + p{x^2} - 7x + q\)，則\(p = \)__________，\(q = \)__________。
- 已知二次多項式\(f(x)\)滿足\(f(0) = - 1\)，\(f(1) = 1\)，\(f(2) = - 1\)，則\(f(3) = \)__________。
- 設\(a\)，\(b\)為實數且\(\left( {a + b\,i} \right) \cdot \left( {1 + 2\,i} \right) = 5 - 10\,i\)，其中\({i^2} = - 1\)，則數對\((\,a\;,\;b\,) = \)__________。
- \(2{x^3} + 5{x^2} + 3x + 2\)之整係數一次因式為__________。
- 若\(f(x) = 2{x^4} + a{x^3} + b{x^2} + cx + 6\)，其中\(a\)，\(b\)，\(c\)皆為正整數，則下列哪些不可能為\(f(x)\)的因式？（多選）
(1) \(x + 2\) (2) \(x + 4\) (3) \(2x - 1\) (4) \(2x - 3\) (5) \(3x + 2\) - 設\(f(x)\)為滿足下列條件的最低次實係數多項式：\(f(x)\)最高次項的係數為1，且\(2 + 5\,i\)，\( - i\)，3皆為方程式\(f(x) = 0\)的解（其中\({i^2} = - 1\)）。則\(f(x)\)之常數項為__________。
- 設\(f(x) = {x^3} - 9{x^2} + 23x - 14\)，試問方程式\(f(x) = 0\)在下列哪兩個整數之間有實根？（多選）
(1) 0與1之間 (2) 1與2之間 (3) 2與3之間 (4) 3與4之間 (5) 4與5之間 - 若\(1 + 2\,i\)為\({x^2} + ax + 10 = 0\)之一根，則\(a = \)__________。
- 若\(\alpha \)，\(\beta \)為二次方程式\({x^2} + 3x - 1 = 0\)的兩根，則\(|\alpha - \beta |\; = \)__________。
- 設\(x\)為實數，求下列不等式之解：
(1) \({x^2} - 2x - 3 > 0\)：__________。
(2) \( - {x^2} + 2x + 1 \ge 0\)：__________。
(3) \( - 2{x^3} + 5{x^2} + 4x - 3 < 0\)：__________。
(4) \(\frac{1}{{x + 3}} \le 1\)：__________。 - 設\(x\)為實數，求下列不等式之解：
(1) \({(x - 1)^2}{(x + 1)^3}(x - 3){(x - 5)^4} \ge 0\)：__________。
(2) \({(x - 1)^2}{(x + 1)^3}(x - 3){(x - 5)^4} > 0\)：__________。 - 設\(x\)為實數，若二次函數\(f(x) = k{x^2} + (k - 1)x + k\)之值恆為負，則\(k\)的範圍為__________。
Ans:
- (1) \(y = - \frac{3}{2}x\) (2) \(y = \frac{1}{2}x + 2\)
- \(\frac{{25}}{{13}}\)
- (1) \(y = x + 50\) (2) 82
- (3)
- \((\,1\;,\; - 6\;,\;8\,)\)
- (1)
，商式為\(6{x^2} + 10x - 2\)，餘式為\( - 2\)
(2) 商式為\(3{x^2} + 5x - 1\)，餘式為\( - 2\)
- (1) 2 (2) 3
- \(6x - 3\)
- \( - 3\)，\( - 6\)
- \( - 7\)
- \((\, - 3\;,\; - 4\,)\)
- \(x + 2\)
- (2)(3)(4)(5)
- \( - 87\)
- (1)(4)(5)
- \( - 3 + 2\,i\)
- \(\sqrt {13} \)
- (1) \(x < - 1\)或\(x > 3\) (2) \(1 - \sqrt 2 \le x \le 1 + \sqrt 2 \) (3) \( - 1 < x < \frac{1}{2}\)或\(x > 3\)
(4) \(x < - 3\)或\(x \ge - 2\)
- (1) \(x \le - 1\)或\(x \ge 3\)或\(x = 1\) (2) \(x < - 1\)或\(x > 3\)且\(x \ne 5\)
- \(k < - 1\)
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