單元08 基礎題類題

1. \({2500^ \circ }\)為第__________象限角，其最小正同界角為__________，最大負同界角為__________。

2. __________若有向角\(\theta \)為第二象限角，則\(\frac{\theta }{2}\)可能為第幾象限角？（多選） (1) 一  (2) 二  (3) 三  (4) 四。

3. 設\(\theta \)為一銳角，已知\(\tan \theta = \frac{1}{2}\)，則\(\sin \theta  = \)__________，\(\cos \theta  = \)__________。

4. 設圓\(O\)之半徑為5，\(\overline {OC} \)交圓\(O\)於\(A\)點，\(\overline {CD} \)切圓\(O\)於\(D\)點，\(B\)為\(A\)點到\(\overline {OD} \)的垂足，\(\overline {AB} = 3\)，如下面的示意圖。則\(\overline {OC}  = \)__________。
   

5. 如下圖所示（只是示意圖），將梯子\(\overline {AB} \)靠在與地面垂直的牆\(\overline {AC} \)上，並測得梯子長\(\overline {AB} = 120\)公分，且\(\overline {AB} \)與水平地面的夾角\(\angle ABC\)為\({60^ \circ }\)。將在地面上的底\(B\)沿著地面向外拉30公分到點\(F\)（即\(\overline {FB}  = 30\)公分），則梯子\(\overline {EF} \)與地面的夾角\(\angle EFC\)之正弦值為\(\sin \angle EFC = \)__________。
   

6. (1) \(\sin {30^ \circ } \cdot \cos ( - {150^ \circ }) - \sin ( - {120^ \circ }) \cdot \cos {60^ \circ } = \)__________。
   (2) \(\sin {0^ \circ } \times \sin {15^ \circ } + \cos {90^ \circ } \times \cos {135^ \circ } + \tan {45^ \circ } \times \tan {135^ \circ } = \)__________。

7. (1) \(\sin {240^ \circ } \times \tan {300^ \circ } + \cos {300^ \circ } \times \tan {315^ \circ } = \)__________。
   (2) \(\sin {270^ \circ } \times \cos {360^ \circ } + \sin {315^ \circ } \times \tan {360^ \circ } = \)__________。

8. (1) \(\sin ({180^ \circ } + \theta ) \cdot \cos ({90^ \circ } + \theta ) - \sin ({90^ \circ } - \theta ) \cdot \cos ({180^ \circ } + \theta ) = \)__________。
   (2) \(\tan ({180^ \circ } - \theta ) \cdot \cos (\theta - {180^ \circ }) + \sin (\theta  - {180^ \circ }) = \)__________。

9. 如下圖，已知\(\angle C = {90^ \circ }\)，\(\overline {AB} = 2\)，\(\overline {AC}  = 1\)，則\(\tan \theta  = \)__________。
   

10. 設\(\sin \theta = \frac{5}{{13}}\)，且\(\tan \theta  < 0\)，則\(5\sin \theta  + \cos \theta  = \)__________。

11. \({(\sin {20^ \circ } + \sin {70^ \circ })^2} + {(\cos {20^ \circ } - \cos {70^ \circ })^2} = \)__________。

12. (1) 直角坐標系中，點\((\, - 2\sqrt 3 \;,\; - 2\,)\)的極坐標表示法為__________。
    (2) 極坐標系中，點\([\,10\;,\;{300^ \circ }\,]\)的直角坐標表示法為__________。

13. 將下列角度換成弧度，或將弧度換成角度：
    (1) \({150^ \circ } = \)__________。
    (2) \( - {300^ \circ } = \)__________。
    (3) \(\frac{{7\pi }}{6}\)弧度\( = \)__________。
    (4) \( - \frac{{7\pi }}{4}\)弧度\( = \)__________。

14. 請計算下列三角函數的值：
    (1) \(\sin \frac{{4\pi }}{3} = \)__________。
    (2) \(\cos \left( { - \frac{{5\pi }}{6}} \right)\)=__________。
    (3) \(\tan \frac{{3\pi }}{4} = \)__________。

15. 在\(\Delta ABC\)中，\(\angle B = {45^ \circ }\)，\(\angle C = {30^ \circ }\)，\(\overline {AC} = 6\sqrt 2 \)，則\(\overline {AB} \)之長為__________，外接圓半徑為__________。

16. 在\(\Delta ABC\)中，\(\overline {AB} = 3\)，\(\overline {BC}  = 7\)，\(\overline {CA}  = 8\)，則\(\angle A = \)__________。

17. 在\(\Delta ABC\)中，已知\(\overline {AB} = 5\)，\(\overline {AC}  = 3\)，\(\angle A = {120^ \circ }\)，則\(\overline {BC} \)的長度為__________。

18. 如下圖，\(\Delta ABC\)中，\(\overline {AB} = 10\)，\(\overline {BC}  = 14\)，\(\overline {CA}  = 6\)
    
    
    (1) 設\(\overline {AH} \)為\(\overline {BC} \)邊上的高，則\(\overline {AH} \)之長為__________。
    (2) 設點\(M\)為之中點，則中線\(\overline {AM} \)之長為__________。
    (3) 設\(\overline {AD} \)為\(\angle A\)之角平分線，則\(\overline {AD} \)之長為__________。（請參考：穩拿複
       習講義p.219 範例8）

19. \(\sin {85^ \circ }\cos {50^ \circ } + \cos {85^ \circ }\sin {50^ \circ } = \)__________。

20. \(\sin {75^ \circ } = \sin ({45^ \circ } + {30^ \circ }) = \)__________，\(\cos {75^ \circ } = \cos ({45^ \circ } + {30^ \circ }) = \)__________，\(\tan {75^ \circ } = \tan ({45^ \circ } + {30^ \circ }) = \)__________。

21. 設\({0^ \circ } < \alpha < {90^ \circ }\)，\({90^ \circ } < \beta  < {180^ \circ }\)，\(\cos \alpha  = \frac{3}{{\sqrt {10} }}\)，\(\cos \beta  = \frac{{ - 1}}{{\sqrt 5 }}\)，則
    \(\sin (\alpha  + \beta ) = \)__________，\(\cos (\alpha  + \beta ) = \)__________，\(\alpha  + \beta  = \)__________。

22. 設\({180^ \circ } < \theta < {270^ \circ }\)，且\(\cos \theta  =  - \frac{4}{5}\)，則
    \(\sin \frac{\theta }{2} = \)__________，\(\cos \frac{\theta }{2} = \)__________，\(\tan \frac{\theta }{2} = \)__________，
    \(\sin 2\theta  = \)__________，\(\cos 2\theta  = \)__________，\(\tan 2\theta  = \)__________，
    \(\sin 3\theta  = \)__________，\(\cos 3\theta  = \)__________。

23. 下圖是由三個直角三角形堆疊而成的圖形，若\(\overline {AB} = 8\)，則直角三角形\(OAB\)的高\(AB\)為__________。
    

24. 由底下三角函數值表可查得\(\cos {27^ \circ }20' \approx \)__________，\(\cos {62^ \circ }10' \approx \)__________。

25. 已知\(\sin {36^ \circ }50' \approx 0.5995\)，\(\sin {37^ \circ } \approx 0.6018\)，若\(\sin \theta = 0.6\)且\({0^ \circ } < \theta  < {90^ \circ }\)，則由內插法可得\(\theta  \approx \)__________。（四捨五入至單位分的個位數）

26. 某人隔河測一山高，在\(A\)點測量山時，山的方位為東偏北\({60^ \circ }\)，山頂的仰角為\({45^ \circ }\)，某人自\(A\)點向東行600公尺到達\(B\)點，山的方位變成在西偏北\({60^ \circ }\)，則山有多高？__________公尺。【91學測】

Ans:

1. 四，\({340^ \circ }\)，\( - {20^ \circ }\)

2. (1)(3)

3. \(\frac{{\sqrt 5 }}{5}\)，\(\frac{{2\sqrt 5 }}{5}\)  

4. \(\frac{{25}}{4}\) 

5. \(\frac{{\sqrt 7 }}{4}\)  

6. (1) \(0\) (2) \( - 1\) 

7. (1) 1  (2) \( - 1\) 

8. (1) 1  (2) 0  

9. \( - \sqrt 3 \) 

10. 1 

11. 2

12. (1) \([\,4\;,\;{210^ \circ }\,]\) (2) \((\,5\;,\; - 5\sqrt 3 \,)\)

13. (1) \(\frac{{5\pi }}{6}\) (2) \( - \frac{{5\pi }}{3}\) (3) \({210^ \circ }\) (4) \( - {315^ \circ }\)

14. (1) \( - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) (2) \( - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) (3) \( - 1\)

15. 6，6

16. \({60^ \circ }\)  

17. 7 

18. (1) \(\frac{{15\sqrt 3 }}{7}\)

(2) \(\sqrt {19} \) (3) \(\frac{{15}}{4}\) 

19. \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\) 

20. \(\frac{{\sqrt 6  + \sqrt 2 }}{4}\)，\(\frac{{\sqrt 6  - \sqrt 2 }}{4}\)，\(2 + \sqrt 3 \)

21. \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\)，\( - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)，\({135^ \circ }\)

22. \(\frac{3}{{\sqrt {10} }}\)，\( - \frac{1}{{\sqrt {10} }}\)，\(\frac{{24}}{{25}}\)，\(\frac{7}{{25}}\)，\(\frac{{24}}{7}\)，\( - \frac{{117}}{{125}}\)，\(\frac{{44}}{{125}}\)

23. 32

24. 0.8884，0.4669

25. \({36^ \circ }52'\) 

26. 600

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