單元10 基礎題類題

1. 下圖為一正立方體，若點\(A\)為原點，點\(B\)之坐標為為\((\,1\;,\;0\;,\;0\,)\)，點\(D\)之坐標為\((\,0\;,\;1\;,\;0\,)\)，點\(E\)之坐標為\((\,0\;,\;0\;,\;1\,)\)，則以任兩頂點為起點與終點所構成之向量中，與向量\((\, - 1\;,\;0\;,\;1\,)\)相等的有__________個。
   

2. 若四邊形\(ABCD\)為一梯形，其中點\(A\)之坐標為\((\,1\;,\;2\,)\)，點\(B\)之坐標為\((\, - 2\;,\;0\,)\)，點\(C\)之坐標為\((\,1\;,\;k\,)\)，點\(D\)之坐標為\((\,2\;,\;5\,)\)，則\(k\)之值為__________。

3. 已知空間上相異四點\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)，且\(O\)為原點，若\(\overset{\rightharpoonup} {AC} = (\,9\;,\;2\;,\;2\,)\)， \(\overset{\rightharpoonup} {BC}  = (\,3\;,\;4\;,\;5\,)\)，\(\overset{\rightharpoonup} {OD}  = t\overset{\rightharpoonup} {AB} \)，其中\(t\)為實數，則：
   (1)_ \(\overset{\rightharpoonup} {AB} \)=__________。
   (2)_ 若\(|\overset{\rightharpoonup} {OD} | = 14\)，則\(t = \)__________。
   (3)_ 點\(D\)之坐標為__________。

4.  下圖中每一個小三角形皆為正三角形，設\(\overset{\rightharpoonup} {AB}  = \overset{\rightharpoonup} a \) ，\(\overset{\rightharpoonup} {AC}  = \overset{\rightharpoonup} b \)。請回答下列問題：
   
   (1) 若\(\overset{\rightharpoonup} {BC}  = x\overset{\rightharpoonup} a  + y\overset{\rightharpoonup} b \) ，則數對
      \((\,x\;,\;y\,) = \)__________。
   (2) 若\(\overset{\rightharpoonup} {DE}  = r\overset{\rightharpoonup} a  + s\overset{\rightharpoonup} b \) ，則數對
      \((\,r\;,\;s\,) = \)__________。
5. 設空間中點\(P\)在直線\(AB\)上，且\(3\overline {AP}  = 4\overline {PB} \)，\(O\)為空間中一點，若
   \(\overset{\rightharpoonup} {OP}  = x\overset{\rightharpoonup} {OA}  + y\overset{\rightharpoonup} {OB} \) ，則數對\((\,x\;,\;y\,) = \)__________。
6. 坐標空間中\(A(\,2\;,\;0\;,\;a\,)\)，\(B(\, - 6\;,\;b\;,\;3\,)\)，\(C(\,c\;,\;3\;,\; - 5\,)\)三點共線。已知\(C\)不在\(A\)，\(B\)之間，且\(\overline {AC} :\overline {BC}  = 3:4\)，則\(a + b + c = \)__________。
7. 若\(A(\,1\;,\;0\;,\;5\,)\)，\(B(\,3\;,\;a\;,\;2\,)\)，\(C(\,5\;,\;6\;,\;b\,)\)三點共線，則數對\((\,a\;,\;b\,) = \)__________。
8. __________\(O\)、\(A\)、\(B\)、\(P\)為平面上相異四點，下列哪些條件使得點\(P\)必在直線\(AB\)上？（多選）  (1) \(\overset{\rightharpoonup} {AB}  = \overset{\rightharpoonup} {PB}  - \overset{\rightharpoonup} {PA} \)  (2) \(\overset{\rightharpoonup} {AB}  = 3\overset{\rightharpoonup} {PB} \)
   (3) \(\overset{\rightharpoonup} {OP}  = \frac{1}{3}\overset{\rightharpoonup} {OA}  + \frac{2}{3}\overset{\rightharpoonup} {OB} \)  (4) \(2\overset{\rightharpoonup} {OP}  = 2\overset{\rightharpoonup} {OA}  - \overset{\rightharpoonup} {OB} \)  (5) \(7\overset{\rightharpoonup} {OP}  = 9\overset{\rightharpoonup} {OA}  - 2\overset{\rightharpoonup} {OB} \)
9. 在坐標平面上，\(\Delta ABC\)內有一點\(P\)滿足\(\overset{\rightharpoonup} {AP}  = (\,\frac{3}{4}\;,\;\frac{5}{6}\,)\)及
   \(\overset{\rightharpoonup} {AP}  = \frac{1}{3}\overset{\rightharpoonup} {AB}  + \frac{1}{5}\overset{\rightharpoonup} {AC} \) 。若\(A\)，\(P\)連線交\(\overline {BC} \)於\(M\)，則\(\overset{\rightharpoonup} {AM} \)＝__________。
10. \(\Delta ABC\)中，\(\overline {AB}  = 6\)，\(\overline {BC}  = 8\)，\(\overline {CA}  = 10\)，則：
    (1) \(\overset{\rightharpoonup} {AB}  \cdot \overset{\rightharpoonup} {AC} \)＝__________。
    (2) \(\overset{\rightharpoonup} {AB}  \cdot \overset{\rightharpoonup} {BC} \)＝__________。
    (3) \(\overset{\rightharpoonup} {BC}  \cdot \overset{\rightharpoonup} {CA} \)＝__________。
11. \(\Delta ABC\)中，\(\overline {AB}  = 7\)，\(\overline {BC}  = 8\)，\(\overline {CA}  = 9\)，則\(\overset{\rightharpoonup} {AB}  \cdot \overset{\rightharpoonup} {BC} \)＝__________。
12. \(\Delta ABC\)中，\(A(\,1\;,\;2\,)\)，\(B(\, - 2\;,\;6\,)\)，\(C(\,13\;,\;7\,)\)，則：
    (1) \(\overset{\rightharpoonup} {AB}  \cdot \overset{\rightharpoonup} {AC} \)＝__________。
    (2) \(\cos A = \)__________。
13. 設\(\overset{\rightharpoonup} a \)與\(\overset{\rightharpoonup} b \)兩向量之長各為\(\frac{3}{2}\)與5，若\(\overset{\rightharpoonup} a \)與\(\overset{\rightharpoonup} b \)之夾角為\({120^ \circ }\)，則|\(2\overset{\rightharpoonup} a  - \overset{\rightharpoonup} b \)|＝__________。
14. 設\(\overset{\rightharpoonup} u  = (3,2)\)，\(\overset{\rightharpoonup} v  = (2, - 1)\)， \(\overset{\rightharpoonup} w  = \overset{\rightharpoonup} u  + t\overset{\rightharpoonup} v \) ，其中\(t\)為實數，則當\(t = \)__________時，\(\overset{\rightharpoonup} w \)的長度有最小值為__________。
15. 設\(A(\, - 2\;,\; - 2\;,\;1\,)\)，\(B(\,0\;,\; - 1\;,\; - 3\,)\)，\(C(\, - 1\;,\; - 2\;,\; - 1\,)\)，則：
    (1) \(\overset{\rightharpoonup} {AB} \)在\(\overset{\rightharpoonup} {AC} \)上的正射影為__________。
    (2) 點\(B\)在直線\(AC\)上的投影點坐標為__________。
16. 已知\(x\)，\(y\)，\(z\)為實數，若\({(x - 1)^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 1)^2} = 4\)，則\(2x + y - 2z\)之最大值為__________，此時序組\((\,x\;,\;y\;,\;z\,) = \)__________；最小值為__________，此時序組\((\,x\;,\;y\;,\;z\,) = \)__________。
17. 已知\(x\)，\(y\)，\(z\)為實數，若\(2x + y - 2z = 14\)，則當序組\((\,x\;,\;y\;,\;z\,) = \)__________時，\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 6y\)有最小值__________。

Ans:

1. 2
2. 9或\(\frac{{13}}{3}\)
3. (1) \((\,6\;,\; - 2\;,\; - 3\,)\) (2) \( \pm 2\) (3) \((\,12\;,\; - 4\;,\; - 6\,)\)或\((\, - 12\;,\;4\;,\;6\,)\)
4. (1) \((\, - 1\;,\;1\,)\) (2) \((\, - 3\;,\;2\,)\)
5. \((\,\frac{3}{7}\;,\;\frac{4}{7}\,)\)或\((\, - 3\;,\;4\,)\)
6. 26
7. \((\,3\;,\; - 1\,)\)
8. (2)(3)(5)
9. \((\,\frac{{45}}{{32}}\;,\;\frac{{25}}{{16}}\,)\)
10. (1) \(30\sqrt 3 \) (2) 0 (3) 40
11. \( - 16\)
12. (1) \( - 16\) (2) \( - \frac{{16}}{{65}}\)
13. 7
14. \( - \frac{4}{5}\)，\(\frac{{7\sqrt 5 }}{5}\)
15. (1) \((\,2\;,\;0\;,\; - 4\,)\) (2) \((\,0\;,\; - 2\;,\; - 3\,)\)
16. 7，\((\,\frac{7}{3}\;,\;\frac{5}{3}\;,\; - \frac{1}{3}\,)\)；\( - 5\)，\((\, - \frac{1}{3}\;,\;\frac{1}{3}\;,\;\frac{7}{3}\,)\)
17. \((\,\frac{{13}}{3}\;,\; - \frac{4}{3}\;,\; - \frac{{10}}{3}\,)\)，\( - 1\)