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穩拿基礎題類題
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單元11 基礎題類題

  1. 設平面上直線\(L\)之方程式為\(5x + 3y - 1 = 0\),則\(L\)之法向量\(\overset{\rightharpoonup} n \)=__________,方向向量\(\overset{\rightharpoonup} v \)=__________,斜率為__________。(直線的法向量和方向向量不唯一,所以請各寫出可行的答案即可)
  1. 在坐標平面上,直線\(L:ax + by + 3 = 0\)通過\(A(\, - 3\;,\;2\,)\)且平行\(\overset{\rightharpoonup} v = (\,3\;,\; - 1\,)\),則\(L\)之參數式為__________,數對\((\,a\;,\;b\,) = \)__________。(直線的參數式不唯一,所以請寫出可行的答案即可)
  1. 設\(s\),\(t\)為實數,則兩直線\({L_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + s\\y = 2 - s\end{array} \right.\;\),s為實數,\({L_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = 3 - t\end{array} \right.\),t為實數之交點的坐標為__________。
  1. 在坐標平面上,直線\(L\)的方程式為\(2x - y + 1 = 0\),一定點\(P\)的\(x\)坐標為3,若\(L\)上一點\(Q\)滿足向量\(\overset{\rightharpoonup} {PQ} = (\,2\;,\;5\,)\),則點\(Q\)之坐標為__________。
  1. 若坐標平面上有點\(A(\, - 1\;,\;2\,)\),\(B(\,1\;,\;4\,)\),直線\(L:x - y + 1 = 0\),設\(P\)為\(L\)上之動點,則當點\(P\)坐標為__________時,\({\overline {PA} ^2} + {\overline {PB} ^2}\)有最小值__________。
  1. 兩直線\(2x - y - 3 = 0\)與\(3x + y - 2 = 0\)之交角為__________。
  1. 兩直線\(2x + y = 1\)與\(x + 2y = 2\)之交角中,其銳角之角平分線方程式為__________,鈍角之角平分線方程式為__________。
  1. 已知二元一次方程組\(\left\{ \begin{array}{l}{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\\{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0\end{array} \right.\),若\(\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1}}&{{b_1}}\\{{a_2}}&{{b_2}}\end{array}\,} \right| = - 2\),\(\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{{b_1}}&{{c_1}}\\{{b_2}}&{{c_2}}\end{array}\,} \right| = 2\),\(\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1}}&{{c_1}}\\{{a_2}}&{{c_2}}\end{array}\,} \right| = 6\),則方程組的解\((\,x\;,\;y\,) = \)__________。
  1. 若二元一次方程組\(\left\{ \begin{array}{l}(a - 2)x + 2y = 8 - a\\x + (a - 3)y = 2\end{array} \right.\)無解,則\(a = \)__________。
  1. 設\(a\)為實數,若方程組\(\left\{ \begin{array}{l}(a + 1)x + 2y = 0\\5x + (a + 4)y = 0\end{array} \right.\)除了\((\,x\;,\;y\,) = (\,0\;,\;0\,)\)外,尚有其他解,則\(a = \)__________。
  1. 設實數\(a > 0\)。若\(x\),\(y\)的方程組\(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 3\\2x - y = a\\3x - ay = 2\end{array} \right.\)有解,則\(a = \)__________。
  1. __________在空間中,下列哪些敘述是正確的?(多選)
    (1) 恰有一平面通過相異三點
    (2) 兩相異直線可以決定唯一的平面
    (3) 任意兩相異直線一定有公垂線
    (4) 垂直於同一平面的兩相異直線必平行
    (5) 兩歪斜線在一平面\(E\)之正射影有可能為兩平行線
  1. 設空間中有一點\(O\)在平面\(E\)上之投影為點\(A\),\(A\)在平面\(E\)上一直線\(L\)之投影為點\(B\),而\(L\)上另有一點\(C\)。若\(\overline {OA} = 2\),\(\overline {AB}  = 6\),\(\overline {BC}  = 9\),則\(\overline {OC} \)之長度為__________。
  1. 已知空間中\(\Delta ABC\),\(\angle CAB = {60^ \circ }\),\(\angle ACB = {30^ \circ }\),\(\overline {AB} = 3\),若以\(\overline {AB} \)為旋轉軸將\(\Delta ABC\)旋轉\({120^ \circ }\)後發現與\(\Delta ABC\)重合,則\(\overline {CD} \)之長度為__________。
  1. 一四面體\(ABCD\)中,令\(\overline {AB} = \overline {AC}  = \overline {AD}  = 3\),\(\overline {BC}  = \overline {CD}  = \overline {DB}  = 4\),若點\(H\)為點\(A\)在平面\(BCD\)之投影點,\(\theta \)為平面\(ABC\)和平面\(BCD\)所夾成之二面角之度量,則
    (1) \(\cos \theta  = \)__________。
    (2) \(\overline {AH}  = \)__________。
    (3) 四面體\(ABCD\)之體積為__________。(錐體體積=\(\frac{1}{3}\)\( \times \)底面積\( \times \)高)
  1. 空間坐標系中,點\(A(\,1\;,\; - 1\;,\;2\,)\)與點\(B(\, - 1\;,\;5\;,\; - 7\,)\)
    (1) \(\overline {AB} \)之長為__________。
    (2) 點\(A\)對\(xz\)平面之投影點的坐標為__________;點\(A\)對\(xz\)平面之對稱點
    的坐標為__________;點\(A\)至\(xz\)平面之距離為__________。
    (3) 點\(A\)對\(y\)軸之投影點的坐標為__________;點\(A\)對\(y\)軸之對稱點的坐標
       為__________;點\(A\)至\(y\)軸之距離為__________。
  1. 設\(\overset{\rightharpoonup} u = (\,1\;,\;1\;,\;2\,)\),\(\overset{\rightharpoonup} v  = (\,2\;,\; - 1\;,\;1\,)\)
    (1) 求\(\overset{\rightharpoonup} u  \times \overset{\rightharpoonup} v \)=__________。
    (2) 求\(\overset{\rightharpoonup} v  \times \overset{\rightharpoonup} u \)=__________。
    (3) 由\(\overset{\rightharpoonup} u \)與\(\overset{\rightharpoonup} v \)所決定的平行四邊形之面積為__________。
    (4) 設\(\overset{\rightharpoonup} u \)與\(\overset{\rightharpoonup} v \)之夾角為\(\theta \),則\(\theta  = \)__________。
    (5) 若\(\overset{\rightharpoonup} n \)之大小為\(5\sqrt 3 \)且同時垂直\(\overset{\rightharpoonup} u \)與\(\overset{\rightharpoonup} v \),則\(\overset{\rightharpoonup} n \) =__________。
  1. \(\Delta ABC\)中,若\(\overline {AB} = 5\),\(\overline {AC}  = 6\),\(\angle A = {30^ \circ }\),則\(\Delta ABC\)面積為__________。
  1. 若\(\Delta ABC\)三邊長為3,7,8,則:
    (1) \(\Delta ABC\)面積為__________。
    (2) 內切圓半徑為__________。
    (3) 外接圓半徑為__________。
  1. \(\Delta ABC\)中,若\(\overline {AB}  = \sqrt 3 \)、\(\overline {BC}  = \sqrt 7 \)、\(\overline {CA}  = \sqrt 5 \),則\(\Delta ABC\)面積為__________。

  1. \(\Delta ABC\)之三頂點坐標為\(A(\,1\;,\; - 1\,)\),\(B(\,2\;,\;3\,)\),\(C(\,5\;,\;8\,)\),則\(\Delta ABC\)面積為__________。
  1. 坐標空間中,\(\Delta ABC\)之三頂點坐標分別為\(A(\,2\;,\;3\;,\;1\,)\),\(B(\,1\;,\; - 1\;,\;2\,)\),\(C(\,3\;,\;1\;,\; - 2\,)\),則\(\Delta ABC\)面積為__________。

Ans:

  1. \((\,5\;,\;3\,)\),\((\,3\;,\; - 5\,)\),\( - \frac{5}{3}\)
  2. \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 3 + 3t\\y = 2 - t\end{array} \right.\),t為實數,\((\, - 1\;,\; - 3\,)\)
  3. \((\, - 2\;,\;5\,)\)
  4. \((\,5\;,\;11\,)\)
  5. \((\,1\;,\;2\,)\),8
  6. \({45^ \circ }\)或\({135^ \circ }\)
  7. \(x + y - 1 = 0\),\(x - y + 1 = 0\)
  8. \((\, - 1\;,\;3\,)\)
  9. 1
  10. 1或\( - 6\)
  11. (1) 11 (2) \((\,1\;,\;0\;,\;2\,)\),\((\,1\;,\;1\;,\;2\,)\),1

(3) \((\,0\;,\; - 1\;,\;0\,)\),\((\, - 1\;,\; - 1\;,\; - 2\,)\),\(\sqrt 5 \) 

  1. (3)(4)(5)
  2. 11
  3. 9
  4. (1) \(\frac{2}{{\sqrt {15} }}\),\(\frac{{\sqrt {33} }}{3}\),\(\frac{{4\sqrt {11} }}{3}\)
  5. \({60^ \circ }\)
  6. (1) \((\,3\;,\;3\;,\; - 3\,)\) (2) \((\, - 3\;,\; - 3\;,\;3\,)\)

(3) \(3\sqrt 3 \) (4) \({60^ \circ }\) (5) \((\,5\;,\;5\;,\; - 5\,)\)或\((\, - 5\;,\; - 5\;,\;5\,)\)  18. \(\frac{{15}}{2}\) 

  1. (1) \(6\sqrt 3 \)

(2) \(\frac{{2\sqrt 3 }}{3}\) (3) \(\frac{{7\sqrt 3 }}{3}\) 

  1. \(\frac{{\sqrt {59} }}{4}\)
  2. \(\frac{7}{2}\)
  3. \(\sqrt {59} \)

 

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