單元12 基礎題類題

  1. (1) 設空間中平面\(E:x - 2y - 3z = 6\),則\(E\)之法向量為__________,\(x\)截距
    為__________,\(y\)截距為__________,\(z\)截距為__________。
    (2) 設空間中平面\(E:x = 3\),則\(E\)之法向量為__________。
    (3) 空間中\(xz\)平面的法向量為__________。(平面法向量不唯一,所以請寫
       出可行的答案即可)
  1. 設空間中點\(A(\,1\;,\;2\;,\;3\,)\)在平面\(E\)上之投影點為\(B(\,3\;,\;2\;,\;1\,)\),則平面\(E\)之方程式為__________。
  1. 設空間中點\(A(\,1\;,\;2\;,\;3\,)\)與點\(B(\,3\;,\;2\;,\;1\,)\),則\(\overline {AB} \)的垂直平分面方程式為__________。
  1. 已知空間中平面\(E\)過\((\,a\;,\;0\;,\;0\,)\)、\((\,0\;,\; - 2\;,\;0\,)\)、\((\,0\;,\;0\;,\; - 12\,)\)、\((\,1\;,\; - 2\;,\; - 6\,)\),其中\(a \ne 0\),則\(a\)之值為__________。
  1. 已知空間中平面\(E\)過\((\,1\;,\;1\;,\; - 2\,)\)、\((\, - 1\;,\;0\;,\; - 2\,)\)、\((\,5\;,\;1\;,\;0\,)\),則\(E\)之方程式為__________。
  1. 設空間中直線\(L\)過一點\((\,2\;,\;2\;,\; - 1\,)\)且方向向量為\((\, - 1\;,\;2\;,\;3\,)\),則\(L\)之參數式為__________,稱比例式為__________。
  1. 設空間中直線\(L\)過兩點\(A(\,2\;,\; - 3\;,\;1\,)\)、\(B(\,2\;,\;2\;,\;1\,)\),則\(L\)之方向向量為__________,參數式為__________,\(L\)上的動點坐標可表示為__________。
  1. 已知空間中兩平面\({E_1}:x - y + z = 2\)與\({E_2}:x + 2y + 3z = 6\)相交於直線\(L\),則\(L\)之參數式為__________。
  1. 已知空間中平面\(E\)包含直線\(L:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{3}\)及點\(A(\,1\;,\;2\;,\; - 1\,)\),則平面\(E\)之方程式為__________。
  1. 已知空間中平面\(E\)包含兩相交直線\({L_1}:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{3}\)與\({L_2}:\left\{ \begin{array}{l}\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 1}}{2}\\z = 2\end{array} \right.\),則平面\(E\)之方程式為__________。
  1. 已知空間中平面\(E\)包含兩平行直線\({L_1}:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{3}\)與\({L_2}:\frac{x}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z + 2}}{3}\),則平面\(E\)之方程式為__________。
  1. 空間中平面\(y + z = 1\)與\(xy\)平面之夾角為__________。
  1. 設空間中三平面\({E_1}:2x - y + z = 3\)、\({E_2}: - 4x + ay + bz = 1\)、\({E_3}:x + y + cz = 5\)。若\({E_1}\)//\({E_2}\)且\({E_1} \bot {E_3}\),則序組\((\,a\;,\;b\;,\;c\,) = \)__________。
  1. 點\(P(\, - 2\;,\;1\;,\; - 2\,)\)至平面\(E:6x - 2y + 3z = 1\)之距離為__________。
  1. 點\(P(\, - 2\;,\;1\;,\; - 2\,)\)至平面\(E:x - 2y + 2z = t\)之距離為2,則\(t = \)__________。
  1. 若實數\(x\),\(y\),\(z\)滿足\(6x - 2y + 3z = 1\),則\({(x + 2)^2} + {(y - 1)^2} + {(z + 2)^2}\)之最小值為__________。
  1. 已知空間中直線\(L:\frac{{x - 4}}{2} = \frac{{y + 3}}{{ - 3}} = \frac{{z - 1}}{2}\),則:
    (1) \(L\)與平面\({E_1}:2x - y - z = 5\)之相交情形為__________。
    (2) \(L\)與平面\({E_2}:x + 2y + 2z = 5\)之相交情形為__________。
    (3) \(L\)與平面\({E_3}:x + 2y + 2z = 0\)之相交情形為__________。
  1. 在坐標空間中,已知直線\(L:\left\{ \begin{array}{l}x + y + z = 2\\3x + y + 2z = 7\end{array} \right.\)與平面\(E:8x - y - 3z = 1\)交於點\(A\),則點\(A\)之坐標為__________。
  1. 已知空間中兩直線\({L_1}:\frac{{x - 4}}{2} = \frac{{y + 3}}{{ - 3}} = \frac{{z - 1}}{2}\)與\({L_2}:\frac{{x + 3}}{{ - 5}} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{z}{1}\),則\({L_1}\)與\({L_2}\)之交點坐標為__________。
  1. 已知二次函數\(y = a{x^2} + bx + c\)的圖形通過\((\,1\;,\;2\,)\),\((\,2\;,\;1\,)\),\((\,3\;,\; - 2\,)\)三點,則序組\((\,a\;,\;b\;,\;c\,) = \)__________。

Ans:

  1. (1) \((\,1\;,\; - 2\;,\; - 3\,)\),6,\( - 3\),\( - 2\) (2) \((\,1\;,\;0\;,\;0\,)\) (3) \((\,0\;,\;1\;,\;0\,)\)
  2. \(x - z = 2\)
  3. \(x - z = 0\)
  4. \( - 2\)
  5. \(x - 2y - 2z = 3\)
  6. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - t\\y = 2 + 2t\\z = - 1 + 3t\end{array} \right.\), t為實數,\(\frac{{x - 2}}{{ - 1}} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z + 1}}{3}\)
  7. \((\,0\;,\;1\;,\;0\,)\),\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = - 3 + t\\z = 1\end{array} \right.\;\),t為實數,\((\,2\;,\; - 3 + t\;,\;1\,)\)
  8. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 5t\\y = 2t\\z = 2 - 3t\end{array} \right.\),t為實數
  9. \(2x - y - z = 1\)
  10. \(2x - y - z = 1\)
  11. \(8x - y - 2z = 3\)
  12. \({45^ \circ }\)或\({135^ \circ }\)
  13. \((\,2\;,\; - 2\;,\; - 1\,)\)
  14. 3
  15. \( - 2\)或\( - 14\)
  16. 9
  17. (1) \(L\)與\({E_1}\)恰交於一點 (2) \(L\)與平面\({E_2}\)平行 (3) \(L\)落於平面\({E_3}\)上
  18.  \((\,1\;,\; - 2\;,\;3\,)\)
  19. \((\,2\;,\;0\;,\; - 1\,)\)
  20. \((\, - 1\;,\;2\;,\;1\,)\)

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