單元14 基礎題類題

  1. 設拋物線\(\Gamma \)之方程式為\(\sqrt {{{(x + 1)}^2} + {{(y - 2)}^2}} = \frac{{|y - 4|}}{{\sqrt {{0^2} + {1^2}} }}\),請求下列各題:
    (1) \(\Gamma \)之焦點坐標為__________。
    (2) \(\Gamma \)之準線方程式為__________。
    (3) \(\Gamma \)之對稱軸方程式為__________。
    (4) \(\Gamma \)之焦距為__________。
  1. 拋物線\({x^2} - 2x + 8y + 17 = 0\),請求下列各題:
    (1) 頂點坐標為__________。
    (2) 焦點坐標為__________。
    (3) 對稱軸方程式為__________。
    (4) 準線方程式為__________。
    (5) 焦距為__________。
  1. 一拋物線之對稱軸平行於\(x\)軸,且過\((\,0\;,\;4\,)\),\((\,0\;,\;2\,)\)及\((\,16\;,\;0\,)\)三點,則拋物線方程式為__________。
  1. 已知一拋物線之準線為\(y = - 2\),焦點坐標為\((\, - 1\;,\;2\,)\),則拋物線方程式為__________。
  1. 設橢圓方程式為\(\sqrt {{{(x - 2)}^2} + {{(y - 6)}^2}} + \sqrt {{{(x - 2)}^2} + {{(y + 2)}^2}}  = 10\),請求下列各題:
    (1) 焦點坐標為__________。
    (2) 中心坐標為__________。
    (3) 頂點坐標為__________。
    (4) 長軸長為__________。
    (5) 短軸長為__________。
    (6) 對稱軸方程式為__________。
    (7) 橢圓上之任一點\(P\)至兩焦點之距離和為__________。
  1. 設橢圓方程式為\({x^2} + 4{y^2} + 6x - 8y + 9 = 0\),請求下列各題:
    (1) 中心坐標為__________。
    (2) 焦點坐標為__________。
    (3) 頂點坐標為__________。
    (4) 長軸長為__________。
    (5) 短軸長為__________。
    (6) 對稱軸方程式為__________。
    (7) 橢圓上之任一點 P 至兩焦點之距離和為__________。
  1. 若橢圓之兩焦點為\((\,1\;,\;4\,)\),\((\,1\;,\; - 2\,)\),長軸長為10,則橢圓方程式為__________。
  1. 已知橢圓之兩焦點為\({F_1}(\,5\;,\;0\,)\),\({F_2}(\, - 5\;,\;0\,)\),點\(A\)與\(B\)在橢圓上,且\(\overline {AB} \)過\({F_1}\),若\(\Delta AB{F_2}\)周長為52,則橢圓方程式為__________。
  1. 已知橢圓之長軸在直線\(y = - 1\)上,短軸在\(x = 2\)上,短軸長為長軸長的\(\frac{5}{{13}}\)倍,且中心到焦點的距離為12,則橢圓方程式為__________。
  1. 設雙曲線方程式為\(|\sqrt {{{(x - 2)}^2} + {{(y - 4)}^2}} - \sqrt {{{(x - 2)}^2} + {{(y + 6)}^2}} |\; = 8\),請求下列各題:
    (1) 焦點坐標為__________。
    (2) 中心坐標為__________。
    (3) 頂點坐標為__________。
    (4) 貫軸長為__________。
    (5) 共軛軸長為__________。
    (6) 對稱軸方程式為__________。
    (7) 漸近線方程式為__________。
    (8) 雙曲線上之任一點\(P\)至兩焦點之距離差的絕對值為__________。
  1. 設雙曲線方程式為\(16{x^2} - 9{y^2} + 64x + 18y - 89 = 0\),請求下列各題:
    (1) 中心坐標為__________。
    (2) 焦點坐標為__________。
    (3) 頂點坐標為__________。
    (4) 貫軸長為__________。
    (5) 共軛軸長為__________。
    (6) 對稱軸方程式為__________。
    (7) 漸近線方程式為__________。
    (8) 雙曲線上之任一點\(P\)至兩焦點之距離差的絕對值為__________。
  1. 一雙曲線的貫軸長為8,焦點為\((\,1\;,\;7\,)\),\((\,1\;,\; - 3\,)\),則此雙曲線的標準式為__________。
  1. 若\( - \frac{{{x^2}}}{k} + \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1\)為等軸雙曲線,則\(k = \)__________。
  1. 若\( - \frac{{{x^2}}}{3} + \frac{{{y^2}}}{2} = 1\)與\(\Gamma \)互為共軛雙曲線,則\(\Gamma \)之方程式為__________。
  1. 已知雙曲線\(\Gamma :\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\),將\(\Gamma \)依向量\(\mathop u\limits^ \rightharpoonup = (\, - 2\;,\;1\,)\)平移得一新雙曲線\(\Gamma '\),則\(\Gamma '\)之方程式為__________。
  1. 已知雙曲線\(\Gamma :\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\),將\(\Gamma \)以原點為中心,\(x\)方向伸縮2倍、\(y\)方向伸縮3倍,可得一新雙曲線\(\Gamma '\),則\(\Gamma '\)之方程式為__________。
  1. 方程式\(\sqrt {{{(x - 2)}^2} + {{(y - 6)}^2}} + \sqrt {{{(x - 2)}^2} + {{(y + 2)}^2}}  = 2a\),其中\(a\)為實數
    (1) 若\(\Gamma \)之圖形表一橢圓,則\(a\)的範圍為__________。
    (2) 若\(\Gamma \)之圖形表一線段,則\(a\)的值為__________。
    (3) 若\(\Gamma \)之圖形不存在,則\(a\)的範圍為__________。
  1. 設\({F_1}(\,1\;,\;7\,)\)與\({F_2}(\,1\;,\; - 3\,)\),\(P\)為同一平面上任一點,令\(\Gamma \)為\(|\overline {P{F_1}} - \overline {P{F_2}} |\; = k\)的圖形
    (1) 若\(\Gamma \)為雙曲線,則\(k\)的範圍為__________。
    (2) 若\(\Gamma \)為兩射線,則\(k\)的值為__________。
    (3) 若\(\Gamma \)為一直線,則\(k\)的值為__________。
    (3) 若\(\Gamma \)不存在,則\(k\)的範圍為__________。
  1. 設\(\Gamma :\frac{{{x^2}}}{{t + 3}} + \frac{{{y^2}}}{{1 - t}} = 1\)
    (1) 若\(\Gamma \)的圖形為圓,則\(t\)的值為__________。
    (2) 若\(\Gamma \)的圖形為橢圓且長軸在\(y\)軸上,則\(t\)的範圍為__________。
    (3) 若\(\Gamma \)的圖形為雙曲線且焦點在\(x\)軸上,則\(t\)的範圍為__________。
  1. 若一橢圓\(\Gamma \)與\(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\)共焦點且\(\Gamma \)之短軸長為8,則橢圓\(\Gamma \)之方程式為__________。
  1. 已知一雙曲線的兩焦點與橢圓\(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\)的兩個焦點都相同,且貫軸長是2,則此雙曲線的方程式為__________。

Ans:

  1. (1) \((\, - 1\;,\;2\,)\) (2) \(y - 4 = 0\) (3) \(x = - 1\) (4) 1
  2. (1) \((\,1\;,\; - 2\,)\) (2) \((\,1\;,\; - 4\,)\)(3) \(x = 1\) (4) \(y = 0\) (5) 2
  3. \(x = 2{y^2} - 12y + 16\)
  4. \({(x + 1)^2} = 8y\)
  5. (1) \((\,2\;,\;6\,)\),\((\,2\;,\; - 2\,)\) (2) \((\,2\;,\;2\,)\) (3) \((\,2\;,\;7\,)\),\((\,2\;,\; - 3\,)\),\((\,5\;,\;2\,)\),\((\, - 1\;,\;2\,)\)(4) 10 (5) 6 (6) \(x = 2\)與\(y = 2\) (7) 10
  6. (1) \((\, - 3\;,\;1\,)\) (2) \((\, - 3 \pm \sqrt 3 \;,\;1\,)\)(3) \((\, - 5\;,\;1\,)\),\((\, - 1\;,\;1\,)\),\((\, - 3\;,\;2\,)\),\((\, - 3\;,\;0\,)\) (4) 4 (5) 2 (6) \(x = - 3\)與\(y = 1\) (7) 4
  7. \(\frac{{{{(x - 1)}^2}}}{{16}} + \frac{{{{(y - 1)}^2}}}{{25}} = 1\)
  8. \(\frac{{{x^2}}}{{169}} + \frac{{{y^2}}}{{144}} = 1\)
  9. \(\frac{{{{(x - 2)}^2}}}{{169}} + \frac{{{{(y + 1)}^2}}}{{25}} = 1\)
  10. (1) \((\,2\;,\;4\,)\),\((\,2\;,\; - 6\,)\) (2) \((\,2\;,\; - 1\,)\) (3) \((\,2\;,\;3\,)\),\((\,2\;,\; - 5\,)\) (4) 8 (5) 6(6) \(x = 2\)與\(y = - 1\) (7) \(4x - 3y = 11\)與\(4x + 3y = 5\) (8) 8
  11. (1) \((\, - 2\;,\;1\,)\)(2) \((\,3\;,\;1\,)\),\((\, - 7\;,\;1\,)\) (3) \((\,1\;,\;1\,)\),\((\, - 5\;,\;1\,)\) (4) 6 (5) 8 (6) \(x = - 2\)與\(y = 1\)(7) \(4x - 3y + 11 = 0\)與\(4x + 3y + 5 = 0\) (8) 6
  12. \( - \frac{{{{(x - 1)}^2}}}{9} + \frac{{{{(y - 2)}^2}}}{{16}} = 1\)
  13. 25
  14. \( - \frac{{{x^2}}}{3} + \frac{{{y^2}}}{2} = - 1\)
  15. \(\frac{{{{(x + 2)}^2}}}{4} - \frac{{{{(y - 1)}^2}}}{9} = 1\)
  16. \(\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{{81}} = 1\)
  17. (1) \(a > 4\) (2) \(a = 4\) (3) \(a < 4\)
  18. (1) \(0 < k < 10\) (2) \(k = 10\) (3) \(k = 0\)(4) \(k < 0\)或\(k > 10\)
  19. (1) \( - 1\) (2) \( - 3 < t < - 1\) (3) \(t > 1\)
  20. \(\frac{{{x^2}}}{{21}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\)
  21. \(\frac{{{x^2}}}{1} - \frac{{{y^2}}}{4} = 1\)

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