費馬點(Fermat Point)


前言

 

費馬(P.Fermat)曾對Torricelli(伽俐略的學生)提出一個問題:

 

「在平面上找到一個點,使此點到已知三角形三個頂點的距離和為最小」

 

這個點就是所謂的費馬點(Fermat Point),這個問題可以應用在,例如有三個城市,然後要蓋一個交通中心到這三個城市的距離和為最短這一類的問題。

 

 

找費馬點

 

平面上一三角形ABC,試找出一點P,使$\overline {PA} + \overline {PB} + \overline {PC} $為最小

 

首先,讓我們先找到P點的性質,再來研究怎麼做出P點

 

【解法1】

 fermatpt1

如圖,以B點為中心,將△APB旋轉60°到△AP'B',則$\overline {PA} + \overline {PB} + \overline {PC} = \overline {P'A'} + \overline {P'P} + \overline {PC} $

 

由此可知當A',P',P,C四點共線時,$\overline {PA} + \overline {PB} + \overline {PC} = \overline {P'A'} + \overline {P'P} + \overline {PC} $為最小

 

若A'-P'-P共線,∵$\angle BP'P = 60^\circ \Rightarrow \angle A'P'B = \angle APB = 120^\circ $

 

同理P'-P-C共線,∵$\angle BPP' = 60^\circ \Rightarrow \angle BPC = 120^\circ $

 

所以P點為滿足$\angle APB = \angle BPC = \angle CPA = 120^\circ $的點

 

【解法2】

 

fermatpt2

假設P為滿足$\overline {PA} + \overline {PB} + \overline {PC} $最小的點

 

令$\overline {PA} + \overline {PB} = k$為一定值

 

則滿足$\overline {P'A} + \overline {P'B} = k$的P'點的軌跡為一橢圓

 

故P點必為C點到橢圓上點的最短距離的點

 

由此可知,$\overline {CP} $與過P點與橢圓相切的切線MN垂直

 

所以$\angle CPM = \angle CPN = {90^ \circ }$

 

再由橢圓的光學性質,可得$\angle APM = \angle BPN$

 

 

$\angle CPM + \angle APM = \angle CPN + \angle BPN$

 

$ \Rightarrow $$\angle CPA = \angle CPB$

 

同理可證出$\angle APB = \angle BPC = \angle CPA = 120^\circ $

 

以上二個解法主要是說明P點的性質,也就是P會滿足$\angle APB = \angle BPC = \angle CPA = 120^\circ $。但是,我們該用什麼方法找到P點呢?

 

拿破侖定理

 

證明拿破侖定理時,在【證明二】中的X點即滿足$\angle AXB = \angle BXC = \angle CXA = 120^\circ $,即X點就是我們要尋找的費馬點。請見拿破侖定理

 

在深入研究,可以發現X點還有一些性質:

 

如下圖,△ABP,△BCQ和△CAR皆為正三角形,點X為△ABP,△BCQ和△CAR之外接圓的交點,則點X同時也是$\overline {AQ} ,\overline {BR} ,\overline {CP} $三線的交點。

 fermatpt3

【證明】

 

要證明這並不難,在證明拿破侖定理時已證明過$\angle AXB = \angle BXC = \angle CXA = 120^\circ $,又QBXC四點共圓,所以$\angle CXQ = 60^\circ $

 

故$\angle AXC + \angle CXQ = 180^\circ $,X在$\overline {AQ} $上

 

同理可證X在$\overline {BR} ,\overline {CP} $上,故X亦為$\overline {AQ} ,\overline {BR} ,\overline {CP} $三線交點

 

經過上面的一些討論之後,平面上△ABC,想找出一點P,使$\overline {PA} + \overline {PB} + \overline {PC} $為最小,方法就是分別以$\overline {AB} ,\overline {BC} $為邊各做一個正三角形△ABP,△BCQ,然後連接$\overline {AQ} ,\overline {CR} $,則$\overline {AQ} ,\overline {CR} $的交點即為所求。

 

在使用上面這個方法時,需注意到一點,那就是△ABC的每一個內角都必須小於120°。當其中有一個內角超過120°時,P點就是△ABC最大角的頂點。


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