指數與對數

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3 年 2 個月 ago #604 來自 sgod
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指數
1. 下圖為某池塘中布袋蓮蔓延的面積與時間的關係圖。假設其關係為指數函數,試問下列敘述何者為真?...

指數

1. 下圖為某池塘中布袋蓮蔓延的面積與時間的關係圖。假設其關係為指數函數,試問下列敘述何者為真?
(1) 此指數函數的底數為2
(2) 在第5個月時,布袋蓮的面積就會超過30\({m^2}\)
(3) 布袋蓮從4\({m^2}\)蔓延到12\({m^2}\),只需1.5個月
(4) 設布袋蓮蔓延到2\({m^2}\)、3\({m^2}\)、6\({m^2}\)所需的時間分別為\({t_1}\)、\({t_2}\)、\({t_3}\),則\({t_1} + {t_2} = {t_3}\)
(5) 布袋蓮在第1到第3個月之間的蔓延平均速度等於在第2到第4個月之間的蔓延平均速度 。

【87推甄】

sa3 1


2. 觀察相關的函數圖形,判斷下列選項何者為真?
(1) \({10^x} = x\)有實數解
(2) \({10^x} = {x^2}\)有實數解
(3) \(x\)為實數時,\({10^x} > x\)恆成立
(4) \(x > 0\)時,\({10^x} > {x^2}\)恆成立
(5) \({10^x} = - x\)有實數解 。
【91學測】


3. 下列選項中的數,何者最大?(其中\(n! = n \times (n - 1) \times \cdots \times 2 \times 1\))
(1)\({100^{10}}\)
(2) \({10^{100}}\)
(3) \({50^{50}}\)
(4) \(50!\)
(5) \(\frac{{100!}}{{50!}}\) 。
【93學測】


4. 設\(x\)為一正實數且滿足\(x \cdot {3^x} = {3^{18}}\);若\(x\)落在連續正整數\(k\)與\(k + 1\)之間,則\(k = \)__________。

【94學測】


5. 對任意實數\(x\)而言,\({27^{({x^2} + \frac{2}{3})}}\)的最小值為
(1) 3
(2) \(3\sqrt 3 \)
(3) 9
(4) 27
(5) \(81\sqrt 3 \)。
【97學測】


6. 令\(a = {2.6^{10}} - {2.6^9}\),\(b = {2.6^{11}} - {2.6^{10}}\),\(c = \frac{{{{2.6}^{11}} - {{2.6}^9}}}{2}\)。請選出正確的大小關係。
(1) \(a > b > c\)
(2) \(a > c > b\)
(3) \(b > a > c\)
(4) \(b > c > a\)
(5) \(c > b > a\)。
【102學測】


7. 坐標平面上滿足\({10^x} \cdot {100^y} = 1000\)的所有點\((\,x\;,\;y\,)\)所形成的圖形為下列哪個選項?
(1) 一個點
(2) 一直線
(3) 兩直線
(4) 一個二次多項式的函數圖形
(5) 一個圓。
【103乙】


8. 坐標平面上,在函數圖形\(y = {2^x}\)上,標示\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)四個點,其\(x\)坐標分別為\( - 1\)、0、1、2。請選出正確的選項。
(1) 點\(B\)落在直線\(AC\)下方
(2) 在直線\(AB\)、直線\(BC\)、直線\(CD\)中,以直線\(CD\)的斜率最大
(3) \(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)四個點,以點\(B\)最靠近\(x\)軸
(4) 直線\(y = 2x\)與\(y = {2^x}\)的圖形有兩個交點
(5) 點\(A\)與點\(C\)對稱於\(y\)軸
【104學測】


9. 滿足不等式\(\frac{1}{{104}} \le {\left( {\sqrt {10} } \right)^x} \le 2015\)的整數\(x\)共有多少個?
(1) 9個
(2) 10個
(3) 11個
(4) 12個
(5) 13個
【104甲】


Ans:
1. (1)(2)(4)
2. (2)(3)(4)(5)
3. (2)
4. 15
5. (3)
6. (4)
7. (2)
8. (1)(2)(4)
9. (3)



對數
1. 設\(a > b > 1000\)。令\(p = \sqrt {{{\log }_7}a \cdot {{\log }_7}b} \),\(q = \frac{1}{2}({\log _7}a + {\log _7}b)\),\(r = {\log _7}(\frac{{a + b}}{2})\),則下列敘述何者正確?
(1) \(q = {\log _7}\sqrt {ab} \)
(2) \(q > r\)
(3) \(r < p < q\)
(4) \(p < q < r\)
(5) \(q < p < r\) 。
【85推甄】


2. 以下各數何者為正?
(1) \(\sqrt 2 - \sqrt(3){2}\)
(2) \({\log _2}3 - 1\)
(3) \({\log _3}2 - 1\)
(4) \({\log _{\frac{1}{2}}}3\)
(5) \({\log _{\frac{1}{3}}}\frac{1}{2}\) 。
【92學測】


3. 試問有多少個正整數\(n\)滿足\(100 \le {(1.5)^n} \le 500\)?
(1) 3個
(2) 4個
(3) 5個
(4) 6個
(5) 7個 。
【92學測補】


4. 設\(a\),\(b\),\(c\)為正整數,若\(a{\log _{520}}2 + b{\log _{520}}5 + c{\log _{520}}13 = 3\),則\(a + b + c = \)__________。
【93學測】


5. 陳老師證明了\({x^2} = {2^x}\)有兩個正實數解及一個負實數解後,進一步說,此方程式兩邊各取\({\log _2}\),得\(2{\log _2}x = x\);陳老師要同學討論此新的方程式有多少實數解?
小英說:恰有三個實數解;
小明說:恰有兩個正實數解;
小華說:最多只有兩個實數解;
小毛說:仍然有兩個正實數解及一個負實數解;
小芬說:沒有實數解。
請問哪些人說的話,可以成立?
(1) 小英
(2) 小明
(3) 小華
(4) 小毛
(5)小芬 。
【92乙】


6. 根據對數表,\(\log 2\)的近似值是0.3010,\(\log 3\)的近似值是0.4771。下列選項有哪些是正確的?
(1) \({10^9} > {9^{10}}\)
(2) \({10^{12}} < {12^{10}}\)
(3) \({10^{11}} > {11^{10}}\)
(4) 方程式\({10^x} = {x^{10}}\)有一負根 。
【93甲】


7. 設\(a\),\(b\)為正實數,已知\({\log _7}a = 11\),\({\log _7}b = 13\);試問\({\log _7}(a + b)\)之值最接近下列哪個選項?
(1) 12
(2) 13
(3) 14
(4) 23
(5) 24 。
【94學測】


8. 在坐標平面上,設\(P\)為\(y = 2 + x - {x^2}\)圖形上的一點。若\(P\)的\(x\)坐標為\({\log _3}10\),則\(P\)點的位置在
(1) 第一象限
(2) 第二象限
(3) 第三象限
(4) 第四象限
(5) 坐標軸上 。
【95甲】


9. 設\(a\)為大於1的實數,考慮函數\(f(x) = {a^x}\)與\(g(x) = {\log _a}x\),試問下列哪些選項是正確的?
(1) 若\(f(3) = 6\),則\(g(36) = 6\)
(2) \(\frac{{f(238)}}{{f(219)}} = \frac{{f(38)}}{{f(19)}}\)
(3) \(g(238) - g(219) = g(38) - g(19)\)
(4) 若\(P\),\(Q\)為\(y = g(x)\)的圖形上兩相異點,則直線\(PQ\)之斜率必為正數
(5) 若直線\(y = 5x\)與\(y = f(x)\)的圖形有兩個交點,則直線\(y = \frac{1}{5}x\)與\(y = g(x)\)的圖形也有兩個交點 。
【96學測】


10. 設實數\(x\)滿足\(0 < x < 1\),且\({\log _x}4 - {\log _2}x = 1\),則\(x = \)__________。(化成最簡分數)
【96學測】


11. 設\({a_1},\;{a_2},\;{a_3},\; \cdots \;,\;{a_{10}}\)是一等比數列,其首項\({a_1} > 1\)且公比\(r > 1\)。坐標平面上有一質點\(M\)自\((\,0\;,\;0\,)\)出發,依以下規則連續移動十次:第一次移動往右\(\log {a_1}\)單位,第二次移動向上\(\log {a_2}\)單位,第三次移動往右\(\log {a_3}\)單位,第四次移動向上\(\log {a_4}\)單位,依此類推直到第十次;即第\(2k - 1\)次的移動是往右\(\log {a_{2k - 1}}\)單位,接著第\(2k\)次的移動是向上\({\log _{2k}}\)單位。已知經過這十次的移動後,該質點\(M\)停在點\((\,5 + 5\log 2\;,\;5 + \frac{{15}}{2}\log 2\,)\)的位置上,試問首項\({a_1}\)與公比\(r\)組成的序對\((\,{a_1}\;,\;r\,)\)為以下哪一選項?
(1) \((\,\sqrt 2 \;,\;\sqrt 2 \,)\)
(2) \((\,2\sqrt 2 \;,\;\sqrt 5 \,)\)
(3) \((\,2\;,\;\sqrt 2 \,)\)
(4) \((\,5\;,\;\sqrt 5 \,)\)
(5) \((\,5\;,\;\sqrt 2 \,)\) 。
【96甲】


12. 若\((\,a\;,\;b\,)\)是對數函數\(y = \log x\)圖形上一點,則下列哪些選項中的點也在該對數函數的圖形上?
(1) \((\,1\;,\;0\,)\)
(2) \((\,10a\;,\;b + 1\,)\)
(3) \((\,2a\;,\;2b\,)\)
(4) \((\,\frac{1}{a}\;,\;1 - b\,)\)
(5) \((\,{a^2}\;,\;2b\,)\)。
【98乙】


13. 設\(a\)為一正實數且滿足\({a^{\sqrt 3 }} = \sqrt 3 \)。試問下列哪些選項是正確的?
(1) \({a^3} = 3\)
(2) \({\log _{\sqrt 3 }}a = \sqrt 3 \)
(3) \(a > 1\)
(4) \(a < {3^{\frac{1}{4}}}\)。
【99甲】


14. 關於指數函數或對數函數圖形的敘述,下列哪些選項是正確的?
(1) \(y = {2010^x}\)的圖形恆在\(y = {99^x}\)的上方
(2) \(y = {\log _{99}}x\)與\(y = {99^x}\)兩函數的圖形對稱於直線\(y = x\)
(3) \(y = {\log _{99}}x\)與\(y = {\log _{\frac{1}{{99}}}}x\)兩函數的圖形對稱於\(x\)軸
(4) \(y = {\log _{2010}}({x^2} - 10x + 33)\)的圖形與\(x\)軸相交。
【99乙】


15. 考慮坐標平面上滿足\({2^x} = {5^y}\)的點\(P(\,x\;,\;y\,)\),試問下列哪一個選項是錯誤的?
(1) \((\,0\;,\;0\,)\)是一個可能的\(P\)點
(2) \((\,\log 5\;,\;\log 2\,)\)是一個可能的\(P\)點
(3) 點\(P(\,x\;,\;y\,)\)滿足\(xy \ge 0\)
(4) 所有可能的點\(P(\,x\;,\;y\,)\)構成的圖形為一直線
(5) 點\(P\)的\(x,\;y\)坐標可以同時為正整數。
【100甲

 

16. 請問下面哪一個選項是正確的?
(1) \({3^7} < {7^3}\)
(2) \({5^{10}} < {10^5}\)
(3) \({2^{100}} < {10^{30}}\)
(4) \({\log _2}3 = 1.5\)
(5) \({\log _2}11 < 3.5\)。
【100學測】


17. 試求所有滿足\(\log ({x^3} - 12{x^2} + 41x - 20) \ge 1\)的\(x\)值之範圍。(6分)
【100甲】


18. 設\((\,\pi \;,\;r\,)\)為函數\(y = {\log _2}x\)圖形上之一點,其中\(\pi \)為圓周率,\(r\)為一實數。請問下列哪些選項是正確的?
(1) \((\,r\;,\;\pi \,)\)為函數\(y = {2^x}\)圖形上之一點
(2) \((\, - r\;,\;\pi \,)\)為函數\(y = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}\)圖形上之一點
(3) \((\,\frac{1}{\pi }\;,\;r\,)\)為函數\(y = {\log _{{\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle 1$}\lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle 2$}}}}x\)圖形上之一點
(4) \((\,r\;,\;2\pi \,)\)為函數\(y = {4^x}\)圖形上之一點。
【100乙】


19. 若正實數\(x,\;y\)滿足\({\log _{10}}x = 2.8\),\({\log _{10}}y = 5.6\),則\({\log _{10}}({x^2} + y)\)最接近下列哪一個選項的值?
(1) 2.8
(2) 5.6
(3) 5.9
(4) 8.4
(5) 11.2。
【101學測】


20. 設\(0 < x < 1\)。請選出正確的選項。
(1) \({x^2} < \sqrt x < x\)
(2) \({\log _{10}}({x^2}) < {\log _{10}}x < {\log _{10}}\sqrt x \)
(3) \({\log _2}({x^2}) < {\log _{10}}({x^2}) < {\log _2}x\)
(4) \({\log _{10}}({x^2}) < {\log _2}\sqrt x < {\log _{10}}x\)。
【101乙】


21. 設\(a > 1 > b > 0\),關於下列不等式,請選出正確的選項。
(1) \({( - a)^7} > {( - a)^9}\)
(2) \({b^{ - 9}} > {b^{ - 7}}\)
(3) \({\log _{10}}\frac{1}{a} > {\log _{10}}\frac{1}{b}\)
(4) \({\log _a}1 > {\log _b}1\)
(5) \({\log _a}b \ge {\log _b}a\)。
【102學測】


22. 坐標平面上,直線\(x = 2\)分別交函數\(y = {\log _{10}}x\)、\(y = {\log _2}x\)的圖形於\(P\)、\(Q\)兩點;直線\(x = 10\)分別交函數\(y = {\log _{10}}x\)、\(y = {\log _2}x\)的圖形於\(R\)、\(S\)兩點。試問四邊形\(PQRS\)的面積最接近下列哪一個選項?(\({\log _{10}}2 \approx 0.3010\))
(1) 10
(2) 11
(3) 12
(4) 13
(5) 14。
【102甲】


23. 請問下列哪一個選項等於\(\log \left( {{2^{\left( {{3^5}} \right)}}} \right)\)?
(1) \(5\log ({2^3})\)
(2) \(3 \times 5\log 2\)
(3) \(5\log 2 \times \log 3\)
(4) \(5(\log 2 + \log 3)\)
(5) \({3^5}\log 2\)。
【103學測】


24. 請問指數方程式\({2^{{{10}^x}}} = {10^6}\)的解\(x\)最接近下列哪一個選項?(\(\log 2 \approx 0.3010\)、\(\log 3 \approx 0.4771\)、\(\log 7 \approx 0.8451\))
(1) 1.1
(2) 1.2
(3) 1.3
(4) 1.4
(5) 1.5。
【103甲】


Ans:
1. (1)(4)
2. (1)(2)(5)
3. (2)
4. 15
5. (2)(3)
6. (3)(4)
7. (2)
8. (4)
9. (1)(2)(4)(5)
10. \(\frac{1}{4}\)
11. (5)
12. (1)(2)(5)
13. (3)
14. (2)(3)
15. (5)
16. (5)
17. \(1 \le x \le 5\)或\(6 \le x\)
18. (1)(2)(3)
19. (3)
20. (2)(4)
21. (1)(2)
22. (3)
23. (5)
24. (3)


指數與對數的應用
1. 設年利率為12.5%,若依複利計算,則至少要__________年(取整數年數),本利和才會超過本金的2倍(\({\log _{10}}2 = 0.3010\),\({\log _{10}}3 = 0.4771\))。 【86自】


2. 某甲向銀行貸款100萬元,約定從次月開始每月還給銀行1萬元,依月利率0.6%複利計算,則某甲需要__________年就可還清。(答案以四捨五入計算成整數,而\({\log _{10}}2 = 0.3010\),\({\log _{10}}1.006 = 0.0026\)) 【88自】


3. 1999年6月1日數學家利用超級電腦驗證出\({2^{6972593}} - 1\)是一個質數。若想要列印出此質數至少需要多少張A4紙?假定每張A4紙,可列印出3000個數字。在下列選項中,選出最接近的張數。(\({\log _{10}}2 \approx 0.3010\))
(A) 50
(B) 100
(C) 200
(D) 500
(E)700 。
【89推甄】


4. 目前國際使用芮氏規模來表示地震強度。設\(E(r)\)為地震芮氏規模\(r\)時,震央所釋放出來的能量,\(r\)與\(E(r)\)的關係如下:
\(\log E(r) = 5.24 + 1.44r\),
(1)某次地震其芮氏規模為4,試問其震央所釋放的能量\(E(4)\)為多少?
(2)試問芮氏規模6的地震,其震央所釋放的能量是芮氏規模4的地震震央所釋放能量之多少倍?(整數倍以下捨去,已知\({10^{1.44}} = 27.54\))
【90社】


5. 某甲自89年7月起,每月1日均存入銀行1000元,言明以月利率0.5%按月複利計息,到90年7月1日提出。某乙則於89年7月起,每單月(一月、三月、五月…)1日均存入銀行2000元,亦以月利率0.5%按月複利計息,到90年7月1日提出。一整年中,兩人都存入本金12000元。提出時,甲得本利和\(A\)元,乙得本利和\(B\)元。問下列選項何者為真?
(1) \(B > A\)
(2) \(A = 1000\left( {\sum\limits_{k = 1}^{12} {{{(\frac{{1005}}{{1000}})}^k}} } \right)\)
(3) \(B = 2000\left( {\sum\limits_{k = 1}^6 {{{(\frac{{1005}}{{1000}})}^{2k}}} } \right)\)
(4) \(A < 12000{(\frac{{1005}}{{1000}})^{12}}\)
(5) \(B < 12000{(\frac{{1005}}{{1000}})^{12}}\) 。
【91學測】


6. 某君於九十年初,在甲、乙、丙三家銀行各存入十萬元,各存滿一年後,分別取出。已知該年各銀行之月利率如下表,且全年十二個月皆依機動利率按月以複利計息。

甲銀行 乙銀行 丙銀行
1-4 0.3 0.3 0.3
5-8 0.3 0.4 0.2
9-12 0.3 0.2 0.4

假設存滿一年,某君在甲、乙、丙三家銀行存款的本利和分別為\(a\)、\(b\)、\(c\)元,請問下列哪些式子為真?
(1) \(a > b\)
(2) \(a > c\)
(3) \(b > c\)
(4) \(a = b = c\) 。
【91甲】


7. 前行政院長提出知識經濟,喊出10年內要讓臺灣double(加倍),一般小市民希望第11年開始的薪水加倍。如果每年調薪\(a\% \),其中\(a\)為整數,欲達成小市民的希望,那麼\(a\)的最小值為__________。(參考數值:\({\log _{10}}2 \buildrel\textstyle.\over= 0.3010\))

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
log(1 + 0.01x) 0.0043 0.0086 0.0128 0.0170 0.0212 0.0253 0.0294 0.0334 0.0374


【91乙】

 

8. 根據統計資料,在A小鎮當某件訊息發布後,t小時之內聽到該訊息的人口是全鎮人口的\(100(1 - {2^{ - kt}})\% \),其中k是某個大於0的常數。今有某訊息,假設在發布後3小時之內已經有70%的人口聽到該訊息。又設最快要T小時後,有99%的人口已聽到該訊息,則T最接近下列哪一個選項?
(1) 5小時
(2) \(7\frac{1}{2}\)小時
(3) 9小時
(4) \(11\frac{1}{2}\)小時
(5) 13小時 。
(已知\({\log _{10}}2 = 0.3010\),\({\log _{10}}3 = 0.4771\))
【92學測】


9. 已知不等式\(1.253 \times {10^{845}} < {7^{1000}} < 1.254 \times {10^{845}}\)成立。請選出正確的選項。
(1) \({\log _{10}}7 < 0.846\)
(2) \({\log _{10}}7 > 0.845\)
(3) \({7^{100}} < 5 \times {10^{84}}\)
(4) \({7^{10}} < 2 \times {10^8}\) 。
【92甲】


10. 統計學家克利夫蘭對人體的眼睛詳細研究後發現:我們的眼睛看到圖形面積的大小與此圖形實際面積的0.7次方成正比。例如:大圖形是小圖形的3倍,眼睛感覺到的只有\({3^{0.7}}\)(約2.16)倍。觀察某個國家地圖,感覺全國面積約為某縣面積的10倍,試問這國家的實際面積大約是該縣面積的幾倍? (已知\(\log 2 \buildrel\textstyle.\over= 0.3010,\;\;\;\log 3 \buildrel\textstyle.\over= 0.4771,\;\;\;\log 7 \buildrel\textstyle.\over= 0.8451\))
(1) 18倍
(2) 21倍
(3) 24倍
(4) 27倍
(5) 36倍 。
【93乙】


11. 聲音的強度是用每平方公尺多少瓦特\((W/{m^2})\)來衡量,一般人能感覺出聲音的最小強度為\({I_0} = {10^{ - 12}}\;(W/{m^2})\);當測得的聲音強度為\(I\)\((W/{m^2})\)時,所產生的噪音分貝數d為\(d(I) = 10 \cdot \log \frac{I}{{{I_0}}}\)。
(1)一隻蚊子振動翅膀測得的聲音強度為\({10^{ - 12}}(W/{m^2})\),求其產生的噪音分貝數。(2分)
(2)汽車製造廠測試發現,某新車以每小時60公里速度行駛時,測得的聲音強度為\({10^{ - 4}}(W/{m^2})\),試問此聲音強度產生的噪音為多少分貝?(4分)
(3)棒球比賽場中,若一支瓦斯汽笛獨鳴,測得的噪音為70分貝,則百支瓦斯汽笛同時同地合鳴,被測得的噪音大約為多少分貝?(6分)
【93乙】


12. 在1766年,天文學家波德提出有名的『波德法則』:行星與太陽的平均距離\(d\)(天文單位)可以用數學式子
\(d = \alpha + \beta \cdot {2^n}\)
表示。行星所對應的\(n\)值如下表所示:

行星 對應的
金星 0
地球 1
火星 2
木星 4
土星 5
天王星 6

(1) 設金星與太陽的平均距離為 d,請以\(\alpha \)及\(\beta \)表示d (2分)
(2)若d 為0.7天文單位,且火星與太陽的平均距離比金星與太陽的平均距離多0.9(天文單位),請求出\(\alpha \)及\(\beta \)(8分)
(3)承上題,請求出地球與太陽的平均距離(2分)
【93指考補】


13. 地震規模的大小通常用芮氏等級來表示。已知芮氏等級每增加1級,地震震幅強度約增加為原來的10倍,能量釋放強度則約增加為原來的32倍。現假設有兩次地震,所釋放的能量約相差100,000倍,依上述性質則地震震幅強度約相差幾倍?請選出最接近的答案。
(1) 10倍
(2) 100倍
(3) 1000倍
(4) 10000倍
【94甲】


14. 根據過去長期統計資料顯示:某公司推銷員的年資\(x\)(年),與每次推銷成功的機率\(y(x)\),滿足下列關係式:\(y(x) = \frac{{{2^{ - 3 + x}}}}{{1 + {2^{ - 3 + x}}}}\)
(1) 化簡\(r(x) = \frac{{y(x)}}{{1 - y(x)}}\),並說明\(r(x)\)的值隨\(x\)增大而增大(即\(r(x)\)為遞增函數)。(6分)
(2) 說明年資8年(含)以上的推銷員,每次推銷不成功的機率小於4%。(7分)
【94乙】


15. 在養分充足的情況下,細菌的數量會以指數函數的方式成長,假設細菌\(A\)的數量每兩個小時可以成長為兩倍,細菌\(B\)的數量每三個小時可以成長為三倍。若養分充足且一開始兩種細菌的數量相等,則大約幾小時後細菌\(B\)的數量除以細菌\(A\)的數量最接近10?
(1) 24小時
(2) 48小時
(3) 69小時
(4) 96小時
(5) 117小時 。
【95學測】


16. 某公司為了響應節能減碳政策,決定在五年後將公司該年二氧化碳排放量降為目前排放量的75%。公司希望每年依固定的比率(當年和前一年排放量的比)逐年減少二氧化碳的排放量。若要達到這項目標,則該公司每年至少要比前一年減少__________%的二氧化碳的排放量。(計算到小數點後第一位,以下四捨五入。)

【98學測】

sa3 2

17. 數學教科書所附的對數表中,\(\log 4.34 = 0.6375\)、\(\log 4.35 = 0.6385\)。根據\(\log 4.34\)和\(\log 4.35\)的查表值以內插法求\(\log 4.342\),設求得的值為\(p\),則下列哪一個選項是正確的?
(1) \(p = \frac{1}{2}(0.6375 + 0.6385)\)
(2) \(p = 0.2 \times 0.6375 + 0.8 \times 0.6385\)
(3) \(p = 0.8 \times 0.6375 + 0.2 \times 0.6385\)
(4) \(p = 0.6375 + 0.002\)
(5) \(p = 0.6385 - 0.002\)。
【98甲】


18. 陳先生三年前買了一輛剛出廠的新車買價100萬元;該汽車的價值在第一年後折舊20%,第二年以後每年折舊前一年車價的15%。陳先生現在想用這部車換新車,試問舊車可抵多少萬元?答:__________萬元。(萬元以下四捨五入) 【98乙】
19. 在密閉的實驗室中,開始時有某種細菌1千隻,並且以每小時增加8%的速率繁殖。如果依此速率持續繁殖,則100小時後細菌的數量最接近下列哪一個選項?
(1) 9千隻
(2) 108千隻
(3) 2200千隻
(4) 3200千隻
(5) 32000千隻。
【99學測】


20. 表為常用對數表\({\log _{10}}N\)的一部分:

請問\({10^{3.032}}\)最接近下列哪一個選項?
(1) 101
(2) 201
(3) 1007
(4) 1076
(5) 2012。
【101學測】

sa3 3


21. 觀察2的次方所形成的等比數列:\(2,\;{2^2},\;{2^3},\;{2^4},\; \cdots \),設其中出現的第一個13位數為\({2^n}\),則\(n = \)__________。(註:\({\log _{10}}2 \approx 0.3010\)) 【101乙】


22. 已知\(\log 2 \approx 0.3010\),\(\log 3 \approx 0.4771\)。
(1) 請以對數律計算\(\log 1.5\)(不必四捨五入)。(3分)
(2) 請以對數律計算\(\log {(1.5)^{60}}\)(不必四捨五入)。(3分)
(3) 請問\({(1.5)^{60}}\)的整數部分是幾位數?請說明理由。(3分)
(4) 請問\({(1.5)^{60}}\)的整數部分中,最左邊的數字是幾?請說明理由。(3分)

【102乙】


23. 小華準備向銀行貸款3百萬元當做創業基金,其年利率爲3%,約定三年期滿一次還清貸款的本利和。銀行貸款一般以複利(每年複利一次)計息還款,但給小華創業優惠改以單利計息還款。試問在此優惠下,小華在三年期滿還款時可以比一般複利計息少繳__________元。
【104學測】


24. 半導體產業的摩爾定律認為「積體電路板可容納的電晶體數目每兩年增加一倍」。用\(f(t)\)表示從\(t = 0\)開始,電晶體數目隨時間\(t\)變化的函數,並假設\(f(0) = 1000\)。下面選項中,請選出可以代表摩爾定律的公式。
(1) 若\(t\)以年為單位,則\(f(t) = 1000 + \frac{{1000}}{2}t\)
(2) 若\(t\)以月為單位, 則\(f(t) = 1000 + \frac{{1000}}{{24}}t\)
(3) 若\(t\)以年為單位,則\(f(t) = 1000 \cdot {(\sqrt 2 )^t}\)
(4) 若\(t\)以年為單位,則\(\log f(t) = 3 + \frac{{\log (\frac{{3t}}{2} + 1)}}{2}\)
(5) 若\(t\)以月為單位,則\(\log f(t) = 3 + \frac{{\log 2}}{{24}}t\)
【104乙】


25. 放射性物質的半衰期\(T\)定義為每經過時間\(T\),該物質的質量會衰退成原來的一半。鉛製容器中有兩種放射性物質\(A\)、\(B\),開始紀錄時容器中物質\(A\)的質量為物質\(B\)的兩倍,而120小時後兩種物質的質量相同。已知物質\(A\)的半衰期為7.5小時,請問物質\(B\)的半衰期為幾小時?
(1) 8小時
(2) 10 小時
(3) 12小時
(4) 15小時
(5) 20小時
【105學測】

 

Ans:
1. 6
2. 13
3. (E)
4. (1) \({10^{11}}\) (2) 758倍
5. (1)(2)(3)(4)(5)
6. (1)(2)
7. 8
8. (4)
9. (1)(2)(3)
10. (4)
11. (1) 0分貝 (2) 80分貝 (3) 90分貝
12. \(\alpha + \beta \) (2) \(\alpha = 0.4\),\(\beta = 0.3\) (3) 1(天文單位)
13. (3)
14. 略
15. (5)
16. 5.6
17. (3)
18. 58
19. (3)
20. (4)
21. 40
22. (1) 0.1761 (2) 10.566 (3) 11位數 (4) 3
23. 8181
24. (3)(5)
25. (1)


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3 年 2 個月 ago #605 來自 sgod
sgod replied the topic: 指數與對數
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