05 排列與組合

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邏輯、集合與計數原理
1. 假設坐標平面上一非空集合\(S\)內的點\((\,x\;,\;y\,)\)具有以下性質:「若\(x >...

邏輯、集合與計數原理


1. 假設坐標平面上一非空集合\(S\)內的點\((\,x\;,\;y\,)\)具有以下性質:「若\(x > 0\),則\(y > 0\)」。試問下列哪些敘述對\(S\)內的點\((\,x\;,\;y\,)\)必定成立?
(1) 若\(x \le 0\),則\(y \le 0\)
(2) 若\(y \le 0\),則\(x \le 0\)
(3) 若\(y > 0\),則\(x > 0\)
(4) 若\(x > 1\),則\(y > 0\)
(5) 若\(y < 0\),則\(x \le 0\)
【92學測】


2. 中山高速公路重慶北路交流道南下入口匝道分成內、外兩線車道,路旁立有標誌「外側車道大客車專用」。請選出不違反此規定的選項:
(1) 小型車行駛內側車道
(2) 小型車行駛外側車道
(3) 大客車行駛內側車道
(4) 大客車行駛外側車道
(5) 大貨車行駛外側車道
【93學測】


3. 學校規定上學期成績需同時滿足以下兩項要求,才有資格參選模範生。
一、國文成績或英文成績70分(含)以上;
二、數學成績及格。
已知小文上學期國文65分而且他不符合參選模範生資格。請問下列哪一個選項的推論是正確的?
(1) 小文的英文成績未達70分
(2) 小文的數學成績不及格
(3) 小文的英文成績70分以上但數學成績不及格
(4) 小文的英文成績未達70分且數學成績不及格
(5) 小文的英文成績未達70分或數學成績不及格。
【102學測】


4. 某一班共有45人,問卷調查有手機與平板電腦的人數。從統計資料顯示此班有35人有手機,而有24人有平板電腦。設:
A為同時有手機與平板電腦的人數
B為有手機,但沒有平板電腦的人數
C為沒有手機,但有平板電腦的人數
D為沒有手機,也沒有平板電腦的人數
請選出恆成立的不等式選項。
(1) A>B
(2) A>C
(3) B>C
(4) B>D
(5) C>D
【104學測】


5. 我國自用小汽車的牌照號碼,前兩位為大寫英文字母,後四位為數字,例如AB  0950。若最後一位數字不用4,且後四位數字沒有0000這個號碼,那麼我國可能有的自用小汽車牌照號碼有多少個?
(A) \(26 \times 25 \times (4320 - 1)\)
(B) \(26 \times 25 \times 4320 - 1\)
(C) \(26 \times 25 \times (5040 - 1)\)
(D) \(26 \times 26 \times (9000 - 1)\)
(E) \(26 \times 26 \times 9000 - 1\) 。
【84推甄】


6. 用五種不同顏色塗右圖中五個空白區域,相鄰的區域塗不同顏色,則共有__________種塗法。

【85社】

 sa5 1

7. 新新鞋店為與同業進行促銷戰,推出「第二雙不用錢---買一送一」的活動。該鞋店共有八款鞋可供選擇,其價格如下:

款式
價格 670 670 700 700 700 800 800 800


規定所送的鞋之價格一定少於所買的價格(例如:買一個「丁」鞋款,可送甲、乙兩款鞋之一)。若有一位新新鞋店的顧客買一送一,則該顧客所帶走的兩雙鞋,其搭配方法一共有__________種。

【95學測】


8. 某公司生產多款式的「阿民」公仔,各種款式只是球帽、球衣或球鞋顏色不同。其中球帽共有黑、灰、紅、藍四種顏色,球衣有白、綠、藍三種顏色,而球鞋有黑、白、灰三種顏色。公司決定紅色的球帽不搭配灰色的鞋子,而白色的球衣則必須搭配藍色的帽子,至於其他顏色間的搭配就沒有限制。在這些配色的要求下,最多可有__________種不同款式的「阿民」公仔。

【96學測】


9. 平面上坐標皆為整數的點稱為格子點。我們將原點以外的格子點分層,方法如下:若\((\,a\;,\;b\,)\)是原點\((\,0\;,\;0\,)\)以外的格子點,且\(|a|\)和\(|b|\)中最大值為\(n\),則稱\((\,a\;,\;b\,)\)是第\(n\)層的格子點(例如\((\, - 3\;,\;4\,)\)是在第4層;\((\,8\;,\; - 8\,)\)是在第八層)。則在第15層的格子點個數為__________。

【96乙】


10. 如圖

sa5 2

A城到B城之間有甲、乙、丙、丁、戊五城,其間連結的道路如圖所示。今從A城出發走向B城,要求每條道路都要經過並且只經過一次,則總共有__________種走法。
【96乙】


11. 某地區的車牌號碼共六碼,其中前兩碼為O以外的英文大寫字母,後四碼為0到9的阿拉伯數字,但規定不能連續出現三個4。例如:AA1234,AB4434為可出現的車牌號碼;而AO1234,AB3444為不可出現的車牌號碼。則所有第一碼為A且最後一碼為4的車牌號碼個數為

(1) \(25 \times {9^3}\)
(2) \(25 \times {9^2} \times 10\)
(3) \(25 \times 900\)
(4) \(25 \times 990\)
(5) \(25 \times 999\)。
【97學測】


12. 棒球比賽每隊的先發守備位置有九個:投手、捕手、一壘手、二壘手、三壘手、游擊手、右外野、中外野、左外野各一位。某一棒球隊有18位可以先發的球員,由教練團認定可擔任的守備位置球員數情形如下:
(一) 投手4位、捕手2位、一壘手1位、二壘手2位、三壘手2位、游擊手2位;
(二) 外野手4位(每一位外野手都可擔任右外野、中外野或左外野的守備);
(三) 另外1位是全隊人氣最旺的明星球員,他可擔任一壘手與右外野的守備。
已知開幕戰的比賽,確定由某位投手先發,而且與此投手最佳搭檔的先發捕手也已確定,並由人氣最旺的明星球員擔任一壘手守備,其餘六個守備位置就上述可擔任的先發球員隨意安排,則此場開幕戰共有__________種先發守備陣容。(當九個守備位置只要有一個球員不同時,就視為不同的守備陣容)

【99乙】


13. 三角形ABC是一個邊長為3的正三角形,如下圖所示。若在每一邊的兩個三等分點中,各選取一點連成三角形,則下列哪些選項是正確的?
(1) 依此方法可能連成的三角形一共有8個
(2) 這些可能連成的三角形中,恰有2個是銳角三角形
(3) 這些可能連成的三角形中,恰有3個是直角三角形
(4) 這些可能連成的三角形中,恰有3個是鈍角三角形
(5) 這些可能連成的三角形中,恰有1個是正三角形。
【101學測】

sa5 3

14. 一個房間的地面是由12個正方形所組成,如右圖。今想用長方形瓷磚舖滿地面,已知每一塊長方形瓷磚可以覆蓋兩個相鄰的正方形,即sa5 4 1sa5 4 2 。則用6塊瓷磚舖滿房間地面的方法有__________種。sa5 4 3

【103學測】


15. 用1、5、6、7、9組成的三位數(不同位可以用相同數字),其個位數字、十位數字、百位數字的總和為偶數者共有__________種。

【103乙】


16. 將正方形ABCD的每一條邊各自標上1、2、3中的某一個數,使得任兩條相鄰的邊,都標有恰好差1的兩個數。滿足這種條件的標示法總共有多少種?
(1) 2
(2) 4
(3) 6
(4) 8
(5) 10
【104乙】


Ans:
1. (2)(4)(5)
2. (1)(3)(4)
3. (5)
4. (2)(3)(4)
5. (D)
6. 960
7. 21
8. 25
9. 120
10. 6
11. (4)
12. 192
13. (1)(2)
14. 11
15. 49
16. (4)




排列

1. 從一個10人的俱樂部,選出一位主任,一位幹事和一位會計,且均由不同人出任,如果10人的甲君和乙君不能同時被選上,那麼總共有__________種選法。

【86社】


2. 某地共有9個電視頻道,將其分配給3個新聞台、4個綜藝台及2個體育台共三種類型。若同類型電視台的頻道要相鄰,而且前兩個頻道保留給體育台,則頻道的分配方式共有__________種。

【95學測】


3. 有一個兩列三行的表格如右下圖。在六個空格中分別填入數字1、2、3、4、5、6(不得重複),則1、2這兩個數字在同一行或同一列的方法有__________種。

【99學測】

 sa5 5

4. 從玫瑰、菊花、杜鵑、蘭花、山茶、水仙、繡球等七盆花中選出四盆靠在牆邊排成一列,其中杜鵑及山茶都被選到,且此兩盆花位置相鄰的排法有__________種。

【102乙】

 

5. 右圖所示為一含有斜線的棋盤形街道圖。今某人欲從\(A\)取捷徑走到\(B\),共有__________種走法。

【85社】

 sa5 6

6. 有一片長方形牆壁,尺寸為12 X 1(即:長12單位長,寬1單位長)。若有許多白色及咖啡色壁磚,白色壁磚尺寸為2 X 1,咖啡色壁磚尺寸為4 X1,用這些壁磚貼滿此長方形,問可貼成幾種不同的圖案?答:__________種。

【88推甄】


7. 在數線上有一個運動物體從原點出發,在此數線上跳動,每次向正方向或負方向跳1個單位,跳動過程可重複經過任何一點。若經過6次跳動後運動物體落在點+4處,則此運動物體共有__________種不同的跳動方法。

【94學測】


8. 某動物園的遊園列車依序編號1到7,共有7節車廂,今想將每節車廂畫上一種動物。如果其中的兩節車廂畫企鵝,另兩節車廂畫無尾熊,剩下的三節車廂畫上貓熊,並且要求最中間的三節車廂必須有企鵝、無尾熊及貓熊,則7節車廂一共有__________種畫法。
【98乙】


Ans:
1. 672
2. 576
3. 432
4. 120
5. 30
6. 13
7. 6
8. 72



組合與二項式定理


1. 體操委員會由10位女性委員與5位男性委員組成。委員會要由6位委員組團出國考察,如以性別做分層,並在各層依比例隨機抽樣,試問此考察團共有多少種組成方式?答:__________種。

【89推甄】


2. 有6男4女共10名學生擔任本週值日生。導師規定在本週5個上課日中,每天兩名值日生,且至少須有1名男生。試問本週安排值日生的方式共有__________種。

【90社】


3. 因乾旱水源不足自來水公司計畫在下週一至週日的7天中選擇2天停止供水。若要求停水的兩天不相連,則自來水公司共有多少種選擇方式?答:__________。

【91乙】


4. 啦啦隊競賽規定每隊8人,且每隊男、女生均至少要有2人。某班共有4名男生及7名女生想參加啦啦隊競賽。若由此11人中依規定選出8人組隊,則共有__________種不同的組隊方法。

【93乙】


5. 一個「訊息」是由一串5個數字排列組成,且每位數字都只能是0或1,例如10010與01011就是兩個不同的訊息。兩個訊息的「距離」定義為此兩組數字串相對應位置中,數字不同的位置數。例如,數字串10010與01011在第1,2及5三個位置不同,所以訊息10010與01011的距離為3。試問以下哪些選項是正確的?
(1) 與訊息10010相距最遠的訊息為11101
(2) 任兩訊息之間的最大可能距離是4
(3) 與訊息10010相距為1的訊息恰有5個
(4) 與訊息10010相距為2的訊息恰有9個。

【95乙】


6. 將24顆雞蛋分裝到紅、黃、綠的三個籃子。每個籃子都要有雞蛋,且黃、綠兩個籃子裡都裝奇數顆。請選出分裝的方法數。
(1) 55
(2) 66
(3) 132
(4) 198
(5) 253。
【102學測】


7. 小燦預定在陽台上種植玫瑰、百合、菊花和向日葵等四種盆栽。如果陽台上的空間最多能種8盆,可以不必擺滿,並且每種花至少一盆,則小燦買盆栽的方法共有__________種。

【104學測】


8. 設下圖中,A、B、C三點共線,D、E、F三點共線。利用這六點中的3個點作頂點所形成的三角形共有多少個?
(A)9
(B)14
(C)16
(D)18
(E)20 。
【83推甄】

 sa5 7

9. 下圖中,至少包含A或B兩點之一的長方形共有__________個。

【85推甄】

 sa5 8

10. 欲將八位新生平均分發到甲、乙、丙、丁四班,共有__________種分法。

【87社】


11. 籃球3人鬥牛賽,共有甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬9人參加,組成3隊,且甲、乙兩人不在同一隊的組隊方法有多少種?答:__________種。

【90學測】


12. 將\({({x^2} + y)^{12}}\)展開集項後,請選出正確的選項。
(1) \({x^{24}}\)的係數小於\({x^{10}}{y^7}\)的係數
(2) \({x^{12}}{y^6}\)的係數小於\({x^{10}}{y^7}\)的係數
(3) \({x^{14}}{y^5}\)的係數小於\({x^{10}}{y^7}\)的係數
(4) \({x^8}{y^8}\)的係數小於\({x^{10}}{y^7}\)的係數。
【101乙】


13. 設\({(1 + \sqrt 2 )^6} = a + b\sqrt 2 \),其中\(a,\;b\)為整數。請問\(b\)等於下列哪一個選項?

(1) \(C_{\,0}^6 + 2C_{\,2}^6 + {2^2}C_{\,4}^6 + {2^3}C_{\,6}^6\)
(2) \(C_{\,1}^6 + 2C_{\,3}^6 + {2^2}C_{\,5}^6\)
(3) \(C_{\,0}^6 + 2C_{\,1}^6 + {2^2}C_{\,2}^6 + {2^3}C_{\,3}^6 + {2^4}C_{\,4}^6 + {2^5}C_{\,5}^6 + {2^6}C_{\,6}^6\)
(4) \(2C_{\,1}^6 + {2^2}C_{\,3}^6 + {2^3}C_{\,5}^6\)
(5) \(C_{\,0}^6 + {2^2}C_{\,2}^6 + {2^4}C_{\,4}^6 + {2^6}C_{\,6}^6\)。
【103學測】


Ans:
1. 2100
2. 43200
3. 15
4. 161
5. (3)
6. (2)
7. 70
8. (D)
9. 15
10. 2520
11. 210
12. (1)(4)
13. (2)


Love is like π - natural, irrational, and VERY important.

-Lisa Hoffman

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