100年建中科學班甄選 數學試題

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7 年 9 個月 ago #125 來自 posa
posa created the topic: 100年建中科學班甄選 數學試題
帶學生寫題目中, 來討論一下吧

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7 年 9 個月 ago #128 來自 sgod
sgod replied the topic: 回覆: 100年建中科學班甄選 數學試題
看這份題目覺得建中科學班甄選考這個真的太強了~

posa看要提哪個問題來討論

我剛挑題有興趣的來做,
填充題3.
$a_n=2^{n-1}×(n+2)$
我記得我有看過這種東西 但是忘了
所以剛剛我是用組合公式算出這個答案的....

Love is like π - natural, irrational, and VERY important.

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7 年 9 個月 ago #135 來自 posa
posa replied the topic: 回覆: 100年建中科學班甄選 數學試題
選擇第四題, 沒什麼好招. :unsure:

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7 年 9 個月 ago #136 來自 sgod
sgod replied the topic: 回覆: 100年建中科學班甄選 數學試題
第4題



我以R代表紅色,Y代表黃色,B 為藍色,G為綠色
若$A_1$=R
則$A_2$=R or Y且$A_8$=R or Y
討論幾種組合:
(1)$A_2$=R,$A_8$=Y
∵ $A_2$=R ∴$A_3$=R or y 且 $A_9$=R or Y
又$A_8$=Y,∴$A_9$=B or G與上式矛盾

(2)$A_2$=Y,$A_8$=R,同(1)可知矛盾
(3)$A_2$=Y,$A_8$=Y
∵$A_8$=Y,故$A_8$後7點=$A_2$=B or G矛盾
(4)故$A_2$=R,$A_8$=R
同理可推,每一個點必皆為紅色

若$A_1$=G,同紅色證法,每一個點必為綠色

若$A_1$=Y or B,
利用類似的推導過程可知應該為無解

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7 年 9 個月 ago #137 來自 posa
posa replied the topic: 回覆: 100年建中科學班甄選 數學試題
原本想一題一題打詳解, 不過真的好麻煩啊...
那就挑幾個與學生討論時比較有趣或需要小技巧的問題吧~

填充3:

不難觀察到第一橫排是公差為2的等差數列, 第二橫排是公差為2的等差數列,
事實上第n橫排是公差為${ 2 }^{ n-1 }$的等差數列.

第n橫排的第k個數以${ a }_{ n }(k)$表示, 則由題意知
${ a }_{ n }(1)={ a }_{ n-1 }(1)+{ a }_{ n-1 }(2)=2{ a }_{ n-1 }(1)+{ 2 }^{ n-2 }$,
且${ a }_{ 1 }(1)=1$,
於是就可解出${ a }_{ n }={ 2 }^{ n-1 }(n+2)$.

比較特別的是, 有一個同學用"看"的看出來 ${ a }_{ n }=中位數\times { 2 }^{ 排數 }$ XD 太強了~

再來就是計算一.
第(1)小題從$\overline { BD } =\overline { CD } =\overline { GD } $得知D是外心, 所以為直角三角形.
接著就補幾條輔助線(見附件).


1.
令$\angle PBD=x$, 則由P為外心知$\angle PDB$亦為x.
又由$\overline { BD } =\overline { GD } $知$\angle BGD=x$.
令$\angle DGC=y$, 類似地由D,Q分別為外心可推得$\angle GCD=\angle QDC=y$, 所以$\angle PDQ={ 90 }^{ 0 }\ $.
2.
在四邊形PDQG中, 由於$\angle D+\angle G={ 180 }^{ 0 }\ $, 所以四點共圓,
所以$\angle PQD=x$.
3.
由$\angle PDQ={ 90 }^{ 0 }\quad $, $\angle PQD=x$, 知$\angle DPQ=y$,
由於APDQ為箏形, 所以$\angle APD=2y$.
4.
最後, 由$\angle BPD={ 180 }^{ 0 }-2x=2y\ $, 得
$\Delta PBD\cong \Delta PDA$, 因此$\overline { AD } =\overline { BD } =\overline { GD } =\overline { CD } $,
四點共圓, 得證.


--
還剩計算二, 大家有什麼好點子嗎?

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附件:
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7 年 9 個月 ago - 7 年 9 個月 ago #144 來自 sgod
sgod replied the topic: 回覆: 100年建中科學班甄選 數學試題
計算二
(1)設$a>0$
依照條件得$-5\le f(1)\le 5$,即$-5\le a+b+c\le 5$...........(1)

同理$-5\le f(-1)\le 5$,即$-5\le a-b+c\le 5$...........(2)

$-5\le f(0)\le 5$,即$-5\le c\le 5$..............(3)

若$a>0$,則$g(x)$的最大值必為$g(1)=a+b$,$g(x)$的最小值必為$g(-1)=-a+b$

由(1)(3)可得 $-10\le a+b\le 10$

同理由(2)(3)可得 $-10\le -a+b\le 10$

故$-10\le g(x) \le 10$ 得證

同理若$a<0$亦可推得$-10\le g(x) \le 10$

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最後修改原因: 7 年 9 個月 ago 來自 sgod.
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4 年 10 個月 ago - 4 年 10 個月 ago #593 來自 eggsu1026
eggsu1026 replied the topic: 回覆: 100年建中科學班甄選 數學試題
這個科學班考題是要找高中課程都自學完的學生吧!?

計算2(2)
沒有寫得很漂亮

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最後修改原因: 4 年 10 個月 ago 來自 eggsu1026.
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