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兩點之間連一條線

  • st12141997
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6 年 11 個月 ago #543 來自 st12141997
st12141997 created the topic: 兩點之間連一條線
在國中學習幾何的時候通常只有看到"有兩點可作一直線",但自己就想到,這是指只可作一條直線嗎??
那兩點之間會不會有可能作出第二條直線?
如果不能作出第二條直線,那該如何證只能做一條直線?

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6 年 11 個月 ago #544 來自 sgod
sgod replied the topic: 兩點之間連一條線
這問題可能要找找幾何原本~
不過如果不考慮幾何原本定理的順序的話,我想證明的方法很多種,
比較簡單的用坐標算直線方程式只有一唯解也可以~

我舉一種證法:
假設過A,B有兩相異直線,則這兩直線必不平行
且必有兩相異點分別在這兩直線上,令此2點為P、Q
這兩線即然不平行,則存在兩個三角形△APQ及△BPQ
但因為A-P-B共線,故∠APB=180°,同理∠AQB=180°

(∠A+∠APQ+∠AQP)+(∠B+∠BPQ+∠BQP)=180°+180°=360°
=∠A+∠B+∠APB+∠AQB>360°
矛盾
故過相異兩點AB的直線只有一條

Love is like π - natural, irrational, and VERY important.

-Lisa Hoffman
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6 年 11 個月 ago - 6 年 11 個月 ago #550 來自 posa
posa replied the topic: 兩點之間連一條線
st網友, 你問的是歐氏幾何的五個基本公理之一,
所以很可惜的, 我們不能用幾何原本裡面的任何一個定理來證明這個公理,
不然會犯了邏輯上的tautology.
( zh.wikipedia.org/zh-tw/%E9%87%8D%E8%A8%80%E5%BC%8F )

那接下來你可能會問, 為何我們會這麼規定兩點之間只存在一直線?
這就要從數學的發展過程講起.
在15世紀前,
大部份的幾何基礎都來自於西元前兩百多年歐幾里德編寫的幾何原本,
而當時大多數的科學都是從觀察跟歸納得來的.
於是, 若定義"通過兩點A,B的直線"即為"A連到B最近的那條線",
那麼很自然的就會相信這樣的"線"僅僅只有一個.
面對不證自明的性質, 就變成了公理.

不過就和你一樣, 日子一久,
自然會有數學家懷疑所有"不證自明"的性質, 是否是"真"的性質,
而且在這些個日子(一千多年)間,
數學家及愛好者發現, 僅使用幾何原本的公理及性質,
仍然有太多太多沒辦法被處理的幾何問題.
(例: 一圓內給一點A, 證明:通過A點的直線, 必與此圓交於兩點
--->"直觀不能當做證明" 這應該是你會發問的動機,
那思考一下怎麼用純幾何證明這件事, 會是很有趣的一個過程 )

於是, 在坐標系出現後, 我們自然地將直線標上方程式.

但是這又出現一個問題:
仔細看看國中數學, 我們其實是使用歸納, 而根本沒有"證明"直線方程式等同一元二次方程式!對吧!
就像國小生都以為知道了三角形內角和是180度,
可是他們只用了實驗, 而不是證明!
(事實上第五公設獨立與其他公設, 意即第五公設是不可證, 且可能未必為真
zh.wikipedia.org/zh-tw/%E5%B9%B3%E8%A1%8C%E5%85%AC%E8%A8%AD )

ok, 如果st也是數學系畢業的, 你就了解我想傳達的訊息
--不只得重新定義"直線", 連"實數"是什麼, 都是個大課題,
不然就不會有Dedekind cut出現了.
任何一本高等微積分的序章幾乎都在定義實數, 及實數完備性啊~
--> 如果我們連"什麼是數"都不知道, 那要怎麼研究他?
也難怪1+1=2的證明之所以複雜,
( tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1306040800875 )
目的都是為了要奠定數學的基礎.

話題拉回到幾何學.

總之, 從笛卡兒坐標出現後, 幾何學就開始與代數學建立起不可分割的關係;
就像在微分幾何的領域,
我們定義一個賦距空間(Metric space)中連接A,B兩點的最短線為測地線, 而不稱為直線.

為何要這麼麻煩?
很簡單的道理, 如果我們憑眼睛的感覺來判斷一條曲線是不是直線,
那就是用光當做準則(眼睛看到東西是因為光的反射),
因為人們一直以來(19世紀前)都深信光會走直線.

可是好死不死, 全世界最聰明的人--愛因斯坦,
證明了光線會轉彎,
( web2.nmns.edu.tw/PubLib/NewsLetter/88/137/08.html )
這說明了眼見未必為憑;
如果我一出生眼睛就換成了魚眼, 那你的直線會變成我眼中的曲線, 我的曲線會變你眼中的直線.

而早在更久之前, 數學家就發現了這個邏輯上的漏洞,
人們得給予更嚴謹的幾何學公理,
以更數學的方式來討論幾何性質.

因此看出幾何學工具早已不敷使用的數學大師諸公們如 高斯、黎曼、羅巴切夫斯基
在假設第五公設(平行公設)不成立的情形下, 創立了非歐幾何學, 奠定愛因斯坦相對論的幾何基礎;
希爾伯特則在1899年完成<<幾何的基礎>>, 重新為平面幾何建立了完整化的公理系統.
另外同時, 為了解決費馬大定理的數論學家連同代數幾何學家, 則用algebraic variety的概念來定義曲線和平面.

st, 你問了一個很重要的公理化問題, 礙於文章長度我僅能這麼回答.
如果想知道的更詳細, 可以參考下列網站
www.mathdb.org/articles/elements/c_elements.htm

:)

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最後修改原因: 6 年 11 個月 ago 來自 posa.
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6 年 11 個月 ago #552 來自 sgod
sgod replied the topic: 兩點之間連一條線
感謝posa的熱心回答~

也就是說我寫的那個證明,其中有用到三角形三內角和=180°,
可是當初是用五大公設與五大公理所推導出來的這個內角和的結果的
所以就會變成類似先有雞還是先有蛋的問題~

因此不管用什麼方法來證明這個過兩點的直線只有一條,
這些方法都是緣自原本的幾何公理~

我在證明時才會註明不考慮幾何原本的順序的話,證明的方法有很多種~

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-Lisa Hoffman
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6 年 11 個月 ago - 6 年 11 個月 ago #553 來自 posa
posa replied the topic: 兩點之間連一條線
哈!

補充一點,
相對論說明了我們所存在的空間並不是歐幾里德的,
所以若在質量夠大又不均勻的星球上來畫直線,
那將這個圖拿到地球來,
我們看到的就可能是一堆歪七扭八的曲線.

因此純粹真實的"歐氏幾何"事實上只存在於腦中的柏拉圖世界.

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最後修改原因: 6 年 11 個月 ago 來自 posa.

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