請問一題幾何問題

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8 年 3 個月 ago - 8 年 3 個月 ago #10 來自 jernan
jernan created the topic: 請問一題幾何問題
如圖,$\triangle ABC$為一個等腰三角形,$\overline { AB } =\overline { AC } $,$\angle A=20°$,$\angle DBC=60°$,$\angle ECB=50°$,求$\angle EDB=$?
答案是30°
我是利用正弦定理解這一題,想請問如何利用國中生就能懂得綜合幾何解這一題?謝謝!
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最後修改原因: 8 年 3 個月 ago 來自 jernan.

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8 年 2 個月 ago #12 來自 jernan
jernan replied the topic: 回覆: 請問一題幾何問題
我真的是孤陋寡聞了!
經前輩提醒,原來這個題目非常有名!
《幾何明珠》第二十七章專章討論這個問題,想要知道如何解的網友們可以先查閱該書,等我有空再把書中的內容整理一下放上來

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7 年 6 個月 ago - 7 年 6 個月 ago #266 來自 posa
posa replied the topic: 回覆: 請問一題幾何問題
初次見到這題是在大四畢業後, 和幾位同學去福和國中應甄實習教師時,
數學科召出給我們的考題之一, 當時難倒了一票同學, 也因此對這題目印象深刻.
(後來在獨數找到神龜bigturtle把這題解決掉, 可惜他當時用的方法已經忘了)

幾年後在師大圖書館找資料時, 在凡異出版社《幾何學的新探索》(陳維桓 譯. 作者: H.S.M Coxeter and S.L. Greitzer, Geometry Revisited, 1967, by Yale University)
1-9的習題4又看到這題. 為了不讓大家想破頭, 在這裡就把書中的解答整理一下po在這裡分享給大家.



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最後修改原因: 7 年 6 個月 ago 來自 posa.

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7 年 6 個月 ago - 7 年 6 個月 ago #273 來自 maxstarter
maxstarter replied the topic: 回覆: 請問一題幾何問題
幾何明珠上有11種做法,有9種純幾何做法,都要加輔助線.

最快的方法是正弦換相似.

底下是幾何明珠沒有的純幾何做法.



這是我在2006年打的做法.也是幾何明珠沒有的做法.

最後修改原因: 7 年 6 個月 ago 來自 maxstarter.

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7 年 6 個月 ago #274 來自 sgod
sgod replied the topic: 回覆: 請問一題幾何問題
看到大家用這些幾何方法實在是太神了~
因為大家都說用正弦定理可以,
於是我就用一次純三角函數的方法試試,
用正餘弦定理及和差化積也可作出來。
也貢獻一下我的作法吧~
令$\overline {BC} = 1$,△BCE為等腰,故$\overline {BE} = 1$。
在△BCD中,由正弦定理可得$\overline {BD} = 2\cos 40^\circ $
故△BDE中,由餘弦定理再加上和差化積可得
$\eqalign{
& \overline {DE} = \sqrt {1 + 4{{\cos }^2}40^\circ - 4\cos 20^\circ \cos 40^\circ } \cr
& = \sqrt {1 + 2(1 + \cos 80^\circ ) - 2(\cos 60^\circ + \cos 20^\circ )} \cr
& = \sqrt {2 + 2(\cos 80^\circ - \cos 20^\circ )} \cr
& = \sqrt {2 + 2( - 2\sin 50^\circ \sin 30^\circ )} \cr
& = \sqrt {2(1 - \sin 50^\circ )} \cr
& = \sqrt {2(1 - \cos 40^\circ )} \cr
& \sqrt {2(2{{\sin }^2}20^\circ )} \cr
& = 2\sin 20^\circ \cr} $

在△BDE中,再用一次正弦定理
${{2\sin 20^\circ } \over {\sin 20^\circ }} = {1 \over {\sin \angle BDE}}$
∴$\sin \angle BDE = {1 \over 2}$
故$\angle BDE = 30^\circ $

Love is like π - natural, irrational, and VERY important.

-Lisa Hoffman

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7 年 6 個月 ago #278 來自 posa
posa replied the topic: 回覆: 請問一題幾何問題
可惜不能按讚~~

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