求證必有220個點彼此之間的距離都不小於2

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8 年 1 星期 ago - 8 年 1 星期 ago #181 來自 maxstarter
maxstarter created the topic: 求證必有220個點彼此之間的距離都不小於2
平面上給1980個點,其中任意2點之距均 大於$\sqrt { 2 }$
,求證必有220個點彼此之間的距離都不小於2。
最後修改原因: 8 年 1 星期 ago 來自 maxstarter.

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7 年 6 個月 ago - 7 年 6 個月 ago #269 來自 posa
posa replied the topic: 回覆: 求證必有220個點彼此之間的距離都不小於2
考慮將平面分成下列圖形,


則由題意可得到兩個性質:
1. 若有一點P恰落在兩個1*1方塊的共同邊界上, 則這兩個方塊內(含邊界)只包含P點. 否則其中一個1*1方塊內至少有兩點, 則這兩點的距離不會大於根號2, 與已知矛盾.
2. 若有一點P恰為四個1*1方塊的頂點(即格子點), 則這四個1*1方塊內只包含P點, 理由同1.

首先我們證明在同一色塊的3*3方塊內, 不可能有10個以上的點.
理由是, 若有10個以上的點, 則由鴿籠原理知其中必有兩個落在某個1*1的方塊中,
則距離就不會大於根號2.
故同個3*3色塊中, 最多只會有九個點, 而且不會有兩個落在同一個方塊中.

接著, 對於這1980個點, 必有某個英文字母內的點有220個以上. 否則所有的點數目會少於220*9=1980.
(若點落在邊界, 就定義他屬於鄰近其中任意的1*1方塊, 然後標上英文字)
顯然這些點任兩個距離皆不小於2.(落在邊界時有機會等於2) 得證.

--
這個鴿籠找了好久啊, 解組合問題真的得靠一時的靈感 (汗)

享受--解題 的樂趣
最後修改原因: 7 年 6 個月 ago 來自 posa.
The following user(s) said Thank You: sgod, maxstarter

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7 年 6 個月 ago #270 來自 sgod
sgod replied the topic: 回覆: 求證必有220個點彼此之間的距離都不小於2
讚~這題當時我也有想到鴿籠原理
不過後來就沒有想到了...

Love is like π - natural, irrational, and VERY important.

-Lisa Hoffman

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7 年 6 個月 ago #272 來自 maxstarter
maxstarter replied the topic: 回覆: 求證必有220個點彼此之間的距離都不小於2
確實是這樣解得沒錯

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