不等式2

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7 年 11 個月 ago - 7 年 11 個月 ago #199 來自 sgod
sgod created the topic: 不等式2
若$|a|<1$,$|b|<1$
求證$|\frac { a+b }{ 1+ab } |<1$

Love is like π - natural, irrational, and VERY important.

-Lisa Hoffman
最後修改原因: 7 年 11 個月 ago 來自 sgod.

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7 年 11 個月 ago - 7 年 11 個月 ago #201 來自 posa
posa replied the topic: 回覆: 不等式2
首先$\left| \frac { a+b }{ 1+ab } \right| <1$等價於$-1<\frac { a+b }{ 1+ab } <1$.

再來, 由$\left| a \right| <1$, $\left| b \right| <1$, 知$\left| ab \right| <1$,
得$-1<ab<1$, 因此$1+ab>0$.

由條件知 $(1-a)(1-b)>0$, $(1+a)(1+b)>0$,
乘開整理後為
$a+b<1+ab$,
$a+b>-(1+ab)$,
將兩式同除以 $1+ab$, 得$-1<\frac { a+b }{ 1+ab } <1$, 得證.

享受--解題 的樂趣
最後修改原因: 7 年 11 個月 ago 來自 posa.

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