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穩拿基礎題類題

學測與指考試題整理

詳細內容: Sgod; 網站消息; 27 五 2016; 點擊數：879

　　近期我們會陸陸續續把歷年學測與指考試題依高中課程的單元做分類整理，再放到網站中「專欄文章」->「數學教育」->「學測與指考試題及解析」。然後我們也會慢慢放上這些題目的解析。這些題目大考中心都可以下載，題目的分類整理坊間也有參考書有，不過我想我們自己已經有這些題目的整理了，就放在網站上與大家分享吧，大家也可以在討論區「中學數學」版塊中參與這些題目的討論。

可以直接點選下面連結到這個分類：

學測與指考試題及解析

專欄文章

單元14 二次曲線

單元14 基礎題類題

設拋物線\(\Gamma \)之方程式為\(\sqrt {{{(x + 1)}^2} + {{(y - 2)}^2}} = \frac{{|y - 4|}}{{\sqrt {{0^2} + {1^2}} }}\)，請求下列各題：
(1) \(\Gamma \)之焦點坐標為__________。
(2) \(\Gamma \)之準線方程式為__________。
(3) \(\Gamma \)之對稱軸方程式為__________。
(4) \(\Gamma \)之焦距為__________。

拋物線\({x^2} - 2x + 8y + 17 = 0\)，請求下列各題：
(1) 頂點坐標為__________。
(2) 焦點坐標為__________。
(3) 對稱軸方程式為__________。
(4) 準線方程式為__________。
(5) 焦距為__________。

一拋物線之對稱軸平行於\(x\)軸，且過\((\,0\;,\;4\,)\)，\((\,0\;,\;2\,)\)及\((\,16\;,\;0\,)\)三點，則拋物線方程式為__________。

已知一拋物線之準線為\(y = - 2\)，焦點坐標為\((\, - 1\;,\;2\,)\)，則拋物線方程式為__________。

設橢圓方程式為\(\sqrt {{{(x - 2)}^2} + {{(y - 6)}^2}} + \sqrt {{{(x - 2)}^2} + {{(y + 2)}^2}} = 10\)，請求下列各題：
(1) 焦點坐標為__________。
(2) 中心坐標為__________。
(3) 頂點坐標為__________。
(4) 長軸長為__________。
(5) 短軸長為__________。
(6) 對稱軸方程式為__________。
(7) 橢圓上之任一點\(P\)至兩焦點之距離和為__________。

設橢圓方程式為\({x^2} + 4{y^2} + 6x - 8y + 9 = 0\)，請求下列各題：
(1) 中心坐標為__________。
(2) 焦點坐標為__________。
(3) 頂點坐標為__________。
(4) 長軸長為__________。
(5) 短軸長為__________。
(6) 對稱軸方程式為__________。
(7) 橢圓上之任一點 P 至兩焦點之距離和為__________。

若橢圓之兩焦點為\((\,1\;,\;4\,)\)，\((\,1\;,\; - 2\,)\)，長軸長為10，則橢圓方程式為__________。

已知橢圓之兩焦點為\({F_1}(\,5\;,\;0\,)\)，\({F_2}(\, - 5\;,\;0\,)\)，點\(A\)與\(B\)在橢圓上，且\(\overline {AB} \)過\({F_1}\)，若\(\Delta AB{F_2}\)周長為52，則橢圓方程式為__________。

已知橢圓之長軸在直線\(y = - 1\)上，短軸在\(x = 2\)上，短軸長為長軸長的\(\frac{5}{{13}}\)倍，且中心到焦點的距離為12，則橢圓方程式為__________。

設雙曲線方程式為\(|\sqrt {{{(x - 2)}^2} + {{(y - 4)}^2}} - \sqrt {{{(x - 2)}^2} + {{(y + 6)}^2}} |\; = 8\)，請求下列各題：
(1) 焦點坐標為__________。
(2) 中心坐標為__________。
(3) 頂點坐標為__________。
(4) 貫軸長為__________。
(5) 共軛軸長為__________。
(6) 對稱軸方程式為__________。
(7) 漸近線方程式為__________。
(8) 雙曲線上之任一點\(P\)至兩焦點之距離差的絕對值為__________。

設雙曲線方程式為\(16{x^2} - 9{y^2} + 64x + 18y - 89 = 0\)，請求下列各題：
(1) 中心坐標為__________。
(2) 焦點坐標為__________。
(3) 頂點坐標為__________。
(4) 貫軸長為__________。
(5) 共軛軸長為__________。
(6) 對稱軸方程式為__________。
(7) 漸近線方程式為__________。
(8) 雙曲線上之任一點\(P\)至兩焦點之距離差的絕對值為__________。

一雙曲線的貫軸長為8，焦點為\((\,1\;,\;7\,)\)，\((\,1\;,\; - 3\,)\)，則此雙曲線的標準式為__________。

若\( - \frac{{{x^2}}}{k} + \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1\)為等軸雙曲線，則\(k = \)__________。

若\( - \frac{{{x^2}}}{3} + \frac{{{y^2}}}{2} = 1\)與\(\Gamma \)互為共軛雙曲線，則\(\Gamma \)之方程式為__________。

已知雙曲線\(\Gamma :\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\)，將\(\Gamma \)依向量\(\mathop u\limits^ \rightharpoonup = (\, - 2\;,\;1\,)\)平移得一新雙曲線\(\Gamma '\)，則\(\Gamma '\)之方程式為__________。

已知雙曲線\(\Gamma :\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\)，將\(\Gamma \)以原點為中心，\(x\)方向伸縮2倍、\(y\)方向伸縮3倍，可得一新雙曲線\(\Gamma '\)，則\(\Gamma '\)之方程式為__________。

方程式\(\sqrt {{{(x - 2)}^2} + {{(y - 6)}^2}} + \sqrt {{{(x - 2)}^2} + {{(y + 2)}^2}} = 2a\)，其中\(a\)為實數
(1) 若\(\Gamma \)之圖形表一橢圓，則\(a\)的範圍為__________。
(2) 若\(\Gamma \)之圖形表一線段，則\(a\)的值為__________。
(3) 若\(\Gamma \)之圖形不存在，則\(a\)的範圍為__________。

設\({F_1}(\,1\;,\;7\,)\)與\({F_2}(\,1\;,\; - 3\,)\)，\(P\)為同一平面上任一點，令\(\Gamma \)為\(|\overline {P{F_1}} - \overline {P{F_2}} |\; = k\)的圖形
(1) 若\(\Gamma \)為雙曲線，則\(k\)的範圍為__________。
(2) 若\(\Gamma \)為兩射線，則\(k\)的值為__________。
(3) 若\(\Gamma \)為一直線，則\(k\)的值為__________。
(3) 若\(\Gamma \)不存在，則\(k\)的範圍為__________。

設\(\Gamma :\frac{{{x^2}}}{{t + 3}} + \frac{{{y^2}}}{{1 - t}} = 1\)
(1) 若\(\Gamma \)的圖形為圓，則\(t\)的值為__________。
(2) 若\(\Gamma \)的圖形為橢圓且長軸在\(y\)軸上，則\(t\)的範圍為__________。
(3) 若\(\Gamma \)的圖形為雙曲線且焦點在\(x\)軸上，則\(t\)的範圍為__________。

若一橢圓\(\Gamma \)與\(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\)共焦點且\(\Gamma \)之短軸長為8，則橢圓\(\Gamma \)之方程式為__________。

已知一雙曲線的兩焦點與橢圓\(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\)的兩個焦點都相同，且貫軸長是2，則此雙曲線的方程式為__________。

Ans:

(1) \((\, - 1\;,\;2\,)\) (2) \(y - 4 = 0\) (3) \(x = - 1\) (4) 1
(1) \((\,1\;,\; - 2\,)\) (2) \((\,1\;,\; - 4\,)\)(3) \(x = 1\) (4) \(y = 0\) (5) 2
\(x = 2{y^2} - 12y + 16\)
\({(x + 1)^2} = 8y\)
(1) \((\,2\;,\;6\,)\)，\((\,2\;,\; - 2\,)\) (2) \((\,2\;,\;2\,)\) (3) \((\,2\;,\;7\,)\)，\((\,2\;,\; - 3\,)\)，\((\,5\;,\;2\,)\)，\((\, - 1\;,\;2\,)\)(4) 10 (5) 6 (6) \(x = 2\)與\(y = 2\) (7) 10
(1) \((\, - 3\;,\;1\,)\) (2) \((\, - 3 \pm \sqrt 3 \;,\;1\,)\)(3) \((\, - 5\;,\;1\,)\)，\((\, - 1\;,\;1\,)\)，\((\, - 3\;,\;2\,)\)，\((\, - 3\;,\;0\,)\) (4) 4 (5) 2 (6) \(x = - 3\)與\(y = 1\) (7) 4
\(\frac{{{{(x - 1)}^2}}}{{16}} + \frac{{{{(y - 1)}^2}}}{{25}} = 1\)
\(\frac{{{x^2}}}{{169}} + \frac{{{y^2}}}{{144}} = 1\)
\(\frac{{{{(x - 2)}^2}}}{{169}} + \frac{{{{(y + 1)}^2}}}{{25}} = 1\)
(1) \((\,2\;,\;4\,)\)，\((\,2\;,\; - 6\,)\) (2) \((\,2\;,\; - 1\,)\) (3) \((\,2\;,\;3\,)\)，\((\,2\;,\; - 5\,)\) (4) 8 (5) 6(6) \(x = 2\)與\(y = - 1\) (7) \(4x - 3y = 11\)與\(4x + 3y = 5\) (8) 8
(1) \((\, - 2\;,\;1\,)\)(2) \((\,3\;,\;1\,)\)，\((\, - 7\;,\;1\,)\) (3) \((\,1\;,\;1\,)\)，\((\, - 5\;,\;1\,)\) (4) 6 (5) 8 (6) \(x = - 2\)與\(y = 1\)(7) \(4x - 3y + 11 = 0\)與\(4x + 3y + 5 = 0\) (8) 6
\( - \frac{{{{(x - 1)}^2}}}{9} + \frac{{{{(y - 2)}^2}}}{{16}} = 1\)
25
\( - \frac{{{x^2}}}{3} + \frac{{{y^2}}}{2} = - 1\)
\(\frac{{{{(x + 2)}^2}}}{4} - \frac{{{{(y - 1)}^2}}}{9} = 1\)
\(\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{{81}} = 1\)
(1) \(a > 4\) (2) \(a = 4\) (3) \(a < 4\)
(1) \(0 < k < 10\) (2) \(k = 10\) (3) \(k = 0\)(4) \(k < 0\)或\(k > 10\)
(1) \( - 1\) (2) \( - 3 < t < - 1\) (3) \(t > 1\)
\(\frac{{{x^2}}}{{21}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\)
\(\frac{{{x^2}}}{1} - \frac{{{y^2}}}{4} = 1\)

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單元13 矩陣

單元13 基礎題類題

已知方程組\(L:\left\{ \begin{array}{l}3x - y - 2z = - 5\\x - y + 2z = 13\\2x + y + z = 5\end{array} \right.\)，則：
(1) \(L\)之係數矩陣為__________。
(2) \(L\)之增廣矩陣為__________。
(3) 利用\(L\)之增廣矩陣進行列運算可得\(L\)之解為__________。

__________設三元一次聯立方程式\(L\)之增廣矩陣為\(M\)，請選出正確的選項。（多選）
(1) 若\(M\)經矩陣列運算可化為\(\left[ {{\kern 1pt} \begin{array}{*{20}{c}}2&1&3&5\\0&1&7&7\\0&0&1&1\end{array}{\kern 1pt} } \right]\)，則\(L\)有無限多組解
(2) 若\(M\)經矩陣列運算可化為\(\left[ {{\kern 1pt} \begin{array}{*{20}{c}}2&1&3&5\\0&1&7&7\\0&0&0&1\end{array}{\kern 1pt} } \right]\)，則\(L\)有無限多組解
(3) 若\(M\)經矩陣列運算可化為\(\left[ {{\kern 1pt} \begin{array}{*{20}{c}}2&1&3&5\\0&1&7&7\\0&0&0&0\end{array}{\kern 1pt} } \right]\)，則\(L\)有無限多組解
(4) 若\(M\)經矩陣列運算可化為\(\left[ {{\kern 1pt} \begin{array}{*{20}{c}}2&1&3&5\\4&2&6&{10}\\0&0&1&1\end{array}{\kern 1pt} } \right]\)，則\(L\)有無限多組解
(5) 若\(M\)經矩陣列運算可化為\(\left[ {{\kern 1pt} \begin{array}{*{20}{c}}2&1&3&5\\4&2&6&7\\0&0&1&1\end{array}{\kern 1pt} } \right]\)，則\(L\)有無限多組解

下列算式為一個關於\(x\)，\(y\)，\(z\)方程組的矩陣列運算：
\(\left[ {{\kern 1pt} \begin{array}{*{20}{c}}5&2&3&{ - 1}\\1&1&1&0\\2&{ - 1}&2&3\end{array}{\kern 1pt} } \right]\)\( \to \)\(\left[ {{\kern 1pt} \begin{array}{*{20}{c}}1&a&1&0\\5&2&3&{ - 1}\\2&{ - 1}&2&3\end{array}{\kern 1pt} } \right]\)\( \to \)\(\left[ {{\kern 1pt} \begin{array}{*{20}{c}}1&a&1&0\\0&{ - 3}&b&{ - 1}\\0&{ - 3}&0&3\end{array}{\kern 1pt} } \right]\)\( \to \)\(\left[ {{\kern 1pt} \begin{array}{*{20}{c}}1&a&1&0\\0&{ - 3}&b&{ - 1}\\0&0&2&c\end{array}{\kern 1pt} } \right]\)\( \to \)\( \cdots \)
若繼續進行列運算，即可求得\(x\)，\(y\)，\(z\)之解，則式中序組\((\,a\;,\;b\;,\;c\,) = \)__________。

設\(A = \left[ {{\kern 1pt} \begin{array}{*{20}{c}}2&1&3\\3&1&2\end{array}{\kern 1pt} } \right]\)，\(B = \left[ {{\kern 1pt} \begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&{ - 5}&3\\1&{ - 3}&2\end{array}{\kern 1pt} } \right]\)，則\(2A + B = \)__________。

設\(A = \left[ {{\kern 1pt} \begin{array}{*{20}{c}}1&2\\3&6\end{array}{\kern 1pt} } \right]\)，\(B = \left[ {{\kern 1pt} \begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&{ - 4}\\1&2\end{array}{\kern 1pt} } \right]\)，\(C = \left[ {{\kern 1pt} \begin{array}{*{20}{c}}0&6\\0&{ - 3}\end{array}{\kern 1pt} } \right]\)，則：
(1) \(AB = \)__________，\(BA = \)__________。
(2) \(AC = \)__________。
設\(A\)為\(3 \times 3\)矩陣，且對任意實數\(a\)，\(b\)，\(c\)，\(A\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}a\\b\\c\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}c\\{ - a}\\b\end{array}} \right]\)均成立。試問矩陣\({A^2}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}\\1\\0\end{array}} \right]\)為何？（單選） (1) \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0\\1\\1\end{array}} \right]\) (2) \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}\\1\\0\end{array}} \right]\) (3) \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1\\0\\1\end{array}} \right]\) (4) \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0\\1\\{ - 1}\end{array}} \right]\)
(5) \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}\\0\\1\end{array}} \right]\)

設矩陣\(A = \left[ {{\kern 1pt} \begin{array}{*{20}{c}}2&3\\3&5\end{array}{\kern 1pt} } \right]\)，請回答下列問題：
(1) 矩陣\(A\)之乘法反方陣\({A^{ - 1}} = \)__________。
(2) 若矩陣\(B\)之乘法反方陣\({B^{ - 1}} = \left[ {{\kern 1pt} \begin{array}{*{20}{c}}2&3\\3&5\end{array}{\kern 1pt} } \right]\)，則\(B = \)__________。
(3) 若矩陣\(C\)滿足\(C\left[ {{\kern 1pt} \begin{array}{*{20}{c}}2&3\\3&5\end{array}{\kern 1pt} } \right] = \left[ {{\kern 1pt} \begin{array}{*{20}{c}}1&4\\7&9\end{array}{\kern 1pt} } \right]\)，則\(C = \)__________。
(4) 若矩陣\(X\)滿足\(\left[ {{\kern 1pt} \begin{array}{*{20}{c}}2&3\\3&5\end{array}{\kern 1pt} } \right]X = \left[ {{\kern 1pt} \begin{array}{*{20}{c}}1\\2\end{array}{\kern 1pt} } \right]\)，則\(X = \)__________。
(5) 二元一次聯立方程式\(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y = 1\\3x + 5y = 2\end{array} \right.\)的解為\(x = \)_____，\(y = \)_____。

下列哪些為轉移矩陣？（多選）
(1) \(\left[ {{\kern 1pt} \begin{array}{*{20}{c}}{0.1}&{0.8}\\{0.5}&{0.3}\end{array}{\kern 1pt} } \right]\) (2) \(\left[ {{\kern 1pt} \begin{array}{*{20}{c}}{0.5}&{0.5}\\{0.5}&{0.5}\end{array}{\kern 1pt} } \right]\) (3) \(\left[ {{\kern 1pt} \begin{array}{*{20}{c}}{0.2}&{0.7}\\{0.8}&{0.3}\end{array}{\kern 1pt} } \right]\) (4) \(\left[ {{\kern 1pt} \begin{array}{*{20}{c}}{0.2}&{0.1}\\{1.3}&{0.5}\end{array}{\kern 1pt} } \right]\)
(5) \(\left[ {{\kern 1pt} \begin{array}{*{20}{c}}{0.3}&{ - 0.8}\\{0.7}&{1.8}\end{array}{\kern 1pt} } \right]\)

某縣縣政府每週五對全縣居民發放甲、乙兩種彩券，每位居民均可憑身分證免費選擇領取甲券一張或乙券一張。根據長期統計，上週選擇甲券的民眾會有85%在本週維持選擇甲券、15%改選乙券；而選擇乙券的民眾會有35%在本週改選甲券、65%維持乙券。已知一開始時，領取甲券及乙券的民眾比例各為50%，而所謂穩定狀態，係指領取甲券及乙券的民眾比例在每週均保持不變。
(1) 1年後，選擇甲券的民眾比例為__________。
(2) 2年後，選擇甲券的民眾比例為__________。
(3) 當領取甲券及乙券的民眾比例形成穩定狀態，此時領取甲券的民眾比
例為__________。

Ans:

(1) \(\left[ {{\kern 1pt} \begin{array}{*{20}{c}}3&{ - 1}&{ - 2}\\1&{ - 1}&2\\2&1&1\end{array}{\kern 1pt} } \right]\) (2) \(\left[ {{\kern 1pt} \begin{array}{*{20}{c}}3&{ - 1}&{ - 2}&{ - 5}\\1&{ - 1}&2&{13}\\2&1&1&5\end{array}{\kern 1pt} } \right]\) (3) \((\,x\;,\;y\;,\;z\,) = (\,1\;,\; - 2\;,\;5\,)\)
(3)(4)
\((\,1\;,\; - 2\;,\;4\,)\)
\(\left[ {{\kern 1pt} \begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 3}&9\\7&{ - 1}&6\end{array}{\kern 1pt} } \right]\)
(1) \(\left[ {{\kern 1pt} \begin{array}{*{20}{c}}0&0\\0&0\end{array}{\kern 1pt} } \right]\)，\(\left[ {{\kern 1pt} \begin{array}{*{20}{c}}{ - 14}&{ - 28}\\7&{14}\end{array}{\kern 1pt} } \right]\)(2) \(\left[ {{\kern 1pt} \begin{array}{*{20}{c}}0&0\\0&0\end{array}{\kern 1pt} } \right]\)
(3)
(1) \(\left[ {{\kern 1pt} \begin{array}{*{20}{c}}5&{ - 3}\\{ - 3}&2\end{array}{\kern 1pt} } \right]\) (2) \(\left[ {{\kern 1pt} \begin{array}{*{20}{c}}5&{ - 3}\\{ - 3}&2\end{array}{\kern 1pt} } \right]\) (3) \(\left[ {{\kern 1pt} \begin{array}{*{20}{c}}{ - 7}&5\\8&{ - 3}\end{array}{\kern 1pt} } \right]\)(4) \(\left[ {{\kern 1pt} \begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}\\1\end{array}{\kern 1pt} } \right]\) (5) \( - 1\)，\(1\)
(2)(3)
(1) 0.6 (2) 0.65 (3) 0.7

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專題4 三角形的四心

有些老師反應在穩拿複習講義中沒有提到「三角形的四心」。關於這部分，因為穩拿本身定位的問題與頁數有限的關係，我們在取捨上自然會捨去偏難而且大考很少考的部分。不過許多老師希望在複習的時候可以提到這部分，因此我們針對這個單元另外編寫了：
專題4 三角形的四心。請各位老師同學點選下列連結下載，謝謝。

下載講義電子檔

單元12 空間中的平面與直線

單元12 基礎題類題

(1) 設空間中平面\(E:x - 2y - 3z = 6\)，則\(E\)之法向量為__________，\(x\)截距
為__________，\(y\)截距為__________，\(z\)截距為__________。
(2) 設空間中平面\(E:x = 3\)，則\(E\)之法向量為__________。
(3) 空間中\(xz\)平面的法向量為__________。（平面法向量不唯一，所以請寫
出可行的答案即可）

設空間中點\(A(\,1\;,\;2\;,\;3\,)\)在平面\(E\)上之投影點為\(B(\,3\;,\;2\;,\;1\,)\)，則平面\(E\)之方程式為__________。

設空間中點\(A(\,1\;,\;2\;,\;3\,)\)與點\(B(\,3\;,\;2\;,\;1\,)\)，則\(\overline {AB} \)的垂直平分面方程式為__________。

已知空間中平面\(E\)過\((\,a\;,\;0\;,\;0\,)\)、\((\,0\;,\; - 2\;,\;0\,)\)、\((\,0\;,\;0\;,\; - 12\,)\)、\((\,1\;,\; - 2\;,\; - 6\,)\)，其中\(a \ne 0\)，則\(a\)之值為__________。

已知空間中平面\(E\)過\((\,1\;,\;1\;,\; - 2\,)\)、\((\, - 1\;,\;0\;,\; - 2\,)\)、\((\,5\;,\;1\;,\;0\,)\)，則\(E\)之方程式為__________。

設空間中直線\(L\)過一點\((\,2\;,\;2\;,\; - 1\,)\)且方向向量為\((\, - 1\;,\;2\;,\;3\,)\)，則\(L\)之參數式為__________，稱比例式為__________。

設空間中直線\(L\)過兩點\(A(\,2\;,\; - 3\;,\;1\,)\)、\(B(\,2\;,\;2\;,\;1\,)\)，則\(L\)之方向向量為__________，參數式為__________，\(L\)上的動點坐標可表示為__________。

已知空間中兩平面\({E_1}:x - y + z = 2\)與\({E_2}:x + 2y + 3z = 6\)相交於直線\(L\)，則\(L\)之參數式為__________。

已知空間中平面\(E\)包含直線\(L:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{3}\)及點\(A(\,1\;,\;2\;,\; - 1\,)\)，則平面\(E\)之方程式為__________。

已知空間中平面\(E\)包含兩相交直線\({L_1}:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{3}\)與\({L_2}:\left\{ \begin{array}{l}\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 1}}{2}\\z = 2\end{array} \right.\)，則平面\(E\)之方程式為__________。

已知空間中平面\(E\)包含兩平行直線\({L_1}:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{3}\)與\({L_2}:\frac{x}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z + 2}}{3}\)，則平面\(E\)之方程式為__________。

空間中平面\(y + z = 1\)與\(xy\)平面之夾角為__________。

設空間中三平面\({E_1}:2x - y + z = 3\)、\({E_2}: - 4x + ay + bz = 1\)、\({E_3}:x + y + cz = 5\)。若\({E_1}\)//\({E_2}\)且\({E_1} \bot {E_3}\)，則序組\((\,a\;,\;b\;,\;c\,) = \)__________。

點\(P(\, - 2\;,\;1\;,\; - 2\,)\)至平面\(E:6x - 2y + 3z = 1\)之距離為__________。

點\(P(\, - 2\;,\;1\;,\; - 2\,)\)至平面\(E:x - 2y + 2z = t\)之距離為2，則\(t = \)__________。

若實數\(x\)，\(y\)，\(z\)滿足\(6x - 2y + 3z = 1\)，則\({(x + 2)^2} + {(y - 1)^2} + {(z + 2)^2}\)之最小值為__________。

已知空間中直線\(L:\frac{{x - 4}}{2} = \frac{{y + 3}}{{ - 3}} = \frac{{z - 1}}{2}\)，則：
(1) \(L\)與平面\({E_1}:2x - y - z = 5\)之相交情形為__________。
(2) \(L\)與平面\({E_2}:x + 2y + 2z = 5\)之相交情形為__________。
(3) \(L\)與平面\({E_3}:x + 2y + 2z = 0\)之相交情形為__________。

在坐標空間中，已知直線\(L:\left\{ \begin{array}{l}x + y + z = 2\\3x + y + 2z = 7\end{array} \right.\)與平面\(E:8x - y - 3z = 1\)交於點\(A\)，則點\(A\)之坐標為__________。

已知空間中兩直線\({L_1}:\frac{{x - 4}}{2} = \frac{{y + 3}}{{ - 3}} = \frac{{z - 1}}{2}\)與\({L_2}:\frac{{x + 3}}{{ - 5}} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{z}{1}\)，則\({L_1}\)與\({L_2}\)之交點坐標為__________。

已知二次函數\(y = a{x^2} + bx + c\)的圖形通過\((\,1\;,\;2\,)\)，\((\,2\;,\;1\,)\)，\((\,3\;,\; - 2\,)\)三點，則序組\((\,a\;,\;b\;,\;c\,) = \)__________。

Ans:

(1) \((\,1\;,\; - 2\;,\; - 3\,)\)，6，\( - 3\)，\( - 2\) (2) \((\,1\;,\;0\;,\;0\,)\) (3) \((\,0\;,\;1\;,\;0\,)\)
\(x - z = 2\)
\(x - z = 0\)
\( - 2\)
\(x - 2y - 2z = 3\)
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - t\\y = 2 + 2t\\z = - 1 + 3t\end{array} \right.\), t為實數，\(\frac{{x - 2}}{{ - 1}} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z + 1}}{3}\)
\((\,0\;,\;1\;,\;0\,)\)，\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = - 3 + t\\z = 1\end{array} \right.\;\)，t為實數，\((\,2\;,\; - 3 + t\;,\;1\,)\)
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 5t\\y = 2t\\z = 2 - 3t\end{array} \right.\)，t為實數
\(2x - y - z = 1\)
\(2x - y - z = 1\)
\(8x - y - 2z = 3\)
\({45^ \circ }\)或\({135^ \circ }\)
\((\,2\;,\; - 2\;,\; - 1\,)\)
3
\( - 2\)或\( - 14\)
9
(1) \(L\)與\({E_1}\)恰交於一點 (2) \(L\)與平面\({E_2}\)平行 (3) \(L\)落於平面\({E_3}\)上
\((\,1\;,\; - 2\;,\;3\,)\)
\((\,2\;,\;0\;,\; - 1\,)\)
\((\, - 1\;,\;2\;,\;1\,)\)

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單元11 平面向量應用、外積與面積

單元11 基礎題類題

設平面上直線\(L\)之方程式為\(5x + 3y - 1 = 0\)，則\(L\)之法向量\(\overset{\rightharpoonup} n \)＝__________，方向向量\(\overset{\rightharpoonup} v \)＝__________，斜率為__________。（直線的法向量和方向向量不唯一，所以請各寫出可行的答案即可）

在坐標平面上，直線\(L:ax + by + 3 = 0\)通過\(A(\, - 3\;,\;2\,)\)且平行\(\overset{\rightharpoonup} v = (\,3\;,\; - 1\,)\)，則\(L\)之參數式為__________，數對\((\,a\;,\;b\,) = \)__________。（直線的參數式不唯一，所以請寫出可行的答案即可）

設\(s\)，\(t\)為實數，則兩直線\({L_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + s\\y = 2 - s\end{array} \right.\;\)，s為實數，\({L_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = 3 - t\end{array} \right.\)，t為實數之交點的坐標為__________。

在坐標平面上，直線\(L\)的方程式為\(2x - y + 1 = 0\)，一定點\(P\)的\(x\)坐標為3，若\(L\)上一點\(Q\)滿足向量\(\overset{\rightharpoonup} {PQ} = (\,2\;,\;5\,)\)，則點\(Q\)之坐標為__________。

若坐標平面上有點\(A(\, - 1\;,\;2\,)\)，\(B(\,1\;,\;4\,)\)，直線\(L:x - y + 1 = 0\)，設\(P\)為\(L\)上之動點，則當點\(P\)坐標為__________時，\({\overline {PA} ^2} + {\overline {PB} ^2}\)有最小值__________。

兩直線\(2x - y - 3 = 0\)與\(3x + y - 2 = 0\)之交角為__________。

兩直線\(2x + y = 1\)與\(x + 2y = 2\)之交角中，其銳角之角平分線方程式為__________，鈍角之角平分線方程式為__________。

已知二元一次方程組\(\left\{ \begin{array}{l}{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\\{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0\end{array} \right.\)，若\(\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1}}&{{b_1}}\\{{a_2}}&{{b_2}}\end{array}\,} \right| = - 2\)，\(\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{{b_1}}&{{c_1}}\\{{b_2}}&{{c_2}}\end{array}\,} \right| = 2\)，\(\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1}}&{{c_1}}\\{{a_2}}&{{c_2}}\end{array}\,} \right| = 6\)，則方程組的解\((\,x\;,\;y\,) = \)__________。

若二元一次方程組\(\left\{ \begin{array}{l}(a - 2)x + 2y = 8 - a\\x + (a - 3)y = 2\end{array} \right.\)無解，則\(a = \)__________。

設\(a\)為實數，若方程組\(\left\{ \begin{array}{l}(a + 1)x + 2y = 0\\5x + (a + 4)y = 0\end{array} \right.\)除了\((\,x\;,\;y\,) = (\,0\;,\;0\,)\)外，尚有其他解，則\(a = \)__________。

設實數\(a > 0\)。若\(x\)，\(y\)的方程組\(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 3\\2x - y = a\\3x - ay = 2\end{array} \right.\)有解，則\(a = \)__________。

__________在空間中，下列哪些敘述是正確的？（多選）
(1) 恰有一平面通過相異三點
(2) 兩相異直線可以決定唯一的平面
(3) 任意兩相異直線一定有公垂線
(4) 垂直於同一平面的兩相異直線必平行
(5) 兩歪斜線在一平面\(E\)之正射影有可能為兩平行線

設空間中有一點\(O\)在平面\(E\)上之投影為點\(A\)，\(A\)在平面\(E\)上一直線\(L\)之投影為點\(B\)，而\(L\)上另有一點\(C\)。若\(\overline {OA} = 2\)，\(\overline {AB} = 6\)，\(\overline {BC} = 9\)，則\(\overline {OC} \)之長度為__________。

已知空間中\(\Delta ABC\)，\(\angle CAB = {60^ \circ }\)，\(\angle ACB = {30^ \circ }\)，\(\overline {AB} = 3\)，若以\(\overline {AB} \)為旋轉軸將\(\Delta ABC\)旋轉\({120^ \circ }\)後發現與\(\Delta ABC\)重合，則\(\overline {CD} \)之長度為__________。

一四面體\(ABCD\)中，令\(\overline {AB} = \overline {AC} = \overline {AD} = 3\)，\(\overline {BC} = \overline {CD} = \overline {DB} = 4\)，若點\(H\)為點\(A\)在平面\(BCD\)之投影點，\(\theta \)為平面\(ABC\)和平面\(BCD\)所夾成之二面角之度量，則
(1) \(\cos \theta = \)__________。
(2) \(\overline {AH} = \)__________。
(3) 四面體\(ABCD\)之體積為__________。（錐體體積＝\(\frac{1}{3}\)\( \times \)底面積\( \times \)高）

空間坐標系中，點\(A(\,1\;,\; - 1\;,\;2\,)\)與點\(B(\, - 1\;,\;5\;,\; - 7\,)\)
(1) \(\overline {AB} \)之長為__________。
(2) 點\(A\)對\(xz\)平面之投影點的坐標為__________；點\(A\)對\(xz\)平面之對稱點
的坐標為__________；點\(A\)至\(xz\)平面之距離為__________。
(3) 點\(A\)對\(y\)軸之投影點的坐標為__________；點\(A\)對\(y\)軸之對稱點的坐標
為__________；點\(A\)至\(y\)軸之距離為__________。

設\(\overset{\rightharpoonup} u = (\,1\;,\;1\;,\;2\,)\)，\(\overset{\rightharpoonup} v = (\,2\;,\; - 1\;,\;1\,)\)
(1) 求\(\overset{\rightharpoonup} u \times \overset{\rightharpoonup} v \)＝__________。
(2) 求\(\overset{\rightharpoonup} v \times \overset{\rightharpoonup} u \)＝__________。
(3) 由\(\overset{\rightharpoonup} u \)與\(\overset{\rightharpoonup} v \)所決定的平行四邊形之面積為__________。
(4) 設\(\overset{\rightharpoonup} u \)與\(\overset{\rightharpoonup} v \)之夾角為\(\theta \)，則\(\theta = \)__________。
(5) 若\(\overset{\rightharpoonup} n \)之大小為\(5\sqrt 3 \)且同時垂直\(\overset{\rightharpoonup} u \)與\(\overset{\rightharpoonup} v \)，則\(\overset{\rightharpoonup} n \) ＝__________。

\(\Delta ABC\)中，若\(\overline {AB} = 5\)，\(\overline {AC} = 6\)，\(\angle A = {30^ \circ }\)，則\(\Delta ABC\)面積為__________。

若\(\Delta ABC\)三邊長為3，7，8，則：
(1) \(\Delta ABC\)面積為__________。
(2) 內切圓半徑為__________。
(3) 外接圓半徑為__________。

\(\Delta ABC\)中，若\(\overline {AB} = \sqrt 3 \)、\(\overline {BC} = \sqrt 7 \)、\(\overline {CA} = \sqrt 5 \)，則\(\Delta ABC\)面積為__________。

\(\Delta ABC\)之三頂點坐標為\(A(\,1\;,\; - 1\,)\)，\(B(\,2\;,\;3\,)\)，\(C(\,5\;,\;8\,)\)，則\(\Delta ABC\)面積為__________。

坐標空間中，\(\Delta ABC\)之三頂點坐標分別為\(A(\,2\;,\;3\;,\;1\,)\)，\(B(\,1\;,\; - 1\;,\;2\,)\)，\(C(\,3\;,\;1\;,\; - 2\,)\)，則\(\Delta ABC\)面積為__________。

Ans:

\((\,5\;,\;3\,)\)，\((\,3\;,\; - 5\,)\)，\( - \frac{5}{3}\)
\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 3 + 3t\\y = 2 - t\end{array} \right.\)，t為實數，\((\, - 1\;,\; - 3\,)\)
\((\, - 2\;,\;5\,)\)
\((\,5\;,\;11\,)\)
\((\,1\;,\;2\,)\)，8
\({45^ \circ }\)或\({135^ \circ }\)
\(x + y - 1 = 0\)，\(x - y + 1 = 0\)
\((\, - 1\;,\;3\,)\)
1
1或\( - 6\)
(1) 11 (2) \((\,1\;,\;0\;,\;2\,)\)，\((\,1\;,\;1\;,\;2\,)\)，1

(3) \((\,0\;,\; - 1\;,\;0\,)\)，\((\, - 1\;,\; - 1\;,\; - 2\,)\)，\(\sqrt 5 \)

(3)(4)(5)
11
9
(1) \(\frac{2}{{\sqrt {15} }}\)，\(\frac{{\sqrt {33} }}{3}\)，\(\frac{{4\sqrt {11} }}{3}\)
\({60^ \circ }\)
(1) \((\,3\;,\;3\;,\; - 3\,)\) (2) \((\, - 3\;,\; - 3\;,\;3\,)\)

(3) \(3\sqrt 3 \) (4) \({60^ \circ }\) (5) \((\,5\;,\;5\;,\; - 5\,)\)或\((\, - 5\;,\; - 5\;,\;5\,)\) 18. \(\frac{{15}}{2}\)

(1) \(6\sqrt 3 \)

(2) \(\frac{{2\sqrt 3 }}{3}\) (3) \(\frac{{7\sqrt 3 }}{3}\)

\(\frac{{\sqrt {59} }}{4}\)
\(\frac{7}{2}\)
\(\sqrt {59} \)

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