今年我們開始把「穩拿複習講義-數學」中基礎題部分另行製作一份類題，此份類題將陸續放置在此這裡穩拿基礎題類題(點擊字可直接連結)。
有購買「穩拿複習講義-數學」的老師或同學可直接觀看網頁上的題目，或下載pdf列印出來做為練習，對於需要加強基礎能力的同學應該會有不少幫助。
專欄文章
單元14 二次曲線
單元14 基礎題類題
- 設拋物線\(\Gamma \)之方程式為\(\sqrt {{{(x + 1)}^2} + {{(y - 2)}^2}} = \frac{{|y - 4|}}{{\sqrt {{0^2} + {1^2}} }}\)，請求下列各題：
(1) \(\Gamma \)之焦點坐標為__________。
(2) \(\Gamma \)之準線方程式為__________。
(3) \(\Gamma \)之對稱軸方程式為__________。
(4) \(\Gamma \)之焦距為__________。
- 拋物線\({x^2} - 2x + 8y + 17 = 0\)，請求下列各題：
(1) 頂點坐標為__________。
(2) 焦點坐標為__________。
(3) 對稱軸方程式為__________。
(4) 準線方程式為__________。
(5) 焦距為__________。
- 一拋物線之對稱軸平行於\(x\)軸，且過\((\,0\;,\;4\,)\)，\((\,0\;,\;2\,)\)及\((\,16\;,\;0\,)\)三點，則拋物線方程式為__________。
- 已知一拋物線之準線為\(y = - 2\)，焦點坐標為\((\, - 1\;,\;2\,)\)，則拋物線方程式為__________。
- 設橢圓方程式為\(\sqrt {{{(x - 2)}^2} + {{(y - 6)}^2}} + \sqrt {{{(x - 2)}^2} + {{(y + 2)}^2}} = 10\)，請求下列各題：
(1) 焦點坐標為__________。
(2) 中心坐標為__________。
(3) 頂點坐標為__________。
(4) 長軸長為__________。
(5) 短軸長為__________。
(6) 對稱軸方程式為__________。
(7) 橢圓上之任一點\(P\)至兩焦點之距離和為__________。
- 設橢圓方程式為\({x^2} + 4{y^2} + 6x - 8y + 9 = 0\)，請求下列各題：
(1) 中心坐標為__________。
(2) 焦點坐標為__________。
(3) 頂點坐標為__________。
(4) 長軸長為__________。
(5) 短軸長為__________。
(6) 對稱軸方程式為__________。
(7) 橢圓上之任一點 P 至兩焦點之距離和為__________。
- 若橢圓之兩焦點為\((\,1\;,\;4\,)\)，\((\,1\;,\; - 2\,)\)，長軸長為10，則橢圓方程式為__________。
- 已知橢圓之兩焦點為\({F_1}(\,5\;,\;0\,)\)，\({F_2}(\, - 5\;,\;0\,)\)，點\(A\)與\(B\)在橢圓上，且\(\overline {AB} \)過\({F_1}\)，若\(\Delta AB{F_2}\)周長為52，則橢圓方程式為__________。
- 已知橢圓之長軸在直線\(y = - 1\)上，短軸在\(x = 2\)上，短軸長為長軸長的\(\frac{5}{{13}}\)倍，且中心到焦點的距離為12，則橢圓方程式為__________。
- 設雙曲線方程式為\(|\sqrt {{{(x - 2)}^2} + {{(y - 4)}^2}} - \sqrt {{{(x - 2)}^2} + {{(y + 6)}^2}} |\; = 8\)，請求下列各題：
(1) 焦點坐標為__________。
(2) 中心坐標為__________。
(3) 頂點坐標為__________。
(4) 貫軸長為__________。
(5) 共軛軸長為__________。
(6) 對稱軸方程式為__________。
(7) 漸近線方程式為__________。
(8) 雙曲線上之任一點\(P\)至兩焦點之距離差的絕對值為__________。
- 設雙曲線方程式為\(16{x^2} - 9{y^2} + 64x + 18y - 89 = 0\)，請求下列各題：
(1) 中心坐標為__________。
(2) 焦點坐標為__________。
(3) 頂點坐標為__________。
(4) 貫軸長為__________。
(5) 共軛軸長為__________。
(6) 對稱軸方程式為__________。
(7) 漸近線方程式為__________。
(8) 雙曲線上之任一點\(P\)至兩焦點之距離差的絕對值為__________。
- 一雙曲線的貫軸長為8，焦點為\((\,1\;,\;7\,)\)，\((\,1\;,\; - 3\,)\)，則此雙曲線的標準式為__________。
- 若\( - \frac{{{x^2}}}{k} + \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1\)為等軸雙曲線，則\(k = \)__________。
- 若\( - \frac{{{x^2}}}{3} + \frac{{{y^2}}}{2} = 1\)與\(\Gamma \)互為共軛雙曲線，則\(\Gamma \)之方程式為__________。
- 已知雙曲線\(\Gamma :\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\)，將\(\Gamma \)依向量\(\mathop u\limits^ \rightharpoonup = (\, - 2\;,\;1\,)\)平移得一新雙曲線\(\Gamma '\)，則\(\Gamma '\)之方程式為__________。
- 已知雙曲線\(\Gamma :\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\)，將\(\Gamma \)以原點為中心，\(x\)方向伸縮2倍、\(y\)方向伸縮3倍，可得一新雙曲線\(\Gamma '\)，則\(\Gamma '\)之方程式為__________。
- 方程式\(\sqrt {{{(x - 2)}^2} + {{(y - 6)}^2}} + \sqrt {{{(x - 2)}^2} + {{(y + 2)}^2}} = 2a\)，其中\(a\)為實數
(1) 若\(\Gamma \)之圖形表一橢圓，則\(a\)的範圍為__________。
(2) 若\(\Gamma \)之圖形表一線段，則\(a\)的值為__________。
(3) 若\(\Gamma \)之圖形不存在，則\(a\)的範圍為__________。
- 設\({F_1}(\,1\;,\;7\,)\)與\({F_2}(\,1\;,\; - 3\,)\)，\(P\)為同一平面上任一點，令\(\Gamma \)為\(|\overline {P{F_1}} - \overline {P{F_2}} |\; = k\)的圖形
(1) 若\(\Gamma \)為雙曲線，則\(k\)的範圍為__________。
(2) 若\(\Gamma \)為兩射線，則\(k\)的值為__________。
(3) 若\(\Gamma \)為一直線，則\(k\)的值為__________。
(3) 若\(\Gamma \)不存在，則\(k\)的範圍為__________。
- 設\(\Gamma :\frac{{{x^2}}}{{t + 3}} + \frac{{{y^2}}}{{1 - t}} = 1\)
(1) 若\(\Gamma \)的圖形為圓，則\(t\)的值為__________。
(2) 若\(\Gamma \)的圖形為橢圓且長軸在\(y\)軸上，則\(t\)的範圍為__________。
(3) 若\(\Gamma \)的圖形為雙曲線且焦點在\(x\)軸上，則\(t\)的範圍為__________。
- 若一橢圓\(\Gamma \)與\(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\)共焦點且\(\Gamma \)之短軸長為8，則橢圓\(\Gamma \)之方程式為__________。
- 已知一雙曲線的兩焦點與橢圓\(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\)的兩個焦點都相同，且貫軸長是2，則此雙曲線的方程式為__________。
Ans:
- (1) \((\, - 1\;,\;2\,)\) (2) \(y - 4 = 0\) (3) \(x = - 1\) (4) 1
- (1) \((\,1\;,\; - 2\,)\) (2) \((\,1\;,\; - 4\,)\)(3) \(x = 1\) (4) \(y = 0\) (5) 2
- \(x = 2{y^2} - 12y + 16\)
- \({(x + 1)^2} = 8y\)
- (1) \((\,2\;,\;6\,)\)，\((\,2\;,\; - 2\,)\) (2) \((\,2\;,\;2\,)\) (3) \((\,2\;,\;7\,)\)，\((\,2\;,\; - 3\,)\)，\((\,5\;,\;2\,)\)，\((\, - 1\;,\;2\,)\)(4) 10 (5) 6 (6) \(x = 2\)與\(y = 2\) (7) 10
- (1) \((\, - 3\;,\;1\,)\) (2) \((\, - 3 \pm \sqrt 3 \;,\;1\,)\)(3) \((\, - 5\;,\;1\,)\)，\((\, - 1\;,\;1\,)\)，\((\, - 3\;,\;2\,)\)，\((\, - 3\;,\;0\,)\) (4) 4 (5) 2 (6) \(x = - 3\)與\(y = 1\) (7) 4
- \(\frac{{{{(x - 1)}^2}}}{{16}} + \frac{{{{(y - 1)}^2}}}{{25}} = 1\)
- \(\frac{{{x^2}}}{{169}} + \frac{{{y^2}}}{{144}} = 1\)
- \(\frac{{{{(x - 2)}^2}}}{{169}} + \frac{{{{(y + 1)}^2}}}{{25}} = 1\)
- (1) \((\,2\;,\;4\,)\)，\((\,2\;,\; - 6\,)\) (2) \((\,2\;,\; - 1\,)\) (3) \((\,2\;,\;3\,)\)，\((\,2\;,\; - 5\,)\) (4) 8 (5) 6(6) \(x = 2\)與\(y = - 1\) (7) \(4x - 3y = 11\)與\(4x + 3y = 5\) (8) 8
- (1) \((\, - 2\;,\;1\,)\)(2) \((\,3\;,\;1\,)\)，\((\, - 7\;,\;1\,)\) (3) \((\,1\;,\;1\,)\)，\((\, - 5\;,\;1\,)\) (4) 6 (5) 8 (6) \(x = - 2\)與\(y = 1\)(7) \(4x - 3y + 11 = 0\)與\(4x + 3y + 5 = 0\) (8) 6
- \( - \frac{{{{(x - 1)}^2}}}{9} + \frac{{{{(y - 2)}^2}}}{{16}} = 1\)
- 25
- \( - \frac{{{x^2}}}{3} + \frac{{{y^2}}}{2} = - 1\)
- \(\frac{{{{(x + 2)}^2}}}{4} - \frac{{{{(y - 1)}^2}}}{9} = 1\)
- \(\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{{81}} = 1\)
- (1) \(a > 4\) (2) \(a = 4\) (3) \(a < 4\)
- (1) \(0 < k < 10\) (2) \(k = 10\) (3) \(k = 0\)(4) \(k < 0\)或\(k > 10\)
- (1) \( - 1\) (2) \( - 3 < t < - 1\) (3) \(t > 1\)
- \(\frac{{{x^2}}}{{21}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\)
- \(\frac{{{x^2}}}{1} - \frac{{{y^2}}}{4} = 1\)
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單元13 矩陣
單元13 基礎題類題
- 已知方程組\(L:\left\{ \begin{array}{l}3x - y - 2z = - 5\\x - y + 2z = 13\\2x + y + z = 5\end{array} \right.\)，則：
(1) \(L\)之係數矩陣為__________。
(2) \(L\)之增廣矩陣為__________。
(3) 利用\(L\)之增廣矩陣進行列運算可得\(L\)之解為__________。
- __________設三元一次聯立方程式\(L\)之增廣矩陣為\(M\)，請選出正確的選項。（多選）
(1) 若\(M\)經矩陣列運算可化為\(\left[ {{\kern 1pt} \begin{array}{*{20}{c}}2&1&3&5\\0&1&7&7\\0&0&1&1\end{array}{\kern 1pt} } \right]\)，則\(L\)有無限多組解
(2) 若\(M\)經矩陣列運算可化為\(\left[ {{\kern 1pt} \begin{array}{*{20}{c}}2&1&3&5\\0&1&7&7\\0&0&0&1\end{array}{\kern 1pt} } \right]\)，則\(L\)有無限多組解
(3) 若\(M\)經矩陣列運算可化為\(\left[ {{\kern 1pt} \begin{array}{*{20}{c}}2&1&3&5\\0&1&7&7\\0&0&0&0\end{array}{\kern 1pt} } \right]\)，則\(L\)有無限多組解
(4) 若\(M\)經矩陣列運算可化為\(\left[ {{\kern 1pt} \begin{array}{*{20}{c}}2&1&3&5\\4&2&6&{10}\\0&0&1&1\end{array}{\kern 1pt} } \right]\)，則\(L\)有無限多組解
(5) 若\(M\)經矩陣列運算可化為\(\left[ {{\kern 1pt} \begin{array}{*{20}{c}}2&1&3&5\\4&2&6&7\\0&0&1&1\end{array}{\kern 1pt} } \right]\)，則\(L\)有無限多組解
- 下列算式為一個關於\(x\)，\(y\)，\(z\)方程組的矩陣列運算：
\(\left[ {{\kern 1pt} \begin{array}{*{20}{c}}5&2&3&{ - 1}\\1&1&1&0\\2&{ - 1}&2&3\end{array}{\kern 1pt} } \right]\)\( \to \)\(\left[ {{\kern 1pt} \begin{array}{*{20}{c}}1&a&1&0\\5&2&3&{ - 1}\\2&{ - 1}&2&3\end{array}{\kern 1pt} } \right]\)\( \to \)\(\left[ {{\kern 1pt} \begin{array}{*{20}{c}}1&a&1&0\\0&{ - 3}&b&{ - 1}\\0&{ - 3}&0&3\end{array}{\kern 1pt} } \right]\)\( \to \)\(\left[ {{\kern 1pt} \begin{array}{*{20}{c}}1&a&1&0\\0&{ - 3}&b&{ - 1}\\0&0&2&c\end{array}{\kern 1pt} } \right]\)\( \to \)\( \cdots \)
若繼續進行列運算，即可求得\(x\)，\(y\)，\(z\)之解，則式中序組\((\,a\;,\;b\;,\;c\,) = \)__________。
- 設\(A = \left[ {{\kern 1pt} \begin{array}{*{20}{c}}2&1&3\\3&1&2\end{array}{\kern 1pt} } \right]\)，\(B = \left[ {{\kern 1pt} \begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&{ - 5}&3\\1&{ - 3}&2\end{array}{\kern 1pt} } \right]\)，則\(2A + B = \)__________。
- 設\(A = \left[ {{\kern 1pt} \begin{array}{*{20}{c}}1&2\\3&6\end{array}{\kern 1pt} } \right]\)，\(B = \left[ {{\kern 1pt} \begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&{ - 4}\\1&2\end{array}{\kern 1pt} } \right]\)，\(C = \left[ {{\kern 1pt} \begin{array}{*{20}{c}}0&6\\0&{ - 3}\end{array}{\kern 1pt} } \right]\)，則：
(1) \(AB = \)__________，\(BA = \)__________。
(2) \(AC = \)__________。 - 設\(A\)為\(3 \times 3\)矩陣，且對任意實數\(a\)，\(b\)，\(c\)，\(A\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}a\\b\\c\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}c\\{ - a}\\b\end{array}} \right]\)均成立。試問矩陣\({A^2}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}\\1\\0\end{array}} \right]\)為何？（單選） (1) \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0\\1\\1\end{array}} \right]\) (2) \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}\\1\\0\end{array}} \right]\) (3) \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1\\0\\1\end{array}} \right]\) (4) \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0\\1\\{ - 1}\end{array}} \right]\)
(5) \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}\\0\\1\end{array}} \right]\)
- 設矩陣\(A = \left[ {{\kern 1pt} \begin{array}{*{20}{c}}2&3\\3&5\end{array}{\kern 1pt} } \right]\)，請回答下列問題：
(1) 矩陣\(A\)之乘法反方陣\({A^{ - 1}} = \)__________。
(2) 若矩陣\(B\)之乘法反方陣\({B^{ - 1}} = \left[ {{\kern 1pt} \begin{array}{*{20}{c}}2&3\\3&5\end{array}{\kern 1pt} } \right]\)，則\(B = \)__________。
(3) 若矩陣\(C\)滿足\(C\left[ {{\kern 1pt} \begin{array}{*{20}{c}}2&3\\3&5\end{array}{\kern 1pt} } \right] = \left[ {{\kern 1pt} \begin{array}{*{20}{c}}1&4\\7&9\end{array}{\kern 1pt} } \right]\)，則\(C = \)__________。
(4) 若矩陣\(X\)滿足\(\left[ {{\kern 1pt} \begin{array}{*{20}{c}}2&3\\3&5\end{array}{\kern 1pt} } \right]X = \left[ {{\kern 1pt} \begin{array}{*{20}{c}}1\\2\end{array}{\kern 1pt} } \right]\)，則\(X = \)__________。
(5) 二元一次聯立方程式\(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y = 1\\3x + 5y = 2\end{array} \right.\)的解為\(x = \)_____，\(y = \)_____。
- 下列哪些為轉移矩陣？（多選）
(1) \(\left[ {{\kern 1pt} \begin{array}{*{20}{c}}{0.1}&{0.8}\\{0.5}&{0.3}\end{array}{\kern 1pt} } \right]\) (2) \(\left[ {{\kern 1pt} \begin{array}{*{20}{c}}{0.5}&{0.5}\\{0.5}&{0.5}\end{array}{\kern 1pt} } \right]\) (3) \(\left[ {{\kern 1pt} \begin{array}{*{20}{c}}{0.2}&{0.7}\\{0.8}&{0.3}\end{array}{\kern 1pt} } \right]\) (4) \(\left[ {{\kern 1pt} \begin{array}{*{20}{c}}{0.2}&{0.1}\\{1.3}&{0.5}\end{array}{\kern 1pt} } \right]\)
(5) \(\left[ {{\kern 1pt} \begin{array}{*{20}{c}}{0.3}&{ - 0.8}\\{0.7}&{1.8}\end{array}{\kern 1pt} } \right]\)
- 某縣縣政府每週五對全縣居民發放甲、乙兩種彩券，每位居民均可憑身分證免費選擇領取甲券一張或乙券一張。根據長期統計，上週選擇甲券的民眾會有85%在本週維持選擇甲券、15%改選乙券；而選擇乙券的民眾會有35%在本週改選甲券、65%維持乙券。已知一開始時，領取甲券及乙券的民眾比例各為50%，而所謂穩定狀態，係指領取甲券及乙券的民眾比例在每週均保持不變。
(1) 1年後，選擇甲券的民眾比例為__________。
(2) 2年後，選擇甲券的民眾比例為__________。
(3) 當領取甲券及乙券的民眾比例形成穩定狀態，此時領取甲券的民眾比
例為__________。
Ans:
- (1) \(\left[ {{\kern 1pt} \begin{array}{*{20}{c}}3&{ - 1}&{ - 2}\\1&{ - 1}&2\\2&1&1\end{array}{\kern 1pt} } \right]\) (2) \(\left[ {{\kern 1pt} \begin{array}{*{20}{c}}3&{ - 1}&{ - 2}&{ - 5}\\1&{ - 1}&2&{13}\\2&1&1&5\end{array}{\kern 1pt} } \right]\) (3) \((\,x\;,\;y\;,\;z\,) = (\,1\;,\; - 2\;,\;5\,)\)
- (3)(4)
- \((\,1\;,\; - 2\;,\;4\,)\)
- \(\left[ {{\kern 1pt} \begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 3}&9\\7&{ - 1}&6\end{array}{\kern 1pt} } \right]\)
- (1) \(\left[ {{\kern 1pt} \begin{array}{*{20}{c}}0&0\\0&0\end{array}{\kern 1pt} } \right]\)，\(\left[ {{\kern 1pt} \begin{array}{*{20}{c}}{ - 14}&{ - 28}\\7&{14}\end{array}{\kern 1pt} } \right]\)(2) \(\left[ {{\kern 1pt} \begin{array}{*{20}{c}}0&0\\0&0\end{array}{\kern 1pt} } \right]\)
- (3)
- (1) \(\left[ {{\kern 1pt} \begin{array}{*{20}{c}}5&{ - 3}\\{ - 3}&2\end{array}{\kern 1pt} } \right]\) (2) \(\left[ {{\kern 1pt} \begin{array}{*{20}{c}}5&{ - 3}\\{ - 3}&2\end{array}{\kern 1pt} } \right]\) (3) \(\left[ {{\kern 1pt} \begin{array}{*{20}{c}}{ - 7}&5\\8&{ - 3}\end{array}{\kern 1pt} } \right]\)(4) \(\left[ {{\kern 1pt} \begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}\\1\end{array}{\kern 1pt} } \right]\) (5) \( - 1\)，\(1\)
- (2)(3)
- (1) 0.6 (2) 0.65 (3) 0.7
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專題4 三角形的四心
有些老師反應在穩拿複習講義中沒有提到「三角形的四心」。關於這部分，因為穩拿本身定位的問題與頁數有限的關係，我們在取捨上自然會捨去偏難而且大考很少考的部分。不過許多老師希望在複習的時候可以提到這部分，因此我們針對這個單元另外編寫了：
專題4 三角形的四心。請各位老師同學點選下列連結下載，謝謝。
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單元12 空間中的平面與直線
單元12 基礎題類題
- (1) 設空間中平面\(E:x - 2y - 3z = 6\)，則\(E\)之法向量為__________，\(x\)截距
為__________，\(y\)截距為__________，\(z\)截距為__________。
(2) 設空間中平面\(E:x = 3\)，則\(E\)之法向量為__________。
(3) 空間中\(xz\)平面的法向量為__________。（平面法向量不唯一，所以請寫
出可行的答案即可）
- 設空間中點\(A(\,1\;,\;2\;,\;3\,)\)在平面\(E\)上之投影點為\(B(\,3\;,\;2\;,\;1\,)\)，則平面\(E\)之方程式為__________。
- 設空間中點\(A(\,1\;,\;2\;,\;3\,)\)與點\(B(\,3\;,\;2\;,\;1\,)\)，則\(\overline {AB} \)的垂直平分面方程式為__________。
- 已知空間中平面\(E\)過\((\,a\;,\;0\;,\;0\,)\)、\((\,0\;,\; - 2\;,\;0\,)\)、\((\,0\;,\;0\;,\; - 12\,)\)、\((\,1\;,\; - 2\;,\; - 6\,)\)，其中\(a \ne 0\)，則\(a\)之值為__________。
- 已知空間中平面\(E\)過\((\,1\;,\;1\;,\; - 2\,)\)、\((\, - 1\;,\;0\;,\; - 2\,)\)、\((\,5\;,\;1\;,\;0\,)\)，則\(E\)之方程式為__________。
- 設空間中直線\(L\)過一點\((\,2\;,\;2\;,\; - 1\,)\)且方向向量為\((\, - 1\;,\;2\;,\;3\,)\)，則\(L\)之參數式為__________，稱比例式為__________。
- 設空間中直線\(L\)過兩點\(A(\,2\;,\; - 3\;,\;1\,)\)、\(B(\,2\;,\;2\;,\;1\,)\)，則\(L\)之方向向量為__________，參數式為__________，\(L\)上的動點坐標可表示為__________。
- 已知空間中兩平面\({E_1}:x - y + z = 2\)與\({E_2}:x + 2y + 3z = 6\)相交於直線\(L\)，則\(L\)之參數式為__________。
- 已知空間中平面\(E\)包含直線\(L:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{3}\)及點\(A(\,1\;,\;2\;,\; - 1\,)\)，則平面\(E\)之方程式為__________。
- 已知空間中平面\(E\)包含兩相交直線\({L_1}:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{3}\)與\({L_2}:\left\{ \begin{array}{l}\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 1}}{2}\\z = 2\end{array} \right.\)，則平面\(E\)之方程式為__________。
- 已知空間中平面\(E\)包含兩平行直線\({L_1}:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{3}\)與\({L_2}:\frac{x}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z + 2}}{3}\)，則平面\(E\)之方程式為__________。
- 空間中平面\(y + z = 1\)與\(xy\)平面之夾角為__________。
- 設空間中三平面\({E_1}:2x - y + z = 3\)、\({E_2}: - 4x + ay + bz = 1\)、\({E_3}:x + y + cz = 5\)。若\({E_1}\)//\({E_2}\)且\({E_1} \bot {E_3}\)，則序組\((\,a\;,\;b\;,\;c\,) = \)__________。
- 點\(P(\, - 2\;,\;1\;,\; - 2\,)\)至平面\(E:6x - 2y + 3z = 1\)之距離為__________。
- 點\(P(\, - 2\;,\;1\;,\; - 2\,)\)至平面\(E:x - 2y + 2z = t\)之距離為2，則\(t = \)__________。
- 若實數\(x\)，\(y\)，\(z\)滿足\(6x - 2y + 3z = 1\)，則\({(x + 2)^2} + {(y - 1)^2} + {(z + 2)^2}\)之最小值為__________。
- 已知空間中直線\(L:\frac{{x - 4}}{2} = \frac{{y + 3}}{{ - 3}} = \frac{{z - 1}}{2}\)，則：
(1) \(L\)與平面\({E_1}:2x - y - z = 5\)之相交情形為__________。
(2) \(L\)與平面\({E_2}:x + 2y + 2z = 5\)之相交情形為__________。
(3) \(L\)與平面\({E_3}:x + 2y + 2z = 0\)之相交情形為__________。
- 在坐標空間中，已知直線\(L:\left\{ \begin{array}{l}x + y + z = 2\\3x + y + 2z = 7\end{array} \right.\)與平面\(E:8x - y - 3z = 1\)交於點\(A\)，則點\(A\)之坐標為__________。
- 已知空間中兩直線\({L_1}:\frac{{x - 4}}{2} = \frac{{y + 3}}{{ - 3}} = \frac{{z - 1}}{2}\)與\({L_2}:\frac{{x + 3}}{{ - 5}} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{z}{1}\)，則\({L_1}\)與\({L_2}\)之交點坐標為__________。
- 已知二次函數\(y = a{x^2} + bx + c\)的圖形通過\((\,1\;,\;2\,)\)，\((\,2\;,\;1\,)\)，\((\,3\;,\; - 2\,)\)三點，則序組\((\,a\;,\;b\;,\;c\,) = \)__________。
Ans:
- (1) \((\,1\;,\; - 2\;,\; - 3\,)\)，6，\( - 3\)，\( - 2\) (2) \((\,1\;,\;0\;,\;0\,)\) (3) \((\,0\;,\;1\;,\;0\,)\)
- \(x - z = 2\)
- \(x - z = 0\)
- \( - 2\)
- \(x - 2y - 2z = 3\)
- \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - t\\y = 2 + 2t\\z = - 1 + 3t\end{array} \right.\), t為實數，\(\frac{{x - 2}}{{ - 1}} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z + 1}}{3}\)
- \((\,0\;,\;1\;,\;0\,)\)，\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = - 3 + t\\z = 1\end{array} \right.\;\)，t為實數，\((\,2\;,\; - 3 + t\;,\;1\,)\)
- \(\left\{ \begin{array}{l}x = 5t\\y = 2t\\z = 2 - 3t\end{array} \right.\)，t為實數
- \(2x - y - z = 1\)
- \(2x - y - z = 1\)
- \(8x - y - 2z = 3\)
- \({45^ \circ }\)或\({135^ \circ }\)
- \((\,2\;,\; - 2\;,\; - 1\,)\)
- 3
- \( - 2\)或\( - 14\)
- 9
- (1) \(L\)與\({E_1}\)恰交於一點 (2) \(L\)與平面\({E_2}\)平行 (3) \(L\)落於平面\({E_3}\)上
- \((\,1\;,\; - 2\;,\;3\,)\)
- \((\,2\;,\;0\;,\; - 1\,)\)
- \((\, - 1\;,\;2\;,\;1\,)\)
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單元11 平面向量應用、外積與面積
單元11 基礎題類題
- 設平面上直線\(L\)之方程式為\(5x + 3y - 1 = 0\)，則\(L\)之法向量\(\overset{\rightharpoonup} n \)＝__________，方向向量\(\overset{\rightharpoonup} v \)＝__________，斜率為__________。（直線的法向量和方向向量不唯一，所以請各寫出可行的答案即可）
- 在坐標平面上，直線\(L:ax + by + 3 = 0\)通過\(A(\, - 3\;,\;2\,)\)且平行\(\overset{\rightharpoonup} v = (\,3\;,\; - 1\,)\)，則\(L\)之參數式為__________，數對\((\,a\;,\;b\,) = \)__________。（直線的參數式不唯一，所以請寫出可行的答案即可）
- 設\(s\)，\(t\)為實數，則兩直線\({L_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + s\\y = 2 - s\end{array} \right.\;\)，s為實數，\({L_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = 3 - t\end{array} \right.\)，t為實數之交點的坐標為__________。
- 在坐標平面上，直線\(L\)的方程式為\(2x - y + 1 = 0\)，一定點\(P\)的\(x\)坐標為3，若\(L\)上一點\(Q\)滿足向量\(\overset{\rightharpoonup} {PQ} = (\,2\;,\;5\,)\)，則點\(Q\)之坐標為__________。
- 若坐標平面上有點\(A(\, - 1\;,\;2\,)\)，\(B(\,1\;,\;4\,)\)，直線\(L:x - y + 1 = 0\)，設\(P\)為\(L\)上之動點，則當點\(P\)坐標為__________時，\({\overline {PA} ^2} + {\overline {PB} ^2}\)有最小值__________。
- 兩直線\(2x - y - 3 = 0\)與\(3x + y - 2 = 0\)之交角為__________。
- 兩直線\(2x + y = 1\)與\(x + 2y = 2\)之交角中，其銳角之角平分線方程式為__________，鈍角之角平分線方程式為__________。
- 已知二元一次方程組\(\left\{ \begin{array}{l}{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\\{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0\end{array} \right.\)，若\(\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1}}&{{b_1}}\\{{a_2}}&{{b_2}}\end{array}\,} \right| = - 2\)，\(\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{{b_1}}&{{c_1}}\\{{b_2}}&{{c_2}}\end{array}\,} \right| = 2\)，\(\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1}}&{{c_1}}\\{{a_2}}&{{c_2}}\end{array}\,} \right| = 6\)，則方程組的解\((\,x\;,\;y\,) = \)__________。
- 若二元一次方程組\(\left\{ \begin{array}{l}(a - 2)x + 2y = 8 - a\\x + (a - 3)y = 2\end{array} \right.\)無解，則\(a = \)__________。
- 設\(a\)為實數，若方程組\(\left\{ \begin{array}{l}(a + 1)x + 2y = 0\\5x + (a + 4)y = 0\end{array} \right.\)除了\((\,x\;,\;y\,) = (\,0\;,\;0\,)\)外，尚有其他解，則\(a = \)__________。
- 設實數\(a > 0\)。若\(x\)，\(y\)的方程組\(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 3\\2x - y = a\\3x - ay = 2\end{array} \right.\)有解，則\(a = \)__________。
- __________在空間中，下列哪些敘述是正確的？（多選）
(1) 恰有一平面通過相異三點
(2) 兩相異直線可以決定唯一的平面
(3) 任意兩相異直線一定有公垂線
(4) 垂直於同一平面的兩相異直線必平行
(5) 兩歪斜線在一平面\(E\)之正射影有可能為兩平行線
- 設空間中有一點\(O\)在平面\(E\)上之投影為點\(A\)，\(A\)在平面\(E\)上一直線\(L\)之投影為點\(B\)，而\(L\)上另有一點\(C\)。若\(\overline {OA} = 2\)，\(\overline {AB} = 6\)，\(\overline {BC} = 9\)，則\(\overline {OC} \)之長度為__________。
- 已知空間中\(\Delta ABC\)，\(\angle CAB = {60^ \circ }\)，\(\angle ACB = {30^ \circ }\)，\(\overline {AB} = 3\)，若以\(\overline {AB} \)為旋轉軸將\(\Delta ABC\)旋轉\({120^ \circ }\)後發現與\(\Delta ABC\)重合，則\(\overline {CD} \)之長度為__________。
- 一四面體\(ABCD\)中，令\(\overline {AB} = \overline {AC} = \overline {AD} = 3\)，\(\overline {BC} = \overline {CD} = \overline {DB} = 4\)，若點\(H\)為點\(A\)在平面\(BCD\)之投影點，\(\theta \)為平面\(ABC\)和平面\(BCD\)所夾成之二面角之度量，則
(1) \(\cos \theta = \)__________。
(2) \(\overline {AH} = \)__________。
(3) 四面體\(ABCD\)之體積為__________。（錐體體積＝\(\frac{1}{3}\)\( \times \)底面積\( \times \)高）
- 空間坐標系中，點\(A(\,1\;,\; - 1\;,\;2\,)\)與點\(B(\, - 1\;,\;5\;,\; - 7\,)\)
(1) \(\overline {AB} \)之長為__________。
(2) 點\(A\)對\(xz\)平面之投影點的坐標為__________；點\(A\)對\(xz\)平面之對稱點
的坐標為__________；點\(A\)至\(xz\)平面之距離為__________。
(3) 點\(A\)對\(y\)軸之投影點的坐標為__________；點\(A\)對\(y\)軸之對稱點的坐標
為__________；點\(A\)至\(y\)軸之距離為__________。
- 設\(\overset{\rightharpoonup} u = (\,1\;,\;1\;,\;2\,)\)，\(\overset{\rightharpoonup} v = (\,2\;,\; - 1\;,\;1\,)\)
(1) 求\(\overset{\rightharpoonup} u \times \overset{\rightharpoonup} v \)＝__________。
(2) 求\(\overset{\rightharpoonup} v \times \overset{\rightharpoonup} u \)＝__________。
(3) 由\(\overset{\rightharpoonup} u \)與\(\overset{\rightharpoonup} v \)所決定的平行四邊形之面積為__________。
(4) 設\(\overset{\rightharpoonup} u \)與\(\overset{\rightharpoonup} v \)之夾角為\(\theta \)，則\(\theta = \)__________。
(5) 若\(\overset{\rightharpoonup} n \)之大小為\(5\sqrt 3 \)且同時垂直\(\overset{\rightharpoonup} u \)與\(\overset{\rightharpoonup} v \)，則\(\overset{\rightharpoonup} n \) ＝__________。
- \(\Delta ABC\)中，若\(\overline {AB} = 5\)，\(\overline {AC} = 6\)，\(\angle A = {30^ \circ }\)，則\(\Delta ABC\)面積為__________。
- 若\(\Delta ABC\)三邊長為3，7，8，則：
(1) \(\Delta ABC\)面積為__________。
(2) 內切圓半徑為__________。
(3) 外接圓半徑為__________。
-
\(\Delta ABC\)中，若\(\overline {AB} = \sqrt 3 \)、\(\overline {BC} = \sqrt 7 \)、\(\overline {CA} = \sqrt 5 \)，則\(\Delta ABC\)面積為__________。
- \(\Delta ABC\)之三頂點坐標為\(A(\,1\;,\; - 1\,)\)，\(B(\,2\;,\;3\,)\)，\(C(\,5\;,\;8\,)\)，則\(\Delta ABC\)面積為__________。
- 坐標空間中，\(\Delta ABC\)之三頂點坐標分別為\(A(\,2\;,\;3\;,\;1\,)\)，\(B(\,1\;,\; - 1\;,\;2\,)\)，\(C(\,3\;,\;1\;,\; - 2\,)\)，則\(\Delta ABC\)面積為__________。
Ans:
- \((\,5\;,\;3\,)\)，\((\,3\;,\; - 5\,)\)，\( - \frac{5}{3}\)
- \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 3 + 3t\\y = 2 - t\end{array} \right.\)，t為實數，\((\, - 1\;,\; - 3\,)\)
- \((\, - 2\;,\;5\,)\)
- \((\,5\;,\;11\,)\)
- \((\,1\;,\;2\,)\)，8
- \({45^ \circ }\)或\({135^ \circ }\)
- \(x + y - 1 = 0\)，\(x - y + 1 = 0\)
- \((\, - 1\;,\;3\,)\)
- 1
- 1或\( - 6\)
- (1) 11 (2) \((\,1\;,\;0\;,\;2\,)\)，\((\,1\;,\;1\;,\;2\,)\)，1
(3) \((\,0\;,\; - 1\;,\;0\,)\)，\((\, - 1\;,\; - 1\;,\; - 2\,)\)，\(\sqrt 5 \)
- (3)(4)(5)
- 11
- 9
- (1) \(\frac{2}{{\sqrt {15} }}\)，\(\frac{{\sqrt {33} }}{3}\)，\(\frac{{4\sqrt {11} }}{3}\)
- \({60^ \circ }\)
- (1) \((\,3\;,\;3\;,\; - 3\,)\) (2) \((\, - 3\;,\; - 3\;,\;3\,)\)
(3) \(3\sqrt 3 \) (4) \({60^ \circ }\) (5) \((\,5\;,\;5\;,\; - 5\,)\)或\((\, - 5\;,\; - 5\;,\;5\,)\) 18. \(\frac{{15}}{2}\)
- (1) \(6\sqrt 3 \)
(2) \(\frac{{2\sqrt 3 }}{3}\) (3) \(\frac{{7\sqrt 3 }}{3}\)
- \(\frac{{\sqrt {59} }}{4}\)
- \(\frac{7}{2}\)
- \(\sqrt {59} \)
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